2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.7 抛物线及其方程 专题检测卷-（word含解析）
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| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.7 抛物线及其方程 专题检测卷-（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 915.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 21:34:51 | ||
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文档简介
专题2.7 抛物线及其方程 专题检测卷
一、单选题
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．± D．
2．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水位下降2m后（水足够深），水面宽为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
7．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（ ）
A．(3，2) B．(3，－2)
C．(－3，2) D．(－3，－2)
10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________.
14．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，则此抛物线的标准方程为______．
15．以下关于圆锥曲线的四个命题中是真命题的为______（填序号）.
①设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切.
16．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
四、解答题
17．1.已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．
（1）求抛物线的方程；
（2）求矩形的面积．
19．过抛物线的焦点且斜率为2的直线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆交抛物线于，两点，若是圆的直径，求圆的面积.
20．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m，参考数据）．
21．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，求此抛物线的方程.
22．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；
（2）求此抛物线方程.
参考答案
1．A
【分析】
由平行线求得点坐标，再求得焦点坐标后，由两点坐标可得斜率．
【解析】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为，
故选：A.
2．A
【分析】
根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出.
【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为，
又抛物线的准线方程为，
所以可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
3．B
【分析】
设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出．
【解析】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
4．B
【分析】
建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以水面宽为．
故选：B
5．A
【分析】
不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论．
【解析】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．
故选：A．
6．D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出点坐标，可得直线的方程，与抛物线方程联立可得交点点坐标，然后求出坐标，再求出直线的方程，令即可求出答案.
【解析】抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
7．B
【分析】
将转化为，通过点到直线的距离求得的最小值，从而确定正确选项.
【解析】点到准线的距离等于点到焦点的距离，
从而到轴的距离等于点到焦点的距离减，
故.
过焦点作直线的垂线，
此时最小，
此时，，则的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】
根据抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解.
【解析】由题意，抛物线上一点满足，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
9．AB
【分析】
设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标
【解析】抛物线y2＝8x的准线方程为，
设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，
∴y＝±.
∴点P的坐标为(3，±).
故选：AB.
10．AC
【分析】
结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.
【解析】因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
11．BC
【分析】
设，表示出，由抛物线的定义，得到，求出p，把B的坐标代入抛物线方程求出，即可得到M的坐标.
【解析】设，易知，则，如图所示．
设抛物线的准线为l，过B作于点，则，解得．
所以抛物线方程为，且，
又B在抛物线上，所以，因此，解得．
所以点M的坐标为或．
故选：BC
12．ABD
【分析】
根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断．
【解析】对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
13．y2＝8x
【分析】
设出抛物线方程，根据定义求出p，即可写出抛物线的方程.
【解析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
故答案为：y2＝8x
14．或
【分析】
设所求抛物线的标准方程为，，结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求得的值.
【解析】设所求抛物线的标准方程为，，由题知．
因为，所以，
因为，所以，所以，
代入方程，得，解得或．
故所求抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
15．②③④
【分析】
根据双曲线的定义可判断①，求出方程的根可判断②，分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标可判断③，根据梯形中位线和抛物线的定义可判断④.
【解析】对于①，设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线，故①错误；
对于②，方程的两根分别为2和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
对于③，双曲线的焦点坐标为和，椭圆的焦点坐标为和，故有相同的焦点，故③正确；
对于④，如图，直线是过焦点的直线，直线是抛物线的准线，是梯形的中位线
由抛物线的定义可得
所以以为直径的圆与准线相切，故④正确.
故答案为：②③④
16．
【分析】
可设，由已知可得即计算即可得出结果.
【解析】由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
17．
（1）
（2）是，
【分析】
（1）根据题意得椭圆的焦点坐标为,，进而得，即可求出抛物线的方程；
（2）设直线l的方程为，，设，，则，进而与抛物线联立方程，由韦达定理得，设直线的方程为，与抛物线联立得，故，进而得，再讨论排除，即可得答案.
（1）
因为椭圆的两焦点分别为,，
所以抛物线的焦点为，故，得，
所以抛物线的方程为；
（2）
由于直线的斜率存在，故设直线的方程为，
设，，则；
将代入得，，
所以，；
设直线的方程为，代入得，
，，；
因此，所以
若，直线的方程为，恒过点为 ，直线与直线重合，不合题意，故舍去，所以，此时直线的方程为，恒过点为．
18．
（1）
（2）8
【分析】
（1）根据抛物线的焦点是，由求解；
（2）设，，根据四边形是矩形，可得，且，进而得到，然后结合抛物线的定义，求解.
（1）
因为抛物线的焦点是，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
（2）
设，，
因为四边形FAPB是矩形，
所以，且，
即，，且．
所以，，且．
所以．
解得， ，
由抛物线的定义得：，
所以矩形的面积为：
，
．
所以矩形的面积为8．
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）设出直线方程，与抛物线联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合中点坐标公式求出的方程，与抛物线联立，求出点坐标，最后利用两点间距离公式和圆的面积公式进行求解即可.
（1）
抛物线的方程为，抛物线的焦点，
设，，直线的方程为：
由得：，，，
抛物线的方程为.
（2）
设，，
圆的方程为，且是圆的直径，，，
，，
，直线的方程为，
联立得：，
不妨设，,
20．
【分析】
建立如图坐标系，根据题意得出点，将其代入抛物线解析式求出，即可得函数解析式，再令即可得出答案．
【解析】解：建立如图所示的坐标系，
根据题意知点的坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
，
当时，有，
解得：，
水面的宽度为．
21．
【分析】
分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义可求， 的长度，再结合图形可和相关线段的长度可得即为的中位线，进而求出,最后可求得抛物线方程.
【解析】
如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设准线与轴的交点为，
由抛物线定义可知，，
在中，可知，
故在中可得，
故，则即为的中位线，
故
因此抛物线方程为.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求得，结合余弦定理求得，进而求得三角形的面积.
（2）结合三角形的面积求得点的坐标，进而求得抛物线的方程.
【解析】（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.
一、单选题
1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A． B． C．± D．
2．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m，则水位下降2m后（水足够深），水面宽为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
7．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（ ）
A．(3，2) B．(3，－2)
C．(－3，2) D．(－3，－2)
10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________.
14．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，则此抛物线的标准方程为______．
15．以下关于圆锥曲线的四个命题中是真命题的为______（填序号）.
①设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线与椭圆有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦PQ为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切.
16．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
四、解答题
17．1.已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．
（1）求抛物线的方程；
（2）求矩形的面积．
19．过抛物线的焦点且斜率为2的直线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆交抛物线于，两点，若是圆的直径，求圆的面积.
20．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水面下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m，参考数据）．
21．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，求此抛物线的方程.
22．已知椭圆的左 右焦点分别为，，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.
（1）求三角形的面积；
（2）求此抛物线方程.
参考答案
1．A
【分析】
由平行线求得点坐标，再求得焦点坐标后，由两点坐标可得斜率．
【解析】将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为，
故选：A.
2．A
【分析】
根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出.
【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为，
又抛物线的准线方程为，
所以可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
3．B
【分析】
设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出．
【解析】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．
故选：B．
4．B
【分析】
建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以水面宽为．
故选：B
5．A
【分析】
不妨设，不妨设，则，利用抛物线的对称性及正方形的性质列出的方程求得后可得结论．
【解析】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以．
故选：A．
6．D
【分析】
根据抛物线的标准方程求出准线方程，设出点坐标，可得直线的方程，与抛物线方程联立可得交点点坐标，然后求出坐标，再求出直线的方程，令即可求出答案.
【解析】抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
7．B
【分析】
将转化为，通过点到直线的距离求得的最小值，从而确定正确选项.
【解析】点到准线的距离等于点到焦点的距离，
从而到轴的距离等于点到焦点的距离减，
故.
过焦点作直线的垂线，
此时最小，
此时，，则的最小值为.
故选：B
8．D
【分析】
根据抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解.
【解析】由题意，抛物线上一点满足，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D.
9．AB
【分析】
设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标
【解析】抛物线y2＝8x的准线方程为，
设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，
∴y＝±.
∴点P的坐标为(3，±).
故选：AB.
10．AC
【分析】
结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.
【解析】因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
11．BC
【分析】
设，表示出，由抛物线的定义，得到，求出p，把B的坐标代入抛物线方程求出，即可得到M的坐标.
【解析】设，易知，则，如图所示．
设抛物线的准线为l，过B作于点，则，解得．
所以抛物线方程为，且，
又B在抛物线上，所以，因此，解得．
所以点M的坐标为或．
故选：BC
12．ABD
【分析】
根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断．
【解析】对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
13．y2＝8x
【分析】
设出抛物线方程，根据定义求出p，即可写出抛物线的方程.
【解析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
故答案为：y2＝8x
14．或
【分析】
设所求抛物线的标准方程为，，结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求得的值.
【解析】设所求抛物线的标准方程为，，由题知．
因为，所以，
因为，所以，所以，
代入方程，得，解得或．
故所求抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
15．②③④
【分析】
根据双曲线的定义可判断①，求出方程的根可判断②，分别求出双曲线、椭圆的焦点坐标可判断③，根据梯形中位线和抛物线的定义可判断④.
【解析】对于①，设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线，故①错误；
对于②，方程的两根分别为2和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；
对于③，双曲线的焦点坐标为和，椭圆的焦点坐标为和，故有相同的焦点，故③正确；
对于④，如图，直线是过焦点的直线，直线是抛物线的准线，是梯形的中位线
由抛物线的定义可得
所以以为直径的圆与准线相切，故④正确.
故答案为：②③④
16．
【分析】
可设，由已知可得即计算即可得出结果.
【解析】由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
17．
（1）
（2）是，
【分析】
（1）根据题意得椭圆的焦点坐标为,，进而得，即可求出抛物线的方程；
（2）设直线l的方程为，，设，，则，进而与抛物线联立方程，由韦达定理得，设直线的方程为，与抛物线联立得，故，进而得，再讨论排除，即可得答案.
（1）
因为椭圆的两焦点分别为,，
所以抛物线的焦点为，故，得，
所以抛物线的方程为；
（2）
由于直线的斜率存在，故设直线的方程为，
设，，则；
将代入得，，
所以，；
设直线的方程为，代入得，
，，；
因此，所以
若，直线的方程为，恒过点为 ，直线与直线重合，不合题意，故舍去，所以，此时直线的方程为，恒过点为．
18．
（1）
（2）8
【分析】
（1）根据抛物线的焦点是，由求解；
（2）设，，根据四边形是矩形，可得，且，进而得到，然后结合抛物线的定义，求解.
（1）
因为抛物线的焦点是，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
（2）
设，，
因为四边形FAPB是矩形，
所以，且，
即，，且．
所以，，且．
所以．
解得， ，
由抛物线的定义得：，
所以矩形的面积为：
，
．
所以矩形的面积为8．
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）设出直线方程，与抛物线联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合中点坐标公式求出的方程，与抛物线联立，求出点坐标，最后利用两点间距离公式和圆的面积公式进行求解即可.
（1）
抛物线的方程为，抛物线的焦点，
设，，直线的方程为：
由得：，，，
抛物线的方程为.
（2）
设，，
圆的方程为，且是圆的直径，，，
，，
，直线的方程为，
联立得：，
不妨设，,
20．
【分析】
建立如图坐标系，根据题意得出点，将其代入抛物线解析式求出，即可得函数解析式，再令即可得出答案．
【解析】解：建立如图所示的坐标系，
根据题意知点的坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
，
当时，有，
解得：，
水面的宽度为．
21．
【分析】
分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，根据抛物线的定义可求， 的长度，再结合图形可和相关线段的长度可得即为的中位线，进而求出,最后可求得抛物线方程.
【解析】
如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设准线与轴的交点为，
由抛物线定义可知，，
在中，可知，
故在中可得，
故，则即为的中位线，
故
因此抛物线方程为.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求得，结合余弦定理求得，进而求得三角形的面积.
（2）结合三角形的面积求得点的坐标，进而求得抛物线的方程.
【解析】（1）椭圆即，
，设，
则，
即，
所以三角形的面积为.
（2）设，在第一象限，
，
，所以，
代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为.