2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.4 曲线与方程 专题检测卷（word含解析）

专题2.4 曲线与方程 专题检测卷
一、单选题
1．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．曲线的一支
3．在平面内，(为常数，且)，动点满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
4．在平面直角坐标系中，动点关于轴对称的点为，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．方程y＝－表示的曲线(　　)
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
6．“点M在曲线上”是“点M到两坐标轴距离相等”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线经过坐标原点
B．曲线关于轴对称
C．曲线关于轴对称
D．若点在曲线上，则
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
11．已知，为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线不可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多选）在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点和连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是（ ）
A．曲线C是轴对称图形
B．曲线C上所有的点都在圆外
C．曲线C是中心对称图形
D．曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2
三、填空题
13．曲线与曲线的交点个数是_________．
14．到直线距离等于2的点的轨迹方程是________.
15．方程表示的图形是__．
16．直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．
四、解答题
17．已知A，B两点的坐标分别是，．直线AM，BM相交干点M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程．
18．（1）求到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹方程；
（2）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大1，求动点的轨迹方程.
19．已知圆与轴正半轴上一定点，是否存在一定点，使得圆上任一点，都有成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
21．动点到两定点，（）距离之比为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点在什么位置时，的面积最大？
22．圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
参考答案
1．D
【解析】由条件可知的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是，
，，圆心，，
所以，解得：，即
设，由条件可知，即，
两边平方后，整理为.
故选：D
2．A
【分析】
先找出定点A和直线确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.
【解析】如图，设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且的斜线，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点都在平面与平面的交线上.
3．A
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量坐标表示公式、圆的标准方程进行判断即可.
【解析】不妨设，，设，
因为，所以，即，
解得，
所以点的轨迹为圆.
故选：A
4．B
【分析】
设，则，进而得出答案．
【解析】设，则．
故选：B．
5．D
【分析】
化简整理后为方程x2+y2=25，但还需注意y≤0的隐含条件，判断即可．
【解析】化简整理后为方程x2+y2=25，但y≤0．
所以曲线的方程表示的是半个圆．
故选D．
6．C
【分析】
由充分条件和必要条件的定义判断.
【解析】由“点M在曲线上”一定能推出“点M到两坐标轴距离相等”，故充分；
当“点M到两坐标轴距离相等”时，点M不一定在曲线上，此时，点M也可能在曲线上，故不必要，
故选：C
7．C
【分析】
根据绝对值的性质结合题意进行求解即可.
【解析】设点的坐标为，由题意可知：平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是，
故选：C
8．C
【分析】
根据椭圆、双曲线的性质判断参数的符号，结合直线的位置判断与曲线参数是否矛盾，即可知正确选项.
【解析】方程可化为和.
A：双曲线的位置：，，由直线的位置：，，矛盾，排除；
B：椭圆知，，但B中直线的位置：，，矛盾，排除；
C：双曲线的位置：，，直线中，的符号一致.
D：椭圆知，，直线的位置：，，矛盾，排除；
故选：C.
9．BCD
【分析】
设点，根据已知条件求出曲线的方程，可判断A选项的正误，利用对称性的定义可判断BC选项的正误，利用不等式可判断D选项的正误.
【解析】设，则，所以，，
即，①
对于A，令，则①，A错；
对于B，以代替，则①，方程不变，
因此，曲线关于轴对称，B对；
对于C，以代替，则①，方程不变，
因此，曲线关于轴对称，C对；
对于D，由①可得，
即，即，解得，D对.
故选：BCD.
10．BC
【分析】
根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.
【解析】A：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
B：假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
C：当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
D：若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】
讨论、、、，根据直线、曲线的图象性质，即可判断各项图象是否可能.
【解析】由题意知：，，
∴当时，为焦点在x轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故A不可能；
当时，为焦点在y轴上的椭圆，是过一、二、三象限的直线，故B不可能；
当时，为焦点在x轴上的双曲线，是过一、三、四象限的直线，故C可能；
当时，为焦点在y轴上的双曲线，是过一、二、四象限的直线，故D不可能；
故选：ABD
12．BC
【分析】
根据已知条件求出曲线C的方程，即可求得结论.
【解析】设，依题意有，整理，得，于是曲线C的方程为，
所以曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；
又因为，
所以曲线C上所有的点都在圆外，故B选项正确；
代入点，得，所以点在曲线C上，
但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误．
故选：BC．
【点睛】
本题考查求曲线方程，并研究曲线的几何性质，属于中档题.
13．
【分析】
联立方程，方程组解的个数即为交点个数．
【解析】由可得，，所以或，所以交点个数是．
故答案为：．
14．或
【分析】
根据点到直线距离公式，结合题意进行求解即可.
【解析】设到直线距离等于2的点的坐标为：，
由题意可知：
或
，
故答案为：或
15．点
【分析】
由，，根据方程可得，从而可得答案.
【解析】由，且，
所以 ，从而得到
所以方程表示的图形表示点．
故答案为：点．
16．x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，
设AB的中点为M(x，y)，
则x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
17．
【分析】
设出，根据即可求出.
【解析】设，因为直线AM，BM的斜率存在，所以，
因为，即，整理可得，
所以点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据点恰好在直线上，所以动点的轨迹为过点且垂直于直线的直线；
（2）利用直接法，设点的坐标为，则，化简即可得解.
【解析】（1）由于点恰好在直线上，所以动点的轨迹是直线，此直线过点且垂直于直线，则动点的轨迹方程为.
（2）设点的坐标为，则，
两边平方并化简，得，所以.
于是动点的轨迹方程为或.
19．存在定点满足条件．
【分析】
设定点，用坐标表示，由点的任意性，可得
，联立即得解
【解析】设，假设存在定点满足，
则，
即，
于是，
解得．
故存在定点满足条件．
20．，以为圆心2为半径的圆
【分析】
设出点,根据题意列出等式，化简即为答案.
【解析】设点.
则，化简得：
为以为圆心2为半径的圆.
21．（1）；（2）的坐标为.
【分析】
（1）设点的坐标为，由题意可得，化简即可得解；
（2），通过研究的最大值继而得到的最大值，最后求出点的坐标即可.
【解析】（1）设点的坐标为，
则，
化简得：，即为点的轨迹方程；
（2），
因为，
所以当时，取得最大值为，
所以的最大值为，这时点的坐标为.
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查圆中三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【解析】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】
本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.