2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.2 直线及其方程 专题检测卷（word含解析）

专题2.2 直线及其方程 专题检测卷
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（　　）
A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1C．k34．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（ ）
A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条
B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条
C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条
D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条
5．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，点，直线（其中，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．， B．，， C．，， D．，
8．若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下面说法中错误的是
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
E.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
10．已知直线，动直线，则下列结论错误的是
A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直
11．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
12．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线
D．截距式适用于不过原点的任何直线
三、填空题
13．设点，若直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数m的值为___________.
14．已知直线经过点，直线经过点，如果那么________．
15．若直线与互相垂直，则等于______．
16．已知直线和，直线l与的距离分别是，若，则直线l的方程为_________．
四、解答题
17．1.已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
18．已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
19．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．
（1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
20．已知直线l过两直线3x+4y-5=0，2x-3y+8=0的交点，且A(2，3)，B(-4，5)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程.
21．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
22．已知三条直线，直线和直线，且l1和l2的距离是.
（1）求a的值.
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
参考答案
1．B
【解析】由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故选：B.
2．B
【解析】联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，
解得x＝﹣3，y＝﹣5，
所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），
又直线l1的斜率为2，
故所求直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即x+2y+13＝0．
故选：B
3．D
【分析】
根据直线的倾斜角大小判断k1，k2，k3的大小关系即可.
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，
∴0综上，k1故选：D．
4．A
【分析】
由题设可得，，进而可得关于的函数，应用数形结合的方法判断在不同区间上对应直线l的条数.
【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，，
∴，作出其图象如图所示，
由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解.
故选：A
5．A
【分析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【解析】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
6．C
【分析】
由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．
【解析】由直线，，
可得，，
所以当的面积，
令，所以，
所以当，即时，取得最小值．
故选：C
【点睛】
求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．
7．D
【分析】
求出直线恒过定点，求出，与定点的斜率，即可得到的取值范围；
【解析】解：由题意，（其中，
则，，
，解得：，
直线所过定点；
点，点，设直线所过定点为，则的坐标；
，，
直线与线段有公共点，
当时，直线，与线段有公共点，
当时，直线的斜率，
或，解得，或，
综上所述：的取值范围为，，
故选：．
【点睛】
关键点睛：本题考查直线恒过定点，解答本题的关键是先求出直线所过定点，然后由或求解，属于中档题．
8．C
【分析】
根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率，分析可得斜率的范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得，又由倾斜角的范围，分析可得答案．
【解析】根据题意，直线经过，，
则直线的斜率，
又由，则，则有，
又由，则；
故选：．
9．ABCD
【分析】
利用直线方程的各种形式的使用条件，对选项逐一分析，得出结果.
【解析】对于A项，该方程不能表示过点P且垂直于轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A项不正确；
对于B项，该方程不能表示过点P且平行于轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B项不正确；
对于C项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C项不正确；
对于D项，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；
对于E项，经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程 表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E正确；
故选ABCD.
【点睛】
该题考查的是有关直线方程的使用条件，需要对点斜式，斜截式，两点式，截距式的使用条件非常熟悉，属于中档题目.
10．AC
【分析】
给出特殊值可以确定选项AC的正误，由直线恒过定点可判断选项B的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程可确定选项D的正误.
【解析】逐一考查所给的选项：
A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确．
B直线过定点，直线过定点，故B是正确的．
C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项C错误；
D.两直线垂直，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D正确．
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．CD
【分析】
由已知得直线l的斜率，可判断A选项；得直线l的方程为，令可判断B选项；求得直线的斜率为可判断C选项；求得原点到直线l的距离可判断D选项．
【解析】由已知得直线l的斜率，设其倾斜角为，则，所以，故A选项错误；
直线l的方程为，即，所以它在x轴上的截距等于，故B选项错误；
直线的斜率为，所以两直线垂直，故C选项正确；
原点到直线l的距离，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，D选项正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查直线的斜率、倾斜角、在x轴上的截距，以及两直线垂直的条件，属于基础题.
12．ABC
【分析】
利用直线方程不同形式的限制条件进行判断正误；
【解析】对A，B，如果直线垂直于轴，其斜率不存在，故A，B正确；
对C，分母不为0，所以适用于不垂直于轴和轴的任何直线，故C正确；
对D，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】
本题考查直线方程的概念，求解时注意每种直线方程形式的限制条件.
13．4
【分析】
由题意知直线的斜率存在，利用斜率公式求得、，列式解得的值.
【解析】解：依题意知直线的斜率存在，则，由得
，所以.
故答案为：4
14．或．
【分析】
当直线和中有一条斜率不存在时，的斜率不存在，的斜率为0满足条件，直线的斜率均存在，由，即，求得的值.
【解析】解:因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而的斜率可能不存在，下面对a进行讨论：
当，即时，的斜率不存在，的斜率为0，此时满足．
当，即时，直线的斜率均存在，设直线的斜率分别为．由得，
即，解得．
综上，a的值为或．
故答案为：或
15．或1
【分析】
对分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．
【解析】当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线互相垂直；
当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不互相垂直．
当，1时，两条直线分别化为：，．
直线与互相垂直，
，
解得或1（舍去），
综上可得：或1．
故答案为：或1．
16．或
【分析】
结合题意得直线与均平行，进而设直线 （且），再结合平行线之间的距离求解即可.
【解析】解：由直线的方程知，又由题意知，直线与均平行．
设直线 （且），
由两平行直线间的距离公式，得，
又，所以，解得或．
故所求直线l的方程为或．
故答案为：或
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程
（1）
因为边AC上的高BH所在直线方程为
∴ ，且
∴
∵的顶点
∴直线AC方程：，即
与联立， ，解得：
所以顶点C的坐标为
（2）
因为CM所在直线方程为
故设点的坐标为
因为是中点，
所以
因为在BH所在直线上
所以，解得：
所以点坐标为
由第一问知：C的坐标为
故直线BC的方程为，整理得：
18．
（1）
（2）2
【分析】
（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．
（2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
（1）
解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，
所在直线方程为，即．
（2）
解：由 解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，
，
．
19．
（1）
（2）的面积最小值是4，此时的直线方程为
【分析】
（1）由题得直线恒过的定点P，再由两点的距离公式可得所求最大值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率，根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．
（1）
直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即为m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，
由可得，
则已知直线恒过定点P(－1,－2)，
可得Q（3，4）到直线的最大距离为|QP|2.
（2）
设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2＝k(x+1)，
可得|OA|＝|1|，|OB|＝|k－2|，
则S△AOB |OA| |OB||(1)(k－2)|||．
由k＜0，可得－k＞0，
所以S△AOB[][4+()+(－k)]≥4．
当且仅当k，即k＝－2时取等号．
则△AOB的面积最小值是4，
直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．
20．或.
【分析】
先求出直线3x+4y-5=0，2x-3y+8=0的交点坐标，又点A(2，3)，B(-4，5)到直线的距离相等，从而求出直线的方程.
【解析】解方程组
得即交点坐标为(-1，2).
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.
由题意得=，
解得k=-，
所以直线l的方程为y-2=-(x+1)，
即x+3y-5=0.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，符合题意.
综上，所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
21．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【分析】
（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【解析】（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
22．（1）a=3；（2）能，，.
【分析】
（1）由与的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
（2）设，，由点到直线距离公式，我们可得到一个关于，的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．
【解析】（1）：，
与的距离．
．．
，．
（2）设点，，若点满足条件②，
则点在与、平行的直线上，
且，即或，
或；
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有，
即，
或．
由在第一象限，不可能．应舍去
联立方程和，
解得，，不满足题意，
由，，
解得，．
，即为同时满足三个条件的点．