2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.6 双曲线及其方程 专题检测卷（word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.6 双曲线及其方程 专题检测卷（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 21:33:57 | ||
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文档简介
专题2.6 双曲线及其方程 专题检测卷
一、单选题
1．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则双曲线与有（ ）
A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长 C．相同的焦点 D．相同的渐近线
4．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为双曲线的左 右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左 右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线（其中O为坐标原点），点B为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
8．已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的焦距是
C．的离心率为 D．的面积为
10．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4 B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为 D．直线与C有两个公共点
三、填空题
13．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．
14．在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则______．
15．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是______（填序号）.
①、的方程为；
②、的离心率为；
③、曲线经过的一个焦点；
④、直线与有两个公共点.
16．如图，已知双曲线中，半焦距，，分别为左 右焦点，P为双曲线上的点，，，则双曲线的标准方程为___________.
四、解答题
17．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，求的值．
18．已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程．
19．1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．
20．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为．
（1）求点的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求的值．
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
22．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
根据构造齐次式求解离心率.
【解析】由轴，且
所以， 点满足，，
，即，
，又，故，
故选：B.
2．B
【分析】
双曲线右支上取点，延长、，交于点，根据双曲线的定义及中位线的性质即可求.
【解析】不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，
由角平分线性质知：，
根据双曲线的定义，，从而，
在中，为其中位线，故.
故选：B.
3．C
【分析】
根据题意可得，，从而可得出结论.
【解析】解：因为，所以，，，
于是，，
所以实轴长，虚轴长及渐近线不相同，焦点相同.
故选：C．
4．B
【分析】
由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，并求此时的的值.
【解析】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
设，，则，
当时，取得最大值，此时，，，
故选：B
5．C
【分析】
根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【解析】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
6．D
【分析】
根据已知条件可得，利用勾股定理求出，再利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率.
【解析】因为轴，则，故，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
7．A
【分析】
根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
【解析】解：双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，
渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，
即，
正方形的边长为2，
，即，
则，
即，
则，，
故选：．
8．C
【分析】
设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【解析】设，.
在椭圆中，，
所以.
在双曲线中，，
所以，
所以，即，
得，即.
因为，所以，解得.
故选：C
9．ACD
【分析】
设，则，，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.
【解析】设，则，，离心率，选项C正确，
∴，，选项A正确，
，选项B错误，
设，将代入得，
的面积为，选项D正确，
故选:ACD.
10．AD
【分析】
分别讨论焦点在x轴、y轴两种情况，根据题意确定出夹角的大小，进而求出点（0,2）到渐近线的距离，构造出齐次方程，最后解出答案.
【解析】设的夹角为，由题意得，
∴，
①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
综上双曲线的离心率为或.
故选：AD.
11．AB
【分析】
由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案．
【解析】解：因为四边形的面积为，
所以，整理得，
记四边形内切圆半径为r，则，得．
又，所以，
又，联立可得，或，
所以双曲线的方程为或．
故选：AB.
12．AC
【分析】
由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D.
【解析】由双曲线过点，
可得，
则双曲线的标准方程为：；
所以，
因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；
将直线与双曲线联立消可得：
，
，
所以直线与双曲线
C没有公共点，所以选项D不正确；
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查了数学抽象，数学运算等核心素养.属于较易题.
13．
【分析】
通过截距式设出直线方程，并求出两点到直线的距离之和，进而建立不等式，最后求出答案.
【解析】设直线l的方程为，即．
由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，
点到直线l的距离．
所以．
由，得，即．
因为，所以，所以，
即，所以，所以，
即e的取值范围为．
故答案为：.
14．##
【分析】
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，列出方程，从而可得答案.
【解析】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为，半径为1．
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，
所以，得，故．
故答案为：.
15．①③
【分析】
由共渐近线的双曲线C方程可设为，将点代入可得双曲线的方程，进而得到离心率，即可判断①②是否正确；求出焦点坐标可验证③是否正确；将直线与双曲线C的方程联立，利用判别式及直线斜率与渐近线斜率比较可判断④是否正确.
【解析】双曲线C的渐近线为 设双曲线C的方程为 将点代入得
双曲线C的方程为，故①正确；
双曲线C的方程为，，故②错误；
双曲线C的方程为双曲线C的焦点为，，
将代入曲线得，曲线经过的一个焦点,故③正确；
由，整理得，则，
又直线过点，斜率，直线与C只有一个公共点，故④错误.
故选：①③
16．
【分析】
在中，利用双曲线的定义和余弦定理化简整理得，结合面积公式，求得，再由和，求得，即可求解.
【解析】由双曲线的定义得，
在中，由余弦定理得：
，
整理得，
所以，
因为，可得，解得，
又由，且，可得，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
17．
【分析】
根据双曲线方程为，可得焦距，因为，所以．再结合双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到的值．
【解析】解：双曲线方程为，
，，可得，
，
又为双曲线上一点，
，
因此
的值为．
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）由圆的性质得，再由双曲线的性质得，由可求得离心率的范围；
（2）（方法一）：以点为圆心，为半径的圆的方程，圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，两圆的方程联立消去，，可求得直线的方程为.
(方法二)：设，，由，可得出．再由圆的切线性质可得，由此可求得直线的方程．
（方法三）：设，，由得．继而有，由此得点、点在直线上，可求得直线的方程．
（1）
解：因为，所以，所以．
由及圆的性质，得四边形是正方形，所以．
因为，所以，
所以．
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）
解：（方法一）：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组
消去，，即得直线的方程为．
(方法二)：设，，已知点，
则，（其中，）．
因为，所以，即，
整理得．
因为，所以．
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以，
所以直线的方程为，
即．
所以直线的方程为．
（方法三）：设，，已知点，
则，（其中，）．
因为，所以，即，
整理得．
因为，所以．
这说明点在直线上．
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据题意求出圆与坐标轴的交点，进而结合双曲线的特征确定焦点和顶点，然后求出双曲线的标准方程；
（2）根据题意设出双曲线方程，然后根据渐近线方程和顶点到渐近线的距离建立方程组解出参数，进而得到答案；
（3）根据与已知双曲线共渐近线设出所求双曲线的方程，然后根据焦点坐标求出参数，进而得到答案.
（1）
对圆的方程，令，得，
解得，，即圆与轴的两个交点分别为，．
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点．
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为，
则，，所以，
从而双曲线的标准方程为．
（2）
由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以．
由顶点到渐近线的距离为1，即到的距离为1，得，所以，．
从而双曲线的标准方程为．
（3）
设所求双曲线的标准方程为．
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为．
20．
（1）1
（2）
【分析】
（1）、设，，分别与圆相切于点，，，运用圆的切线性质和双曲线的定义，可得所求横坐标;
（2）、设圆的半径为,结合双曲线的定义和三角形面积公式，解方程可得所求值.
（1）
如图所示，设，，分别与圆相切于点，，，
则，，．
由双曲线的定义得：．
设点的横坐标为，则点， ，，点的横坐标为1．
（2）
设圆的半径为，由，得，
所以，即，解得．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【解析】（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【解析】（1）若是真命题，所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，
为真命题时，，
所以的取值范围是
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以.
【点睛】
本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.
一、单选题
1．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则双曲线与有（ ）
A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长 C．相同的焦点 D．相同的渐近线
4．已知椭圆：（）与双曲线：（）有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则取最大值时的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为双曲线的左 右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左 右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线（其中O为坐标原点），点B为该双曲线的焦点．若正方形的边长为2，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
8．已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的焦距是
C．的离心率为 D．的面积为
10．设、为双曲线：（）同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4 B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为 D．直线与C有两个公共点
三、填空题
13．双曲线的焦距为2c，直线l过点和，且点到直线l的距离与点到直线l的距离之和，则双曲线离心率e的取值范围为______．
14．在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则______．
15．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是______（填序号）.
①、的方程为；
②、的离心率为；
③、曲线经过的一个焦点；
④、直线与有两个公共点.
16．如图，已知双曲线中，半焦距，，分别为左 右焦点，P为双曲线上的点，，，则双曲线的标准方程为___________.
四、解答题
17．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，求的值．
18．已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程．
19．1.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆：与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线．
20．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为．
（1）求点的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求的值．
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
22．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
根据构造齐次式求解离心率.
【解析】由轴，且
所以， 点满足，，
，即，
，又，故，
故选：B.
2．B
【分析】
双曲线右支上取点，延长、，交于点，根据双曲线的定义及中位线的性质即可求.
【解析】不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，
由角平分线性质知：，
根据双曲线的定义，，从而，
在中，为其中位线，故.
故选：B.
3．C
【分析】
根据题意可得，，从而可得出结论.
【解析】解：因为，所以，，，
于是，，
所以实轴长，虚轴长及渐近线不相同，焦点相同.
故选：C．
4．B
【分析】
由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用三角换元求的最大值，并求此时的的值.
【解析】设为第一象限的交点，、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
设，，则，
当时，取得最大值，此时，，，
故选：B
5．C
【分析】
根据已知条件和双曲线的定义可求得，，再在中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.
【解析】解：由，设，由得，，所以，
，又得，
，令，化简得：，得，所以渐近线方程为，
故选：C.
6．D
【分析】
根据已知条件可得，利用勾股定理求出，再利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，由此可求得双曲线的离心率.
【解析】因为轴，则，故，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
7．A
【分析】
根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
【解析】解：双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，
渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，
即，
正方形的边长为2，
，即，
则，
即，
则，，
故选：．
8．C
【分析】
设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【解析】设，.
在椭圆中，，
所以.
在双曲线中，，
所以，
所以，即，
得，即.
因为，所以，解得.
故选：C
9．ACD
【分析】
设，则，，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.
【解析】设，则，，离心率，选项C正确，
∴，，选项A正确，
，选项B错误，
设，将代入得，
的面积为，选项D正确，
故选:ACD.
10．AD
【分析】
分别讨论焦点在x轴、y轴两种情况，根据题意确定出夹角的大小，进而求出点（0,2）到渐近线的距离，构造出齐次方程，最后解出答案.
【解析】设的夹角为，由题意得，
∴，
①当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
②当双曲线的焦点在轴上时，其渐近线方程为，即，
∴点到渐近线的距离为，整理得，
∴，
综上双曲线的离心率为或.
故选：AD.
11．AB
【分析】
由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案．
【解析】解：因为四边形的面积为，
所以，整理得，
记四边形内切圆半径为r，则，得．
又，所以，
又，联立可得，或，
所以双曲线的方程为或．
故选：AB.
12．AC
【分析】
由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D.
【解析】由双曲线过点，
可得，
则双曲线的标准方程为：；
所以，
因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；
将直线与双曲线联立消可得：
，
，
所以直线与双曲线
C没有公共点，所以选项D不正确；
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的方程和几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查了数学抽象，数学运算等核心素养.属于较易题.
13．
【分析】
通过截距式设出直线方程，并求出两点到直线的距离之和，进而建立不等式，最后求出答案.
【解析】设直线l的方程为，即．
由点到直线的距离公式，且，得点到直线l的距离，
点到直线l的距离．
所以．
由，得，即．
因为，所以，所以，
即，所以，所以，
即e的取值范围为．
故答案为：.
14．##
【分析】
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，列出方程，从而可得答案.
【解析】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为，半径为1．
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，
所以，得，故．
故答案为：.
15．①③
【分析】
由共渐近线的双曲线C方程可设为，将点代入可得双曲线的方程，进而得到离心率，即可判断①②是否正确；求出焦点坐标可验证③是否正确；将直线与双曲线C的方程联立，利用判别式及直线斜率与渐近线斜率比较可判断④是否正确.
【解析】双曲线C的渐近线为 设双曲线C的方程为 将点代入得
双曲线C的方程为，故①正确；
双曲线C的方程为，，故②错误；
双曲线C的方程为双曲线C的焦点为，，
将代入曲线得，曲线经过的一个焦点,故③正确；
由，整理得，则，
又直线过点，斜率，直线与C只有一个公共点，故④错误.
故选：①③
16．
【分析】
在中，利用双曲线的定义和余弦定理化简整理得，结合面积公式，求得，再由和，求得，即可求解.
【解析】由双曲线的定义得，
在中，由余弦定理得：
，
整理得，
所以，
因为，可得，解得，
又由，且，可得，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
17．
【分析】
根据双曲线方程为，可得焦距，因为，所以．再结合双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到的值．
【解析】解：双曲线方程为，
，，可得，
，
又为双曲线上一点，
，
因此
的值为．
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）由圆的性质得，再由双曲线的性质得，由可求得离心率的范围；
（2）（方法一）：以点为圆心，为半径的圆的方程，圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，两圆的方程联立消去，，可求得直线的方程为.
(方法二)：设，，由，可得出．再由圆的切线性质可得，由此可求得直线的方程．
（方法三）：设，，由得．继而有，由此得点、点在直线上，可求得直线的方程．
（1）
解：因为，所以，所以．
由及圆的性质，得四边形是正方形，所以．
因为，所以，
所以．
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）
解：（方法一）：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组
消去，，即得直线的方程为．
(方法二)：设，，已知点，
则，（其中，）．
因为，所以，即，
整理得．
因为，所以．
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以，
所以直线的方程为，
即．
所以直线的方程为．
（方法三）：设，，已知点，
则，（其中，）．
因为，所以，即，
整理得．
因为，所以．
这说明点在直线上．
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据题意求出圆与坐标轴的交点，进而结合双曲线的特征确定焦点和顶点，然后求出双曲线的标准方程；
（2）根据题意设出双曲线方程，然后根据渐近线方程和顶点到渐近线的距离建立方程组解出参数，进而得到答案；
（3）根据与已知双曲线共渐近线设出所求双曲线的方程，然后根据焦点坐标求出参数，进而得到答案.
（1）
对圆的方程，令，得，
解得，，即圆与轴的两个交点分别为，．
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点．
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为，
则，，所以，
从而双曲线的标准方程为．
（2）
由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以．
由顶点到渐近线的距离为1，即到的距离为1，得，所以，．
从而双曲线的标准方程为．
（3）
设所求双曲线的标准方程为．
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为．
20．
（1）1
（2）
【分析】
（1）、设，，分别与圆相切于点，，，运用圆的切线性质和双曲线的定义，可得所求横坐标;
（2）、设圆的半径为,结合双曲线的定义和三角形面积公式，解方程可得所求值.
（1）
如图所示，设，，分别与圆相切于点，，，
则，，．
由双曲线的定义得：．
设点的横坐标为，则点， ，，点的横坐标为1．
（2）
设圆的半径为，由，得，
所以，即，解得．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【解析】（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【解析】（1）若是真命题，所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，
为真命题时，，
所以的取值范围是
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以.
【点睛】
本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.