2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第7章 三角函数 单元综合测评卷（word含解析）

第7章 三角函数 单元综合测评卷
一、单选题
1．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
4．函数的周期，振幅，初相分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，2，
5．某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（　　）
A．akm B． C． D．2akm
6．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos．
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
8．设函数满足，，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．函数(，，)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为
11．将函数的图像沿轴向左平移个单位后得到一个奇函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最小值为1
三、填空题
13．已知，则的值为______．
14．关于有如下说法：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是π的整数倍，
②函数解析式可改为，
③函数图象关于对称，
④函数图象关于点对称．
其中正确的是____（填正确的序号）
15．已知为钝角，且，则______.
16．已知角φ的终边经过点P(，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________．
四、解答题
17．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知函数的图象关于直线对称，其中为实数.
（1）若，求函数的周期；
（2）在（1）的条件下，若当时，方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数的解析式为______（直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
20．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
21．已知函数.
（1）画出函数在一个周期上的图像;
（2）将函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数,求在上的值域.
22．已知函数的图象的一部分如图所示.
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的值域.
参考答案
1．B
【分析】
根据三角函数线的概念即可判断.
【解析】解：分别作角的正弦线、余弦线和正切线，如图，
∵，，．
∴．
故选：B．
2．C
【分析】
根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解.
【解析】由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
3．A
【分析】
根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，则．故选:A
4．C
【分析】
根据有关公式直接计算即可.
【解析】函数的周期为，
振幅为，
初相为.
故选C.
【点睛】
一般地，()的周期，振幅为,初相为
5．C
【分析】
根据余弦定理可求得结果.
【解析】由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，
由余弦定理得，
，
所以，
即门店A，B间的距离为.
故选：C.
6．C
【分析】
由三角恒等变换化简解析式，结合周期求出解析式，由得出，，从而结合求出且，再由余弦函数的性质得出的最大值、的最小值，从而得出的最大值.
【解析】函数的最小正周期为
若，则
故且
故的最大值为，的最小值为
即的最大值为，的最小值为
则的最大值为
故选：C．
7．C
【分析】
将t＝代入求值，可得s1＝s2
【解析】当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2
故选：C
8．B
【分析】
根据题意，得到函数的奇偶性和周期性，分类讨论画出函数的图象，作出函数，的大致图象，结合图象的交点的个数，即可求解.
【解析】因为，可得函数为偶函数，
又因为，所以，故函数的周期为2，
因为，所以为偶函数，
当时，，
当时，，即.
当时，；
当时，.
又，，.
综合以上两函数的特点，可作出函数，的大致图象(如图所示)，
函数除了0，1这两个零点之外，分别在区间，，上各有一个零点，共有6个零点.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质，函数与方程，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中分类讨论，合理应用函数的图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
9．ACD
【分析】
对于选项A：根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC：结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
10．AC
【分析】
求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点距离地面的高度，再逐个分析判断即可
【解析】解：摩天轮转一圈，
在内转过的角度为，
建立平面直角坐标系，如图，
设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，
以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点的纵坐标为，
又由题知，点起始位置在最高点处，
点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：
即
当时，，故A正确；
若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第点距安地面的高度为
第点距离地面的高度为
第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，
即，
即，，
得，
或，
解得或，
共，故D错误．
故选：AC．
11．AD
【分析】
先求出图像向左平移的解析式，再根据题意可得，从而可求出的值
【解析】解：函数的图像沿轴向左平移个单位后的解析式为
，
因为为奇函数，
所以，得，
当时，，当时，，
故选：AD
12．AD
【分析】
由奇函数的定义即可判断A；
容易验证π是函数的周期，进而判断B；
当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C；
先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值.
【解析】因为,，所以是偶函数，A正确；
显然是周期函数，
因为，所以B错误；
因为当时，
，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；
因为
当时，设，则，∴，∴，
同理：当时，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.
故选：AD.
13．2
【分析】
首先利用诱导公式化简原式，再利用同角三角函数商数关系求解即可.
【解析】原式
.
故答案为：
14．②③
【分析】
①由题设知：x1x2是半个周期的整数倍，结合解析式确定最小正周期即可判断正误；②利用诱导公式将函数解析式转化为余弦函数的形式即可判断正误；③、④将、代入解析式求函数值，结合正弦函数的性质即可判断正误．
【解析】①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是半个周期的整数倍，而函数 的周期为π，故x1x2是的整数倍，故不正确．
②函数解析式，故正确．
③当时，y＝3是函数的最小值，故函数图象关于对称，故正确．
④当 时，y＝3是函数的最大值，故函数图象关于 对称，故不正确．
故答案为：②③．
15．
【分析】
根据诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
【解析】解：，，
为钝角，
.
故答案为：
16．－
【分析】
由|x1－x2|的最小值为求得周期后可得，再由函数图象过点，求得，得解析式后再求函数值．
【解析】由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，可知函数f(x)的最小正周期为
，则由，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(，－1)，
，，，所以不妨取φ＝－，
则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－．
故答案为：－．
17．（1）；（2）12.
【分析】
（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得的值；
（2）先将式子化简为，再将与代入即可求得结果.
【解析】解：（1）因为，，所以.
（2）由（1）得，，
所以.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系、利用诱导公式化简求值，是基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由图象关于直线对称可得，即可解出；
（2）根据函数与的图象有两个交点结合图象可判断.
【解析】（1）由直线是函数图像的一条对称轴，
可得，
所以，，
又，，所以，
由，得函数的周期；
（2）由（1）可得，，
，，
作出函数在的图像如图所示：
方程有两个不同的实数根等价于两个函数与的图像有两个交点，则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查三角函数图象的应用，属于中档题.
19．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最大值为1，最小值为.
【分析】
（Ⅰ）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式；
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域，求得函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅰ）表格如下
0
0 2 0 0
根据表格可得 ，
再根据五点法作图可得 ，
故解析式为：.
（Ⅱ）因为，所以，
得，
所以,当即时，在区间上的最小值为，
当即时，在区间上的最大值为.
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，以及由定义域求值域，属于基础题．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式化简即可得到结果；
（2）由诱导公式化简后，代入计算即可求出值.
【解析】（1），
所以；
（2）由题，所以，
所以 .
【点睛】
本题考查了诱导公式的应用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题
21．（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）用五点法可作出图象；
（2）先根据平移求出，即可求出，利用换元法可求出其值域.
【解析】（1）（五点法作图）
0
1 3 1 1
（2）,
则,,
所以,则
所以
从而在上的值域为.
【点睛】
本题考查五点法作三角函数图象，考查函数的平移，考查换元法求函数值域，属于基础题.
22．（1）；（2），．
【分析】
（1）由函数图象的最值点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）由可得，，利用正弦函数的性质可得函数的值域．
【解析】（1）根据函数的图象的一部分，可得，
再根据，．
结合五点法作图可得，
，，
故．
（2）当时，
，，
，，
，，
即的值域为，．
【点睛】
本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．