2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数 单元综合测评卷（word含解析）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 单元综合测评卷
一、单选题
1．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（ ）
A．； B．；
C．； D．．
3．将（且）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
4．若是定义域为的偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M，N，P，Q，G中，可以是“好点”的个数为　（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必可条件 B．必要而不充分他件：
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 则（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
二、多选题
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为，表示不超过x的最大整数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．在R上是增函数 D．的值域是
10．已知函数，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．函数的图象恒在x轴的上方
B．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是
C．与函数的图象关于直线对称的图象对应的函数解析式为（）
D．已知，，则
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题
13．已知，设，若，则的取值范围是______．
14．函数在区间[1，2]上的最大值为______．
15．若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数，则_______．
四、解答题
17．已知．
（1）判断函数的奇偶性和单调性（不必证明）；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
18．若函数满足：对任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
（1）判断函数与是否是“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有．
19．已知函数的定义域为，其表达式为，且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，总有成立；（2）当，且时，总有成立．求实数b的值组成的集合．
20．已知指数函数y＝g(x)满足g（2）＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
（1）确定y＝g(x)的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
21．已知函数（且），且函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求实数m的取值范围．
22．设函数
（1）若函数的图象关于原点对称，函数，求满足的的值；
（2）若函数在的最大值为，求实数a的值.
参考答案
1．A
【分析】
先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
【解析】因为在上单调递增，
所以当时，，
若函数的值域为R，
则，
解得．
故选：A.
2．D
【分析】
由对数的运算性质与基本不等式求解即可
【解析】因为，
所以，故或．
若，则（舍去）；
若，则，
又，
所以，
因此（等号当且仅当，即时成立），
即的取值范围是．
故选：D．
3．D
【分析】
根据对数式与指数式的关系可得答案.
【解析】根据对数式与指数式的关系，
若，则，即，所以A正确；
若，则，即，所以B正确；
若，则，即，所以C正确；
由得，与已知不等，所以D错误.
故选：D.
4．A
【分析】
先根据函数为偶函数得到函数的解析式，再分段讨论解不等式即可.
【解析】由题意当时，则，又因为函数是偶函数，
故得到
所以函数的解析式为：，
当，即时，由，
得，即，即，又，∴；
当，即时，由，
得，即，即，又，∴.
综上，得的解集是.
故选：A.
5．C
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质即可得出选项.
【解析】设此指数函数为，显然不过点M、P，
若设对数函数为，显然不过N点，
故选：C.
6．C
【分析】
可求出的等价条件，根据充分必要条件的定义判断．
【解析】解析：由题，因为，所以，即或，所以或，即等价于，即是"的充分必要条件，
故选：C.
7．B
【分析】
根据分段函数解析式代入计算可得；
【解析】解：因为，所以，所以
故选：B
8．D
【分析】
根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.
【解析】设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
9．BCD
【分析】
利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性判断选项AB的真假；利用复合函数的单调性原理判断函数的单调性判断选项C的真假；求出函数的值域判断选项D的真假.
【解析】解：∵，∴，∴f（x）是奇函数，A错误，B正确；
∵函数，函数是增函数，∴在R上是增函数，C正确；
∵，∴，∴，∴当时，，当时，，当时，，∴函数的值域为{-1，0}，D正确．
综上可知，B，C，D正确．
故选：BCD
10．AD
【分析】
先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定、的取值范围，再利用函数和的单调性及判定和的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定.
【解析】因为、、在其定义域内都是增函数，
所以、在其定义域内都是增函数.
因为，，
且，所以，
又，，
且，所以，
所以，即选项A错误；
因为，函数、在其定义域内均为增函数，
所以，
所以，
即选项B正确，选项D错误；
令，，
则，，
由于，的图象都和直线相交（如图所示），
且函数和函数的图象关于直线对称，
直线和直线的交点为，
所以，即，即选项C正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】
A.由对数型复合函数的值域求解判断； B.由求解判断；C.由与（）互为反函数判断；D.利用换底公式和对数运算求解判断.
【解析】A.，∴，
∴函数的图象恒在x轴的上方，故正确；
B.若的值域为R，则可以取遍所有的正数，
∴，即或，故错误；
C.与（）互为反函数，它们的图象关于直线对称，故正确；
D.由换底公式，得，，
∴，即，
∴，即，故错误.
故选：AC
12．BC
【分析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【解析】根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
13．
【分析】
作出函数在区间（0，1）与上的图象，根据图象可知，，，
所以由可得，再根据消元思想得，令，构造函数，即可根据二次函数的性质求出范围．
【解析】作出函数在区间（0，1）与上的图象，如图所示：
若，满足，则必有，，且，即，所以，，令，，则．设，可得，因此所求取值范围是．
故答案为：．
14．##
【分析】
首先判断函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【解析】解：因为、、在上都为增函数，所以在上单调递增，所以当时取得最大值，即
故答案为：
15．
【分析】
分离参数，只需可得恒成立，即，再由指数型复合函数的值域即可求解.
【解析】要使原不等式恒成立，即恒成立．
因为，其中，
所以．因此．
故答案为：
16．
【分析】
首先计算，从而得到，即可得到答案.
【解析】因为，
所以.
故答案为：
17．
（1）函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断，由指数函数的单调性及单调性的性质判断函数的单调性；
（2）依题意可得，再由函数的单调性可得对一切恒成立，令，设根据二次函数的性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为定义域为，所以，所以为奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增；
即函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数．
（2）
解：因为是R上的奇函数且为严格增函数，所以由，可得，即对一切恒成立．令，，设，所以，即，解得．
18．
（1）是“函数”， 不是“函数”
（2）
（3）证明见解析
【分析】
（1）利用“函数”的定义判断两个函数即可求解；
（2）由题意可得对任意恒成立，可得，由可得求出即可求解；
（3）根据定义，令可得，对于任意的正整数与正数都有，进而可得出结论.
（1）
对于函数，当，时，，，
又，
所以，故是“函数”．
对于函数，当时，，
故不是“函数”．
（2）
由是“函数”，可知，
即对任意恒成立，
当时，，可得对任意恒成立，所以，
当，时，由，可得，
故，
又，故，
由，即对任意正数，恒成立，
可得，即．
综上所述实数的取值范围是．
（3）
由函数为“函数”，可知对任意正数，，都有，，
且，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
对任意，可得，，
又因为，
所以，
同理，
所以．
19．
【分析】
由题意可知即在时恒成立，．
转化为求最值即可
【解析】因为对任意的，总有，
即在时恒成立，从而．
令，可得
．
当，且时，，所以．
综上所述，实数b的值组成的集合为．
20．（1）g(x)＝2x；（2）m＝2；n＝1；（3）k＜－.
【分析】
（1）利用待定系数法可求得结果；
（2）根据求出，再验证即可得解；
（3）根据奇偶性和单调性可解得结果.
【解析】（1）设，且，
由得，解得，
所以g(x)＝2x．
（2）由（1）知f(x)＝．
∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1，∴f(x)＝．
又由f（1）＝－f(－1)知＝－，解得m＝2．
当时，，，所以为奇函数,
综上所述：.
（3）由（2）知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
∴t2－2t＞k－2t2，即3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立，
由判别式Δ＝4＋12k＜0可得k＜－．
【点睛】
关键点点睛：第（3）问利用奇偶性变形、利用函数的单调性解不等式是解题关键.
21．（1）；（2）.
【分析】
(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式；
(2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围．
【解析】(1)，解得，故函数的解析式
(2) 即，解得或
故实数m的取值范围是
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据函数的图象关于原点对称，可求出，然后解方程可得的值；
（2）整理出，换元转化为二次函数区间的最值问题，可求实数a的值.
【解析】（1）∵的图象关于原点对称，
∴，
∴，即，所以；
令，
则，
∴，
又，∴，
所以满足的的值为.
（2），，
令，
，
对称轴，
①当，即时，
，
∴；
②当，即时，
，
∴（舍）；
综上：实数a的值为.
【点睛】
二次函数型的最值问题求解方法：
1、先利用换元法进行换元转化为二次函数；
2、求解二次函数的对称轴;
3、讨论对称轴和区间的位置关系，进行求解.