2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.5 椭圆及其方程 专题检测卷（word含解析）
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| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.5 椭圆及其方程 专题检测卷（word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 880.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 21:40:42 | ||
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文档简介
专题2.5 椭圆及其方程 专题检测卷
一、单选题
1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
3．设P是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，若P到焦点的距离是3，则P到另一焦点的距离为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
4．已知△的顶点 在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，记椭圆，内部重叠区域的边界为曲线，是曲线上的任意一点，则下列四个命题中不正确的是（ ）
A．到，，，四点的距离之和必为定值
B．曲线关于直线，均对称
C．曲线所围区域的面积必小于36
D．曲线的总长度必大于
二、多选题
9．(多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（ ）
A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m
C．短轴长为 D．离心率
10．(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ）
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
11．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
12．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为 B．椭圆方程为
C． D．的周长为
三、填空题
13．已知是椭圆上的一个动点，则的取值范围是________．
14．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为________．
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______．
16．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆的焦点，则三角形面积的最大值为________．
四、解答题
17．设F1，F2分别是椭圆E： (a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
18．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
19．设椭圆的中点是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程.
20．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，，求椭圆的标准方程．
21．如图所示，已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆：的离心率为，且经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】由题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
解得或，即实数的取值范围.
故选：D.
2．A
【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A，，即，A是“对偶椭圆”；
对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；
对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；
对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.
故选：A
3．C
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，可得且．
因为点P到椭圆的两个焦点的距离之和为，所以根据椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离为．
故选：C
4．D
【分析】
根据椭圆定义得，结合椭圆方程，即可知△的周长.
【解析】由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
5．B
【分析】
根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可.
【解析】依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
6．D
【分析】
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【解析】设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
7．C
【分析】
由圆的切线及椭圆定义可得出的等式，从而求得离心率．
【解析】由题意，，所以，
所以，所以离心率为．
故选：C．
8．A
【分析】
根据椭圆的定义判断A，由椭圆的对称性判断B，结合椭圆的范围得出曲线的范围判断CD．
【解析】由题意是前一个椭圆的焦点，是后一个椭圆的焦点，当时，不是定值，A错；
用替换椭圆中的得，反之变然，因此两个椭圆关于直线对称，同理它们也关于直线对称，因此它们所转区域及区域的边界也关于直线，对称，B正确；
由椭圆方程知曲线在直线，围成的正方形内部，其面积必小于，C正确；
由椭圆性质，曲线的点到原点距离的最小值为3，曲线在以原点为圆心，3为半径的圆外部，而圆的周长为，因此曲线的周长必大于，D正确．
故选：A．
9．ABD
【分析】
利用近地点和远地点到焦点的距离得到关于、的关系式，求得、值后再利用椭圆的几何性质和进行求解.
【解析】不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、，
由题意，得，
解得，
则长轴长为，即选项A正确；
焦距为，即选项B正确；
短轴长为，
即选项C错误；
离心率为，即选项D正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】
由椭圆的标准方程求出两个已知椭圆的长轴长和短轴长，再利用椭圆间的关系进行求解.
【解析】因为椭圆的长轴长为10，
且椭圆的短轴长为6，
所以椭圆中，，，
即，.
故选：AD.
11．BD
【分析】
由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
12．ACD
【分析】
由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．
【解析】由已知得，2b=2，b=1，，
又，解得，
∴椭圆方程为，
如图：
∴，的周长为．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
13．
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，即，再根据求解范围即可.
【解析】因为是椭圆上的一个动点，，
所以，即，所以，
又，，所以，即.
故答案为：
14．##
【分析】
利用椭圆的定义求椭圆的离心率.
【解析】解析: 如图，，即
∵点在椭圆上，且
∴，即，
∴##
故答案为：##.
15．
【分析】
由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.
【解析】由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．
16．
【分析】
根据椭圆方程求出，设出的坐标，将三角形的面积用表示，利用的最大值可求出结果.
【解析】由得，所以，
设，
则，
因为在椭圆上，所以，所以，即三角形面积的最大值为.
故答案为：
17．
（1）5
（2）
【分析】
（1）先求出的周长，再利用椭圆的定义进行求解；
（2）利用椭圆的定义和余弦定理得到关于、的方程组，判定△AF1F2为等腰直角三角形，进而利用离心率的定义进行求解.
（1）
解：由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
（2）
解：设|F1B|＝k，
则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得：
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而，
所以椭圆E的离心率.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）设椭圆的标准方程为，得到，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；
（2）根据椭圆的定义，得到，结合余弦定理列出方程，求得
，利用三角形的面积公式，即可求解.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．
19．.
【分析】
设椭圆的标准方程，根据离心率可得，再应用两点距离公式，结合椭圆的有界性，求椭圆上的点到最远距离为时参数a、b，进而写出椭圆方程.
【解析】依题意，可设椭圆的标准方程：（），则，
∴，即，
设椭圆上到的距离为，则（），
若，则当时有最大值，于是，解得，与矛盾，
∴必有，此时，有最大值，于是，解得，
∴，，
∴所求椭圆的标准方程为.
20．
【分析】
由题意，，，设椭圆的焦距为，由已知可得，，又，联立方程求解即可得答案．
【解析】解：由题意，，，设椭圆的焦距为，
由已知得，，即，
又，联立方程求解得，，
所以椭圆的标准方程为．
21．（1）；（2）存在，实数.
【分析】
（1）计算得出，利用椭圆的定义可知，曲线为椭圆，确定焦点的位置，求出、的值，结合点不在轴上可得出曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线与曲线的方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可计算出的值，即可得出结论.
【解析】（1）连接，由垂直平分线的性质可得，
由于四边形为平行四边形，则，
，
所以点的轨迹是以、为焦点，以为长轴长的椭圆，
由得，半焦距，所以，轨迹的方程为：，
由于四边形为平行四边形，则点不能在轴上，可得，
因此，轨迹的方程为：；
（2）由于曲线是椭圆去掉长轴端点后所形成的曲线，
当直线的斜率为时，直线与轴重合，此时，直线与曲线无公共点，
设直线的方程为，设点、，
由消去得，，
则，，
不妨设，，
，
同理
所以
，
即，
所以存在实数使得成立.
【点睛】
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
22．（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.
【分析】
（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.
【解析】（1）有题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为，由，
联立得，，
设，定点，由题意得，
所以，
因为直线，恰好关于x轴对称，
所以直线，的斜率互为相反数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.
综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.
【点睛】
本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
一、单选题
1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
3．设P是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，若P到焦点的距离是3，则P到另一焦点的距离为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
4．已知△的顶点 在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，记椭圆，内部重叠区域的边界为曲线，是曲线上的任意一点，则下列四个命题中不正确的是（ ）
A．到，，，四点的距离之和必为定值
B．曲线关于直线，均对称
C．曲线所围区域的面积必小于36
D．曲线的总长度必大于
二、多选题
9．(多选)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆（地球看作是球体），测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有（ ）
A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m
C．短轴长为 D．离心率
10．(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ）
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
11．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．a1+c1=a2+c2 B．a1-c1=a2-c2 C． D．
12．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为 B．椭圆方程为
C． D．的周长为
三、填空题
13．已知是椭圆上的一个动点，则的取值范围是________．
14．已知长方形，，，则以，为焦点，且过，的椭圆的离心率为________．
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______．
16．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆的焦点，则三角形面积的最大值为________．
四、解答题
17．设F1，F2分别是椭圆E： (a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
18．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
19．设椭圆的中点是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程.
20．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，，求椭圆的标准方程．
21．如图所示，已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，问是否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆：的离心率为，且经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】由题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
解得或，即实数的取值范围.
故选：D.
2．A
【解析】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A，，即，A是“对偶椭圆”；
对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；
对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；
对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.
故选：A
3．C
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，可得且．
因为点P到椭圆的两个焦点的距离之和为，所以根据椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离为．
故选：C
4．D
【分析】
根据椭圆定义得，结合椭圆方程，即可知△的周长.
【解析】由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
5．B
【分析】
根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可.
【解析】依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
6．D
【分析】
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【解析】设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
7．C
【分析】
由圆的切线及椭圆定义可得出的等式，从而求得离心率．
【解析】由题意，，所以，
所以，所以离心率为．
故选：C．
8．A
【分析】
根据椭圆的定义判断A，由椭圆的对称性判断B，结合椭圆的范围得出曲线的范围判断CD．
【解析】由题意是前一个椭圆的焦点，是后一个椭圆的焦点，当时，不是定值，A错；
用替换椭圆中的得，反之变然，因此两个椭圆关于直线对称，同理它们也关于直线对称，因此它们所转区域及区域的边界也关于直线，对称，B正确；
由椭圆方程知曲线在直线，围成的正方形内部，其面积必小于，C正确；
由椭圆性质，曲线的点到原点距离的最小值为3，曲线在以原点为圆心，3为半径的圆外部，而圆的周长为，因此曲线的周长必大于，D正确．
故选：A．
9．ABD
【分析】
利用近地点和远地点到焦点的距离得到关于、的关系式，求得、值后再利用椭圆的几何性质和进行求解.
【解析】不妨设椭圆的焦距、长轴长分别为、，
由题意，得，
解得，
则长轴长为，即选项A正确；
焦距为，即选项B正确；
短轴长为，
即选项C错误；
离心率为，即选项D正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】
由椭圆的标准方程求出两个已知椭圆的长轴长和短轴长，再利用椭圆间的关系进行求解.
【解析】因为椭圆的长轴长为10，
且椭圆的短轴长为6，
所以椭圆中，，，
即，.
故选：AD.
11．BD
【分析】
由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【解析】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
12．ACD
【分析】
由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．
【解析】由已知得，2b=2，b=1，，
又，解得，
∴椭圆方程为，
如图：
∴，的周长为．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
13．
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，即，再根据求解范围即可.
【解析】因为是椭圆上的一个动点，，
所以，即，所以，
又，，所以，即.
故答案为：
14．##
【分析】
利用椭圆的定义求椭圆的离心率.
【解析】解析: 如图，，即
∵点在椭圆上，且
∴，即，
∴##
故答案为：##.
15．
【分析】
由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.
【解析】由题可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得为直角三角形．
又的面积为4，设，，
则解得
所以椭圆的标准方程为．
16．
【分析】
根据椭圆方程求出，设出的坐标，将三角形的面积用表示，利用的最大值可求出结果.
【解析】由得，所以，
设，
则，
因为在椭圆上，所以，所以，即三角形面积的最大值为.
故答案为：
17．
（1）5
（2）
【分析】
（1）先求出的周长，再利用椭圆的定义进行求解；
（2）利用椭圆的定义和余弦定理得到关于、的方程组，判定△AF1F2为等腰直角三角形，进而利用离心率的定义进行求解.
（1）
解：由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
（2）
解：设|F1B|＝k，
则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得：
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，
可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而，
所以椭圆E的离心率.
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）设椭圆的标准方程为，得到，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；
（2）根据椭圆的定义，得到，结合余弦定理列出方程，求得
，利用三角形的面积公式，即可求解.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．
根据余弦定理得，
即，解得，
所以．
19．.
【分析】
设椭圆的标准方程，根据离心率可得，再应用两点距离公式，结合椭圆的有界性，求椭圆上的点到最远距离为时参数a、b，进而写出椭圆方程.
【解析】依题意，可设椭圆的标准方程：（），则，
∴，即，
设椭圆上到的距离为，则（），
若，则当时有最大值，于是，解得，与矛盾，
∴必有，此时，有最大值，于是，解得，
∴，，
∴所求椭圆的标准方程为.
20．
【分析】
由题意，，，设椭圆的焦距为，由已知可得，，又，联立方程求解即可得答案．
【解析】解：由题意，，，设椭圆的焦距为，
由已知得，，即，
又，联立方程求解得，，
所以椭圆的标准方程为．
21．（1）；（2）存在，实数.
【分析】
（1）计算得出，利用椭圆的定义可知，曲线为椭圆，确定焦点的位置，求出、的值，结合点不在轴上可得出曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线与曲线的方程联立，结合韦达定理以及弦长公式可计算出的值，即可得出结论.
【解析】（1）连接，由垂直平分线的性质可得，
由于四边形为平行四边形，则，
，
所以点的轨迹是以、为焦点，以为长轴长的椭圆，
由得，半焦距，所以，轨迹的方程为：，
由于四边形为平行四边形，则点不能在轴上，可得，
因此，轨迹的方程为：；
（2）由于曲线是椭圆去掉长轴端点后所形成的曲线，
当直线的斜率为时，直线与轴重合，此时，直线与曲线无公共点，
设直线的方程为，设点、，
由消去得，，
则，，
不妨设，，
，
同理
所以
，
即，
所以存在实数使得成立.
【点睛】
直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
22．（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.
【分析】
（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.
【解析】（1）有题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为，由，
联立得，，
设，定点，由题意得，
所以，
因为直线，恰好关于x轴对称，
所以直线，的斜率互为相反数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.
综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.
【点睛】
本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.