2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题1.1 空间向量及其运算 专题检测卷（word含解析）

专题1.1 空间向量及其运算 专题检测卷
一、单选题
1．向量，，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
2．已知＝(2,－3,1)，则下列向量中与平行的是（ ）
A．(1,1,1) B．(－2,－3,5)
C．(2,－3,5) D．(－4,6,－2)
3．已知向量，，，若，，共面，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．设x，，向量，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
5．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如果向量，，共面，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，其中，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17 B．－17 C．－1 D．1
10．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
三、填空题
13．已知，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________.
14．已知，，则的最大值是________．
15．已知 ，则λ＝________．
16．已知点，则在上的投影向量的长度为________.
四、解答题
17．已知空间三点，设.
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值.
18．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标是，3，，求向量在基底下的坐标．
19．设空间向量，5，，，1，．
（1）计算，，的值，并求与所成角的余弦值；
（2）当、，满足什么条件时，使得与轴垂直．
20．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
21．已知正四棱锥P ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
（1）；
（2）
22．已知A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)，当取最小值时，求点Q的坐标．
参考答案
1．C
【分析】
根据向量模的公式可求出的值，根据可求出的值，从而可求出的值.
【解析】因为向量，，所以，解得，
所以向量，
因为，所以，所以，
所以的值为.
故选：C.
2．D
【分析】
利用向量平行的判定有，结合坐标及各选项中对应向量坐标判断是否符合要求.
【解析】要使向量与平行，则且，
∴A：若＝(1,1,1)，不存在使成立；
B：若＝(－2,－3,5)，不存在使成立；
C：若＝(2,－3,5)，不存在使成立；
D：若＝(－4,6,－2)，则有成立；
故选：D
3．D
【分析】
利用空间向量共面定理进行求解.
【解析】若，，共面，则存在实数，，
使得，
即，
即，解得.
故选：D.
4．C
【分析】
根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.
【解析】因为向量，，且，，
所以，，
解得，
所以向量，，
所以，
所以，
故选：C
5．A
【分析】
利用空间向量加法的坐标运算，即得解.
【解析】因为，.所以.
故选：A
6．B
【分析】
设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.
【解析】由于向量，，共面，
设，可得，解得.
故选：B.
7．A
【分析】
根据两向量平行可得出关于、的等式，解出、的值，由此可得出的值.
【解析】已知向量，，且，则，解得，，
因此，.
故选：A.
8．B
【分析】
根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，求出，，即可得出结果.
【解析】因为，，，
所以，解得，
因此.
故选：B.
9．AC
【分析】
利用平面向量夹角的坐标表示列出方程，然后把向量与的坐标代入运算，即可求出结果．
【解析】由已知，，
，解得或，
故选：AC.
10．AC
【分析】
根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.
【解析】，
若且，
则，解得或，
所以或.
故选：AC
11．BC
【分析】
利用向量坐标运算法则直接求解．
【解析】解：向量，
，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确．
故选：．
12．BCD
【分析】
根据空间向量的基底的概念，对选项逐一分析，可得正确选项.
【解析】由是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；
在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；
在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基底，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查向量的基底的概念，需要注意：
（1）如果是基底，则一定不共面；
（2）对空间中任意向量，都可以用基底向量进行表示；
（3）如果，则共面.
13．
【分析】
根据题意，易得以，为邻边的平行四边形为菱形，结合菱形面积公式，即可求解.
【解析】由题意知，，因此以，为邻边的平行四边形为菱形.
因，，
所以，，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】
利用向量数量积和模的公式，即可求得的最大值.
【解析】因为，所以，设的夹角为，
，
当时，的最大值是.
故答案为：
15．
【分析】
根据题意得到，从而可求出的值.
【解析】由，得，即，
即 ，
所以，
即4λ＋6＝0，∴λ＝．
故答案为：.
16．
【分析】
计算，，根据投影公式得到答案.
【解析】由已知得，
∴，又，
所以在上的投影向量的长度为.
故答案为：.
17．
（1）
（2）或
【分析】
（1）根据空间向量坐标表示公式，结合空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量数量积坐标表示公式进行求解即可.
（1）
所以与的夹角的余弦值为；
（2）
因为
所以
即，所以或.
18．，，．
【分析】
设：，0，，，1，，，0，．则．设．由向量相等的条件求得x，y，z，从而求得答案.
【解析】解：不妨设：，0，，，1，，，0，．则．
设．
，解得，，．
向量在基底下的坐标为，，．
19．（1）；；；与所成角的余弦值为；（2）．
【分析】
（1）利用空间向量的坐标运算公式计算即可；
（2）利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可.
【解析】解：（1）空间向量，5，，，1，，
，10，，3，，13，，
，15，，2，，13，，
，
与所成角的余弦值为：．
（2）轴的方向向量为，0，，
，，，
与轴垂直，则，即，．
时，与轴垂直．
20．（1）；（2）；（3），．
【分析】
（1）利用向量的数量积运算求解；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）取轴上的单位向量，由与轴垂直，且，利用数量积运算求解.
【解析】（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
21．（1）；（2）x＝2，y＝－2．
【分析】
（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出，从而得出；
（2）由平行四边形法则得出，进而得出，从而得出的值.
【解析】（1）如图，
（2）∵O为AC的中点，Q为CD的中点
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的平行四边形法则以及三角形法则得出的值.
22．Q点的坐标为
【分析】
利用空间向量的运算的坐标表示求解.
【解析】由于＝(1，1，2)，点Q在直线OP上，
所以与共线，
设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，
所以点Q的坐标为(λ，λ，2λ)．
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－．
当λ＝时，取得最小值．
此时Q点的坐标为．