初四数学期中测试题
（2021-2022学年第一学期）
选择题（每小题3分）
1. 如图，在△ABC中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则∠A的正切值是（ ）
A． B． C．2 D．
4.已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
6.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
7.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD=,若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ）
A. B. C．1 D．
8.将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
9. 二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣1≤t＜8 B．﹣1≤t＜3 C．t≥﹣1 D．3＜t＜8
10. 如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝，tanβ＝，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．若水面上升1m，水面宽为（ ）m.
A．2 B．2 C． D．
11. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）.正确的结论有（ ）
A②③④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①②④⑤
12.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm，动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD－DC－CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是( )
二、填空题（每小题3分）
.13. 函数的自变量x的取值范围是_____________．
14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．
15.从喷水池喷头喷出的水珠，在空口形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，喷出水珠的最大高度是__________m．
16.如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 _____________.
17. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A′处，如图2；第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落D′处，如图3．当点D′恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 ．
(第17题图) （第18题图）
18．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2020，n）均在该波浪线上，则mn＝ ．
三、解答题（共66分）
19. (6分)(sin 30°) -1 × (sin 60°- cos45° )-
20. (8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积.
21.（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．
22.（10分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40， ）
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
23.（11分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
24.（11分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
25．(12分)如图所示，在坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x+8经过A，C两点．
求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y＝kx（k＜0）交AC于点E，若PE：OE＝5：6，求k的值．
7初四数学期中测试题答案
（2021-2022学年第一学期）
选择题（每小题3分）
DADBC DCBAA BD
填空题（每小题3分）
13. 14. 8 15. 3 16. (4, ) 17. 或 18. 18
解答题
19.（6分）
20.（8分）
21.（8分）（1）y＝；………………………………………..………………..4分
（2）m＝．n＝12…………………………………………….…………………4分
22.（10分）(1)∠ABC＝113.6°；……………………………………… ………..5分
(2)PK＝4.904≈4.9(cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．………………..………5分
23. （11分）（1）W＝－10x2＋700x-10000（20≤x≤32）……………… ………..3分
（2）售价为32元时，利润最大为2160元………….………….………………4分
(3) 售价为32元时，成本最小为3600元………….…………. ………………4分
24.（11分）（1）表达式为y＝－(x－4)2＋4．………..……………… ………..3分
（2）当x＝0.4＋0.6＝1时，y＝－(1－4)2＋4＝1.75．
∵1.75＞1.68，∴他的头顶不会触碰到桥拱．…….………………… ……………4分
（3）如图是平移后的图象．∵平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，∴由图象知8≤x≤9在m≤x≤m＋4之间或在x≥m＋8右侧，
∴m≤8且m＋4≥9,或m＋8≤8，解得m的取值范围为5≤m≤8或m≤0（舍去）．
综上，5≤m≤8……. ……………………………………….………….…………4分
25.（12分）（1）表达式为y＝－x2-5x＋8…………………………….………4分
（2）①P(-)………………………………………..……………….………4分
②或k= - 10……………………………………..……….………….………4分
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