2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第4章 指数与对数 单元综合测评卷（word含解析）

第4章 指数与对数 单元综合测评卷
一、单选题
1．有以下四个结论：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
4．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
6．若，，则（ ）.
A． B． C． D．
7．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 的值等于(　　)
A．2 B．
C．4 D．
二、多选题
9．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．（多选）有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
三、填空题
13．设，则______，的值为______．
14．已知，则__________________________.
15．_______________________．
16．计算：________.
四、解答题
17．若是方程的两个实根，求的值．
18．已知，求的值.
19．已知，且，求的最小值．
20．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
参考答案
1．C
【分析】
利用对数的运算性质和指对互化逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【解析】对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②正确；
对于③：由，得，故，故③错误；
对于④：由，得，故，故④错误，
所以正确的是①②，
故选：C.
2．C
【分析】
利用对数的运算法则求解.
【解析】.
故选：C.
3．B
【分析】
利用对数的运算法则和对数性质得到关于的代数式，转化为关于的一元二次方程，求得的值，注意根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值.
【解析】，.
∴.
∵，∴，解之得:或.
∵，∴，∴.
∴.
【点睛】
本题考查对数的运算，易错点是忽视对数中的真数大于零的要求，缺少对范围的确定，产生多余的解.
4．A
【分析】
运用对数运算性质及换底公式即可获解.
【解析】，，
，
，，
，
故选：A
5．B
【分析】
根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
6．D
【分析】
根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可.
【解析】，，，
，
故选：D
7．A
【分析】
根据对数的基本性质，，解方程即可求出的值.
【解析】因为，所以，
所以，所以.
故选：A
8．A
【解析】
lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 ＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
故选A
点睛：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练应用是关键.
9．BC
【分析】
对于AD，举例判断，对于BC，利用基本不等式判断
【解析】解：对于A，令满足，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，所以B正确，
对于C，因为，当且仅当时取等号，所以C正确，
对于D，令满足，则，所以D错误，
故选：BC
10．ACD
【分析】
由条件可令（），则，，，利用对数运算以及基本不等式的性质，逐项分析判断即可得解.
【解析】正数满足，令（），
则，，，
对A，，故A正确；
对B，，
，，所以，
，所以，
所以，故B错误；
先判断D，由于，
由两边平方整理可得：，故D正确；
对C，由D知，可得，故C正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】
根据对数的真数必须为正数对四个选项逐个分析可得答案.
【解析】A选项，若,则，说法正确；
B选项，时不满足条件，说法错误；
C选项，若，则，不一定，说法错误；
D选项，时不满足要求，说法错误；
故选 ：BCD
【点睛】
关键点点睛：掌握对数的真数必须为正数是本题解题关键.
12．AB
【分析】
利用对数的恒等式与对数式与指数式的互化可判断出各等式的正误.
【解析】因为 ，，，所以①②均正确；③中若，则 ，故③错误；④中，而没有意义，故④错误.
故选AB.
【点睛】
本题考查对数式正误的判断，解题时要熟悉对数恒等式的应用，同时也要掌握对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.
13．1 1
【分析】
利用指数式与对数式的互化以及对数的运算性质即可求解.
【解析】解析：由，得，，
所以，，所以，
．
故答案为：1；1
14．
【分析】
化简分式可得，再将对数式的值代入，利用对数恒等式计算，即可得到答案；
【解析】
.
故答案为：
15．
【分析】
运用指数幂运算法则和对数运算法则计算即可.
【解析】原式.
故答案为:
16．
【分析】
利用对数和指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【解析】原式.
故答案为：.
17．
【分析】
令，将方程化为，利用韦达定理可求得和，将所求式子利用对数运算法则进行转化，代入和即可求得结果.
【解析】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
18．
【分析】
利用底数的对数值数1，求出的值，再进行验证.
【解析】由，
解得：（舍去）或.
【点睛】
本题考查底数的对数值为1、对数式有意义等知识，考查基本运算求解能力.
19．-4
【分析】
应用换元法先解出 的值，找出和的关系，从而求的最小值．
【解析】解：令，，，．
由得，，
，，
，即，，
，
，
当时，．
【点睛】
本题考查换元法的数学思想方法，及用配方法求二次函数最值，属于中档题．
20．
【解析】
试题分析：根据对数的运算性质：logaMN=logaM+logaN可得（x2+4）（y2+1）=5（2xy-1），解方程可得x与y的关系，代入所求的式子即可．
试题解析：
由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴
∴＝.
∴log8＝log8＝log2－1＝－log22＝－.
点睛：本题主要考查了对数的运算性质：logaMN=logaM+logaN的简单运用，属于公式的基本运用,对x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0配方处理得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0是关键.