2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题1.2 空间向量在立体几何中的应用 专题检测卷（word含解析）

专题1.2 空间向量在立体几何中的应用 专题检测卷
一、单选题
1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（　　）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
3．如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．将边长为的正方形及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
10．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为
B．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
C．当点为的中点时，在直线上存在点，使得
D．存在唯一一点，使得平面，且
11．如图，正方体的棱长为1，分别为的中点.则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
12．如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿 及把这个正方形折成一个四面体，使得 三点重合于，得到四面体(如图2).下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球体积为
B．顶点在面上的射影为的重心
C．与面所成角的正切值为
D．过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
三、填空题
13．如图所示，在三棱柱中，已知是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面.若，则直线到面的距离为___________.
14．三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A﹣BD﹣C的平面角的正切值是__．
15．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
16．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
四、解答题
17．如图，在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，.
（1）若，求二面角的正弦值；
（2）若平面平面，求的长.
18．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.
19．如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．
求证：（1）；
（2）．
20．如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，，平面与平面的交线为.
（1）证明：直线平面；
（2）已知，，设与平面所成的角为，求的取值范围.
21．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值.
22．如图，在三棱锥中，为正三角形，点，分别为，的中点，其中，．
（1）证明：平面平面；
（2）若点是线段上异于点的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
参考答案
1．B
【分析】
在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可.
【解析】
设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是.
故选：B.
2．C
【分析】
建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
3．A
【分析】
建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果.
【解析】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
故选：A.
4．B
【分析】
建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．
【解析】解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
又点到平面的距离为1，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
故选：B．
5．D
【分析】
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.
6．B
【分析】
先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.
【解析】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，
依题意，设，，设，，故，
又，异面直线与成的角，故，
即，即，，故，又，故.
故选：B.
7．C
【分析】
由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.
【解析】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.
故选：C
8．C
【分析】
设菱形的边长为1，则，利用向量的平行四边形法则得到，再利用数量积运算求出，再由 ，根据的范围，利用余弦函数的性质求解.
【解析】设菱形的边长为1，则，
，
，
，
，
，
所以，
由图可知：，
所以，
所以，
所以，
所以异面直线与所成的角的取值范围是
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是得到，转化为余弦函数求得其范围，进而求出的范围.
9．AD
【分析】
设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.
【解析】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.
对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.
对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.
对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
此时.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，
所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.
故选：AD.
10．ABC
【分析】
利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面，可判断B选项的正误；利用勾股定理求出的长，可判断C选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.
【解析】长方体中，，，，
对于A，，
，平面，平面，故平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，
过点在平面内作，如图1所示，
平面，平面，则，
，平面，且，
故，同理可得，
所以，A对；
对于B选项，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，
将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图2所示，
则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，
，
所以四边形的周长的最小值为，B对；
对于，，即，所以，，
解得，C对；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，，，
因为平面，则，解得，即，D错.
故选：ABC.
11．BC
【分析】
对于A：由,而直线与直线不垂直即可判断；
对于B： 取的中点N，连结GN,A1N,可以证明面，面，利用面面平行的判定定理证明面面即可得到直线与平面平行.
对于C：连结,先判断出平面截正方体所得的截面为面，是一个为等腰梯形，求出各边长，求出高，即可计算出面积；
对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,得到矛盾，则假设不成立,即可判断.
【解析】对于A：在正方体中，,因为直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直.故A错误；
对于B： 取的中点N，连结GN,A1N,因为，N分别为,的中点,所以由三角形中位线定理得：所以
因为面，EF面，所以面.
同理可证：面.
又面，面，，
所以面面,所以直线与平面平行.故B正确；
对于C：连结,由上面证明过程可知,所以平面截正方体所得的截面为面.因为， ,
所以为等腰梯形，如图示：
过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则,
所以,
所以等腰梯形的面积为.
故C正确.
对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故D错误.
故选：BC
【点睛】
（1）立体几何中几何关系的证明，用判定定理；
（2）作多面体的截面方法（交线法）：关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面；
12．ACD
【分析】
折叠问题，关键是抓住其中的不变量.
选项A：说明 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题；
选项B：由于 两两垂直，可证在面上的射影为的垂心；
选项C：线面角的定义法求解；
选项D：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.
【解析】对于A项，易知 两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长，
外接球半径，故外接球体积为，
故A项正确；
对于B项，由于 两两垂直，故在面上的射影为的垂心，
理由如下:如图，过点作平面，交平面于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，，，都在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
又，所以平面，又平面，所以.
同理可证，，所以在面上的射影为的垂心.
故B项错误；
对于C项，设为中点，则，，，
故平面，故平面平面，所以在平面上的射影为，
与平面所成角为，，，，，
故C项正确；
对于D项，设为四面体的外接球球心，平面，连接，，
当过点的截面经过球心时截面圆面积最大，面积为；
当垂直截面圆时，截面圆面积最小，
此时，，，
，截面圆面积为，
得截面圆面积取值范围是.
故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：
(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解.
(2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解.
13．
【分析】
建立空间直角坐标系，设，设面的法向量为，利用空间向量数量积求得法向量，由直线到面的距离就等于点到面的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.
【解析】如图建立空间坐标系，设，
，设面的法向量为，
则有，得，
直线到面的距离就等于点到面的距离，
也等于向量在面的法向量上的投影的绝对.
故答案为：.
14．-2
【分析】
作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，求出平面CBD的一个法向量为以及平面ABD的一个法向量为,求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．然后即可求出正切值．
【解析】解：∵平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴设AB＝1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，
得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），A（0，0，），
，显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为（x，y，1）则
（x，y，1） =（x，y，1）＝0
（x，y，1） =（x，y，1）＝0
解得x＝1，y＝，
则
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A﹣BD﹣C大小为θ，则θ为钝角，则|cosθ|＝＝＝，
即cosθ＝﹣，
则sinθ＝＝，
则tanθ＝＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．．
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法线段长．
【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查求空间线段长．解题方法是建立空间直角坐标系，求出线段两端点的坐标，求出空间向量的模得结合，这种方法把问题通过计算求解，减少了推理过程．
16．
【分析】
建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.
【解析】如图
设，
设平面的一个法向量为
令，，则
平面的法向量的一个法向量为
设平面与底面所成的锐二面角为
所以
当时，有最大，则有最小，所以
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题中条件，先证明两两垂直，再以为正交基底，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，进而可求出正弦值；
（2）设，用分别表示出两平面和的一个法向量，由面面垂直，得到法向量垂直，列出等量关系，求出，即可得出结果.
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以，，
又四边形为正方形，则，所以，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，，
所以，即，
不妨取，则，所以；
又，，
所以，，
所以，，又，平面，平面，
所以为平面的一个法向量，
所以.
所以二面角的正弦值为.
（2）设，则，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，则，，
所以，即，
不妨令，则，所以.
设平面的一个法向量为，
则由，，得，即，
不妨取，则，得，
因为平面平面，
所以，即，得，
即.
【点睛】
方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
【解析】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
，，，
又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；
（2）E，H分别是AB，AD的中点，
，，，
平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；
（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，
E，G分别是AB，CD的中点，
.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；
【解析】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以
（2）由（1）可知，所以，所以
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接，与交于点，根据题中条件，由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，得到是平面的一个法向量，再得到，根据向量夹角公式，即可求出线面角的正弦值.
【解析】（1）如图，连接，与交于点.
由条件可知，且，所以，
因为平面，所以平面.
因为平面平面，所以.
因为四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以，，
又，所以平面，
所以平面.
（2）如图所示，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系.
设，因为，所以.
则，.
所以，，.
由（1）可知是平面的一个法向量，
而，
所以，
当时，，
即.
【点睛】
方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证平面平面，只要证平面，即证且，前者可以由为等边三角形得到，后者由平面得到.
（2）建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.
【解析】（1）由题，为的中点，可得，
∵平面平面，，∴平面.又∵平面，
∴. ∴平面.∴平面平面.
（2）取的中点，的中点，连接，
∵，∴
∵平面平面平面，
∴平面
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则.即.可取
同理，可得平面的法向量
所以二面角所成角的余弦值为
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知数据结合勾股定理的逆定理可证得，，再由线面垂直的判定定理可得平面，由三角形的中位线定理可得，从而可得平面，再利用面面垂直的判定定理可证结论；
（2）如图过作于点，连接，在中，可求得，从而由勾股定定理的逆定理可得，可得平面，进而得面平面，由题意得点在线段上，连接，过作，交的延长线于点，从而可求得结果，或如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，可利用等体积法求解即可
【解析】解：（1）由题意知，所以，
同理，又，，平面，
所以平面．
因为点，分别为，的中点，所以，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）解法一 在中，，，，则，
如图过作于点，连接，
在中，，，可得，．
因为平面，所以，
在中，，，所以，
则，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
结合题意分析易知，点在线段上，连接，过作，交的延长线于点，
则结合已知得，得．
设，则有，解得，
所以．
解法二 由（1）知，平面．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．
设直线与平面所成的角为，平面的法向量为，，
则，
所以即取，则，所以，
所以，
所以，
所以．
解法三 设直线与平面所成的角为，点到平面的距离为，．
由题意得，则．
在中，，，，则，
在中，，，，
所以
．
因为，所以，
当在，之间时，，
解得；当在，之间时，，无解．
所以．
【点睛】
方法点睛：线面角的求解有三种方法：一是传统法，根据几何体的结构特征与线面位置关系作出线面角，然后转化为解三角形问题求解即可；二是建立空间直角坐标系，利用向量法求解；三是等体积法，利用等体积法求出点到平面的距离，然后根据线面角的定义找到线面角，再求解即可．