2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第3章 不等式 单元综合测评卷（word含解析）

第3章 不等式 单元综合测评卷
一、单选题
1．不等式的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，均为正数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
6．已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞cd B．a－b＞c－d
C．ab＋cd＞ad＋bc D．
8．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）不等式（）的解集不可能是（ ）
A．或 B．R
C． D．或
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是或
11．设，且，那么（ ）
A．有最小值
B．有最大值
C．ab有最大值.
D．ab有最小值.
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
三、填空题
13．已知为正实数，则的最小值为______．
14．已知，，则M________N．（填“>”或“<”）
15．某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.
16．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为_________．
四、解答题
17．已知不等式的解为或.
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式：，其中是实数．
18．已知实数，.
（1）若，求2xy的最大值与的最小值；
（2）若，求的最小值.
19．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；
（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
20．已知关于x的不等式，其中．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
21．已知正数a，b满足a+3b=4.
（1）求ab的最大值，且写出取得最大值时a，b的值；
（2）求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.
22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
参考答案
1．B
【分析】
由可得，所以要求不等式的一个充分不必要条件，只要求出集合的一个真子集即可
【解析】将不等式化为，
解得，所以选项中不等式的充分不必要条件是，
故选：B．
2．C
【分析】
由基本不等式判断C．ABD可通过举反例说明、
【解析】正数满足，若满足已知，但，，若满足已知，但，
，则
，所以，，所以，
，即，当且仅当时等号成立．
故选：C．
3．A
【分析】
化不等式二次项系数为正，再比较大小即可写出解集.
【解析】原不等式可化为，
因，即，于是得：，
所以原不等式的解集为.
故选：A
4．A
【分析】
首先根据题意得到在为增函数，根据是偶函数得到，从而得到.
【解析】当时，恒成立，
所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，
即，所以，即.
故选：A
5．A
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【解析】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
6．B
【分析】
利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
【解析】对于A选项，由题意可知，A选项错误；
对于B选项，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，，，则，
所以，，
即，B选项正确；
对于C选项，，
所以，，C选项错误；
对于D选项，取，，则，D选项错误.
故选：B.
7．C
【分析】
取，则可判断A、B、D错误.则可选出答案.
【解析】若,此时，，.A、B、D错误.
因为，所以，又因为，所以，C正确.
故选C.
8．D
【分析】
令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【解析】由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
9．BC
【分析】
根据题设不等式对应二次函数的性质即可判断各选项的解集是否可能.
【解析】因为方程（）的判别式，
所以函数的图象与x轴有两个交点，
又，
所以原不等式的解集不可能是B，C.
故选：BC
10．ABD
【分析】
由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向， 2和3是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝ a，c＝ 6a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a＋b＋c＜0，从而判断选项C．
【解析】解：已知关于的不等式的解集为或
则不等式对应的二次函数的图像的开口向上，所以a＞0，A正确
又 2和3是方程的两根，
∴ 2＋3＝ ，（ 2）×3＝，
∴b＝ a，c＝ 6a，a＞0；
不等式等价于a（x＋6）＜0，
∴x＜ 6，即选项B正确；
∵不等式的解集为或，
∴当x＝1时，有a＋b＋c＜0，即选项C错误；
不等式等价于，即a（3x＋1）（2x 1）＞0，
∴或，即选项D正确．
故选：ABD．
11．AD
【分析】
直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.
【解析】，，
，当时取等号，
，解得，
，
有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，即，
有最小值．
故选：AD
12．AC
【分析】
根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.
【解析】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
13．3．
【分析】
由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【解析】解：因为为正实数，所以，
所以根据基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
14．
【分析】
作差后与0比较可得．
【解析】，∴．
故答案为：．
15．8
【分析】
由题意求出土地费用与运输费用，作和求出总费用与距离的函数解析式，利用基本不等式可求得两项费用之和的最小值.
【解析】设仓库与车站距离为x，土地费用为，运输费用为，于是
，解得，
设总费用为，则，当且仅当即时取等号，
两项费用之和的最小值是8万元.
故答案为：8
16．或
【分析】
由已知条件知，结合根与系数关系可得，代入化简后求解，即可得出结论.
【解析】关于x的不等式的解集为，
可得，方程的两根为，
∴,
所以，代入得，
，即，
解得或.
故答案为: 或.
【点睛】
本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.易错点是忽视对的符号的判断.
17．（1），；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用不等式的解集与方程解之间的关系，可求，的值；
（2）根据不等式对应方程的两根的大小，进行分类讨论即可．
【解析】解：（1）依题意，
（2）原不等式为：，即
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，原不等式的解集为
18．（1）最小值为2；（2）最小值为4.
【分析】
（1）由已知结合基本不等式，及不等式的性质即可求解；
（2）先进行换元，，然后把代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．
【解析】解：（1）因为，
又因为，
所以，
解得，
因为，
所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以2xy最大值为2；
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以最小值为2；
（2），
令，，
所以，
当且仅当，且，
即时等号成立，
所以最小值为4.
19．（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
【分析】
（1）依题意得到的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；
【解析】解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；
所以收益，
（2）由（1）可知，
其中，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
20．（1）答案不唯一见解析；（2）可以，k=-3.
【分析】
（1）根据相应二次函数的开口方向和二次方程根的大小关系，分，，，和五种情况讨论求解.
（2）根据解集A，结合B为有限集，则，在根据B中元素个数最少，则最大，利用基本不等式求解.
【解析】（1）当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
综上：当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
（2）若B为有限集，则此时，
要使B中元素个数最少，则最大，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以时，集合B中元素最少.
【点睛】
方法点睛：含有参数的不等式的解法：往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
21．（1）ab的最大值，此时a=2，；（2）的最小值4，此时a=1，b=1.
【分析】
（1）由基本不等式可得，结合等号成立的条件即可得解；
（2）转化条件为，再由基本不等式即可得解.
【解析】（1）由基本不等式可知：，
所以即，当且仅当，即，时，等号成立，
所以ab的最大值，此时，；
（2）由题意，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4，此时.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（1）一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为（答案不唯一，符合题意即可）；（2）是，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）由上位点、下位点的概念即可得解；
（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；
（3）结合（2）中结论，可得，，再证明当时不合题意即可得解.
【解析】（1）由题意点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）是，证明如下：
点是点的“上位点”，，，
，
，点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时满足条件，
若，
由于存在的情况，
则不恒成立，
因此，的最小值为.
【点睛】
本题考查了新定义的应用及利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键是对题中新定义的理解，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题.