四川省绵阳市江油第一高级中学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试卷（Word版含答案）

江油第一高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学（文）试卷
（测试时间:120分钟 试卷满分:150分）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）
1.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（　　）
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
2.过点，且与直线x+2y+2＝0垂直的直线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．x﹣2y+3＝0 C．2x+y﹣4＝0 D．x+2y﹣5＝0
3.抛物线的准线方程是（　　）
A． B．y＝1 C. D．
4.已知圆A：x2+y2+4x+2y+1＝0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1＝0，则两圆的公切线条数为（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6.表示的曲线方程为（　　）
A． B．
C． D．
7.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（　　）
A．3x﹣2y﹣1＝0 B．3x﹣2y+1＝0 C．2x﹣3y﹣1＝0 D．2x﹣3y+1＝0
8.已知直线与曲线有公共点，则的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，+∞）
9.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作，垂足为Q，若，则（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（　　）
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
11.已知椭圆与圆在第二象限的交点是P点，F1（﹣c，0）是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线PF1的距离是，则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
12.已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，点是平面内一定点. 若对任意实数，直线与双曲线至多有一个公共点，则的最小值为（　 　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
13.已知双曲线上一点到一个焦点的距离为10，则点到另一个焦点的距离为　 　．
14.点A（1，2，1）关于原点O的对称点为，则= 　 　．
15.已知点为抛物线上的动点，点为圆C：上的动点，R是P在轴上的射影，则的最小值为 .
16.动点分别到两定点连线的斜率之乘积为，设的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：
（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；
（2）若，则；
（3）当时，的内切圆圆心在直线上；
（4）设，则的最小值为；
其中正确命题的序号是：　 　．
三、解答题（共6个小题，17题10分，其余各题12分，共70分）
17.（1）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且的等差中项，求椭圆的标准方程.
（2）求经过点M（3，﹣1），且对称轴在坐标轴上，渐近线方程为的双曲线的标准方程.
18.已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．
（1）求点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）求△ABC的面积．
19.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣2x﹣3与两条坐标轴的三个交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点T（2,0）的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程．
20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（4，）在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）设为过点（4，0）的任意一条直线，若交抛物线于M、N两点，求证：以MN为直径的圆必过坐标原点．
21.已知直线与双曲线．若与C有两个不同的交点A，B.
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
（2）设直线与轴的交点为P，且，求a的值．
22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，点在椭圆上，是椭圆上
位于直线两侧的动点，当运动时，满足，
试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．
江油第一高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学（文）答案
一、选择题
1-5：BAACD 6-10:CDACB 11-12:BA
二、填空题
13. 18或2 14. 15. 3 16.（1）（3）（4）
详解：9.解：由抛物线的方程可得焦点F(0,1)准线方程为y＝﹣1,
设P(x0,y0),x0＜0,如图所示：则Q的坐标为（x0,﹣1）,
因为|PF|＝4,由抛物线的性质可得y0+1＝4,解得：y0＝3,
将y0代入抛物线的方程可得x0＝﹣2,即P(﹣2,3),Q(﹣2,﹣1)
设准线l与y轴的交点为N，则|NF|＝2,|QN|＝2,
所以tan∠FQN＝＝＝,所以∠FQN＝30°，所以∠FQP＝60°,故选：C．
10. 解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y＝x（x≥0），
而点B到射线y＝x的距离d＝＝20＜30，
故l＝2＝20，
故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选：B．
11.解：如图，过O作ON⊥PF1，∵PF1⊥PF2，∴ON∥PF2，
又O为F1F2的中点，∴ON为△F1PF2的中位线．
又O到直线PF1的距离是，∴，
则，
由题意定义可得，，
则e＝．故选：B．
12.解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0），∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∵对任意实数m，直线4x+3y+m＝0与双曲线C至多有一个公共点，
∴直线4x+3y+m＝0与双曲线的渐近线方程为y＝±x，重合或平行，
∴a＝3，∴c＝5，∴F1为（﹣5，0），
∵P（7，2），∴|PF1|＝＝2，∴|AP|+|AF2|＝|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6＝2﹣6
∴|AP|+|AF2|的最小值为2﹣6，故选：A．
15.解：∵抛物线的准线方程为x＝﹣1，焦点F（1，0）．P到直线x＝﹣1的距离等于|PF|，
∴P到y轴的距离d＝|PF|﹣1， ∴d+|PQ|＝|PF|+|PQ|﹣1．
∴当F，P，Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值|CF|﹣1．
∵C（﹣3，3），F（1，0），∴|CF|＝5，
∴d+|PQ|的最小值为5﹣1﹣1＝3．
16.解：由题意可得：，化为（x≠±3）．
（1）可得＝5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；
（2）设|F1M|＝m，|F2M|＝n，m＞n，∵∠F1MF2＝90°，∴，
∴＝mn＝16；错误；
（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|＝|F2A|﹣|F1A|＝2a＝6，|F2A|+|F1A|＝2c＝10，
∴|F2A|＝8，|F1A|＝2，∴5﹣xA＝8，解得xA＝﹣3．
设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x＝﹣3上，因此正确；
（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|＝2a＝6，∴|MA|+|MF2|＝|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6＝﹣6．正确．
综上可得：正确命题的序号是（1）（3）（4）．
三、解答题
17.（1）解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，
∴椭圆的方程是......................（5分）
（2）解：因双曲线的渐近线为，则为等轴双曲线，
设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），
将点M（3，﹣l），代入可得9﹣1＝λ，∴λ＝8，
∴方程为x2﹣y2＝8，即．...................（10分）
18.解：（1）设AC中点为M，则
由ABCD为平行四边形知M为BD中点，而B（3，2）故D（0，2）．..........（5分）
（2），
点C（2，4）到直线AB：x﹣y﹣1＝0的距离为，
∴．................（12分）
19.解：（1）曲线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点为（0，-3），与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
设圆C的圆心为（1，t），则有12+（t+3）2＝（1+1）2+t2，解得t＝﹣1．
则圆C的半径为，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5．.............（6分）
(2)设M（x，y）由题意可知MC⊥MT，
∵C（1，-1），T（2，0）∴，整理得，
线段PQ的中点M的轨迹方程：.......（12分）
20.（1）解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线为x＝﹣，
由抛物线的定义可得，|AF|＝4+＝5，解得p＝2，
即有抛物线的方程为y2＝4x；..............（5分）
（2）证明：设直线l：x＝ny+4，M（x1，y1），N（x2，y2），
代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4ny﹣16＝0，判别式为16n2+64＞0恒成立，
有：y1+y2＝4n，y1y2＝﹣16， 则x1x2＝ ＝16，
即有x1x2+y1y2＝0， 则,
则以MN为直径的圆必过坐标原点．.........................（12分）
21. 解：（1）a＝，l与C联立，消去y，可得3x2+2x﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴l与C相交所得的弦长为＝；.........（5分）
（2）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解．
消去y并整理得 （1﹣a2）x2+2a2x﹣2a2＝0①， 可得．
可得a的取值范围为：（0，1）∪（1，）．
又P（0，1） 则＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），
由于x1，x2都是方程①的根，且1﹣a2≠0，，
可得（x1，y1﹣1）＝（x2，y2﹣1）， 所以x1＝x2，
由①可得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣， 可得x2＝x22＝﹣，
消去x2，可得﹣＝， 由a＞0，解得a＝，满足
所以，...............（12分）
22.解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，
又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝2，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.......(4分)
(2)为定值．理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，
直线PA的方程为y－＝k(x－2)，联立
消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝，
同理可得x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
∴kAB＝＝＝，即直线AB的斜率为定值.........(12分)