2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册-第8章 函数应用 单元综合测评卷（word含解析）

第8章 函数应用 单元综合测评卷
一、单选题
1．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4
4．已知函数，有2个不同的零点、，则（ ）
A． B．
C． D．
5．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）,那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（　　）
A．在时刻，两车的位置相同
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．在时刻，甲车在乙车前面
7．已知函数，若，且，给出下列结论：①，②，③，④，其中所有正确命题的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
8．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
10．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
11．已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（ ）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．不等式的解集为
12．某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内（含半小时）免费，临时停车1小时收费5元，此后每停车1小时收费3元，不足1小时按1小时计算，24小时内最高收费40元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是（ ）
A．若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为8元
B．若甲车与乙车的停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为10元
C．若甲车与乙车的停车时长之和为10小时，则停车费用之和可能为34元
D．若甲车与乙车的停车时长之和为25小时，则停车费用之和可能为45元
三、填空题
13．某一处的声强级，是指该处的声强度I（单位：）与基准值的比值的常用对数，其单位为贝尔（B）．实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝（dB）来作为声强级的单位．公式为：声强级．如果某工厂安静环境中一台机器（声源）单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时（声强度为原来的2倍），发出的噪声声强级为______分贝．（精确到0.1分贝）
14．已知关于x的方程有两个实根，则实数k的取值范围是______．
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点个数为______．
16．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是____．
四、解答题
17．今年某工厂某产品的产量是100万件，如果该产品产量的年平均增长率为1.2%．
（1）写出该产品的年产量y（万件）与年数x（年）的函数关系式；
（2）计算大约多少年以后该产品的年产量能达到120万件（精确到1年）；
（3）受原材料价格上涨影响，如果20年后该产品的年产量不超过120万件，那么该产品产量的年平均增长率应该控制在多少？
（，，）
18．已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
19．已知△ABC中，函数的最大值为.
（1）求∠A的大小；
（2）若，方程在内有两个不同的解，求实数m取值范围.
20．对于函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围
21．已知且
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间[0，1）内有解，求实数的取值范围．
22．(1)已知函数，若函数的一个零点在内，一个零点在内，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在上有唯一实数解，.求实数m的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
探讨函数的单调性，再借助零点存在定理列出不等式求解即得.
【解析】函数f(x)定义域是，
因函数，在上都是单调递增的，而，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，
于是得当时，函数在上连续且单调，
因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
2．C
【分析】
利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可.
【解析】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，
由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，
而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，
因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，
所以实数的值是.
故选：C
3．B
【分析】
利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.
【解析】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，且满足|0.72-0.68|<0.1，
所以所求的符合条件的近似值为0.7.
故选：B
4．D
【分析】
先将有两个零点转化为与的图象有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象，得到零点在和内，即可得到和，然后两式相加，即可求得的范围．
【解析】有两个零点，，
即与的图象有两个交点．
分别画和的图象，
发现两函数的图象在和有两个交点．
不妨设，，
那么在上有，
即①
在上有②
①、②相加有，
∵，∴，即，
∴，
∴，∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查确定函数零点所在区间的方法，函数的零点等价于函数与轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根，属于中档题．
5．B
【分析】
根据已知数据和函数关系式直接计算．
【解析】，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的应用，属于基础题．
6．D
【分析】
根据图象可知在前，甲车的速度高于乙车的速度；根据路程与速度和时间的关系可得到甲车的路程多于乙车的路程，从而可知甲车在乙车前面.
【解析】由图象可知，在时刻前，甲车的速度高于乙车的速度
由路程可知，甲车走的路程多于乙车走的路程
在时刻，甲车在乙车前面
本题正确选项：
【点睛】
本题考查函数图象的应用，关键是能够准确选取临界状态，属于基础题.
7．D
【分析】
作出函数的图象，利用二次函数图象的对称性可判断①的正误；由图象得出，结合对数的运算性质可判断②的正误；推导出，利用双勾函数的单调性可判断③的正误；推导出，利用二次函数的基本性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【解析】函数的图象如下图所示，
函数的图象关于直线对称，则，①错误；
由图象可知，且，，
即，所以，，②正确；
当时，，
由图象可知，，则，可得，
，③正确；
由图象可知，，④正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．D
【分析】
先将函数有且仅有3个零点转化为与的图像有且仅有3个不同的交点，再画出函数的部分图象，最后求实数的取值范围.
【解析】解：函数有且仅有3个零点就是与的图像有且仅有3个不同的交点.
当时，则，此时；
当时，则，此时，此时；
当时，则，此时，此时；
当时，则，此时，此时；
当时，则，此时，此时；
若当时，则，此时，此时；
若当时，则，此时，此时；
若当时，则，此时，此时；
若当时，则，此时，此时,
画函数的部分图象如图，
易得.
故选：D.
【点睛】
本题考查分段函数的图象、利用函数的零点个数求参数范围，还考查了数形结合的数学思想，是中档题
9．ABD
【分析】
画出函数的图像，根据图像分析判断即可
【解析】函数的图像如图所示：
由图可得：函数在区间上单调递增，故正确；
函数的图像关于直线对称，故正确；
若，但，则当时，，故错误；
函数的图像与轴有且仅有两个交点，故正确.
故选.
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图像，根据图像求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题
10．ABC
【分析】
根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【解析】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
11．ACD
【分析】
作出函数的图象与直线，它们的交点的横坐标即为，由图可得它们的性质，同时可得出的范围，判断B．由根的性质判断AC，解不等式判断D．
【解析】方程的争即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象和直线，如图，由图可知：，
，，A正确；
由于，∴，B错误；
由得，∴，∴，C正确；
由，时，，，时，，，
综上，D正确．
故选：ACD．
12．ACD
【分析】
通过实例可知ACD的费用均可能产生，B中可能的停车费用中不含元，由此得到结果.
【解析】对于A，若甲车停车小时，乙车停车小时，则甲车停车费用为元，乙车停车费用为元，共计元，A正确；
对于B，若甲、乙辆车停车时长之和为小时，则停车费用之和可能为元或元或元，B错误；
对于C，若甲乙辆车各停车小时，则每车的停车费用为元，共计元，C正确；
对于D，若甲车停车小时，乙车停车小时，则甲车停车费用元，乙车停车费用元，共计元，D正确.
故选：ACD.
13．83.0．
【分析】
根据一台机器发出的噪声声强级求出I，进而求出两台机器发出的噪声声强级.
【解析】根据题意，，则两台相同的机器一同运转时，发出的噪声声强级为（分贝）
故答案为：83.0.
14．
【分析】
令，将原方程转化为，进而结合一元二次方程根的分布问题即可求出结果.
【解析】设，因为方程有两个实根，所以关于t的方程必有2个正根、，于是有解得．
因此，实数k的取值范围为．
故答案为：.
15．10
【分析】
将原函数的零点转化为方程或的根，再作出函数y=f(x)的图象，借助图象即可判断作答.
【解析】函数的零点即方程的根，亦即或的根，
画出函数y=f(x)的图象和直线，如图所示，
观察图象得：函数y=f(x)的图象与x轴，直线各有5个交点，则方程有5个根，方程也有5个根，
所以函数的零点有10个.
故答案为：10
16．8
【分析】
先作出函数图像，再根据 a,b的正负性，结合函数图象讨论求解.
【解析】作出的函数图象如图所示：
（1）若，则，
当时，无解；
当时，，
由图象可知不可能只有一个整数解；
当时，，
若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为．
又（3），（4），故而，
即．
（2）若，由可得．
，
由图象可知有两个整数解，，
至少含有两个整数解，不符合题意．
综上，的最大值为8．
故答案为：8．
17．
（1）（）
（2）16年
（3）应该控制在0.9%以下
【分析】
（1）利用指数函数模型即可求解.
（2）利用指数型函数解析式以及换底公式即可求解.
（3）利用指数式与对数式的互化即可求解.
（1）
（1）（）．
（2）
设n年后该产品的产量能达到120万件，即，
，
因此，大约16年后该产品的产量能达到120万件．
（3）
设年平均增长率为．
由题意知，即，
两边取对数得，
，
所以，因此该产品产量的年平均增长率应该控制在0.9%以下．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）对分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;
（2）.作出函数的图象， 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.
【解析】（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）,即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式、两角差的正弦和二倍角正弦余弦公式化简，最后利用余弦函数的性质可得，结合最大值可求.
（2）令，，画出该函数的图象，考虑方程在上的解的情况，结合前者进一步加强解的范围，利用根分布可求实数的取值范围.
【解析】（1）
，
故，故.
因为，故.
（2）
故，令，，
则的图象如图所示：
又，考虑在上的解.
若，则或
当时，方程的解为，此时有两解或，
故方程在内有两个不同的解，符合.
当时，方程的解为，此时仅有一解，
故方程在内有一个解，舍.
若，则或，
此时在有两个不同的实数根（），
当时，则，
要使得方程在内有两个不同的解，
则.
令，则，解得.
当时，则且，故，，
要使得方程在内有两个不同的解，
则，，故，此时，符合.
综上，的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象和性质，也考查了三角变换和复合方程的解，对于较为复杂的方程的解，一般通过换元转化为内外方程的解（如三角方程和一元二次方程），注意两类方程的解的相互制约，本题属于难题.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解方程即可得到答案.
（2）由函数恒有两个相异的零点，得恒成立，即对于恒成立，这是一个关于的二次不等式，所以，即可解得．
【解析】（1）当时，，
所以由可得；
故函数的零点为
（2）由题意可得，则对于恒成立，
所以，从而解得．
【点睛】
本题主要考查函数的零点，同时考查了二次不等式，属于简单题.
21．（1）定义域为，零点为0；（2）分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）求定义域要求真数大于0，列不等式组可得结果，求零点令函数值为0，解方程可在定义域内得函数的零点；
（2）利用函数零点（方程有根)求参数范围问题，可构造新函数，转化为两个函数有交点问题，也可利用函数的单调性，确定参数的取值范围.
【解析】解：（1）由得，
故的定义域为，
由，即，
得，
得，
解得或，
由于，故的零点为0；
（2）方法一：
在区间[0，1）内有解，即，有解，
令，，，在（0，1]为减函数，
则，即，
当时，，
时，；
方法二：
由方程在区间[0，1）内有解，即与在有交点，
．令，，，
在（0，1]为减函数，，，
当时，，即，
∴，
当时，，即，
∴；
方法三：
，
当时，在[0，1）上为增函数，此时，故此时
当时，在[0，1）上为减函数，此时，故此时，
综上时，，时.
【点睛】
本题考查求函数的定义域及其零点，利用函数零点（方程有根)求参数范围，考查运算求解能力、转化与化归思想、分类与整合思想，是难题.
22．(1)；(2)或.
【分析】
（1）根据题意，由根的分布可得，再求解.
（2）设，所以当时，，方程在上有唯一实数解，可转化为，上有唯一实数解，进而转化为上有唯一实数解，再令，由对勾函数的图象和性质求解.
【解析】（1）由题意，解得.
（2）设，所以当时，，
此时，由题意得，有唯一实数解，有唯一实数解
令，
由对勾函数的性质可知
时，在单调递减，在上单调递增，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，结合的图象可知，
若与的图象有唯一交点，
即方程在上有唯一实数解，
此时或.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程，根的分布及零点问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.