3.3幂函数课时练习-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

3.3幂函数
一、单选题（共15题）
1．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则的值为(　　)
A．－3 B．2 C．－3或2 D．3
3．使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于（ ）
A． B．1 C． D．2
6．设α∈{－2，－1，－，，，1，2，3}，则使函数f（x）＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的α的值的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知幂函数的图像经过点（4，2），则其解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝x－2 B． C． D．
9．若幂函数f（x）满足，则f（x）＝（ ）
A． B． C．2x D．
10．下列命题中：
①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线；
④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；
⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．
其中正确的是 （ ）
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
11．函数的单调递减区间是
A． B．
C． D．
12．若幂函数在单调递减，则（ ）
A．8 B．3 C．-1 D．
13．已知定义在上的函数满足，且当时，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
15．已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
16．已知幂函数的图象过点，则=__________
17．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为______
18．关于的不等式的解集为__________.
19．（2016年苏州12）定义在上的偶函数在上是增函数,若,则的解集是______．
三、解答题（共5题）
20．若，试求的取值范围.
21．根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性.
22．已知幂函数在上为减函数，求此函数的解析式.
23．设为实数，，已知幂函数在区间上是严格增函数，试求满足的的取值范围．
24．已知函数是的偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
参考答案
1．B
【详解】
是幂函数，，
将代入函数得，解得，
.
故选：B.
2．A
【详解】
由是幂函数，
知，解得或.
∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴.
故.
故选：A.
3．B
【详解】
A选项，是奇函数，不符合题意.
B选项，为偶函数，且在上是减函数，符合题意.
C选项，是非奇非偶函数，不符合题意.
D选项，，在上递增，不符合题意.
故选：B
4．B
【详解】
解：设幂函数的解析式为y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点，
∴2a，
解得a
∴
故选B．
5．C
【详解】
由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝.
∴k＋α＝.
故选：.
6．C
【详解】
由幂函数的性质知＝，1，3时满足题意．
故选：C．
7．B
【详解】
设幂函数为，
因为幂函数的图像经过点（4，2），
所以 ，
解得，
所以，
故选：B
8．D
【详解】
对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足；
对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足；
对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；
对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足.
故选D.
9．B
【详解】
设幂函数，
由，可得，所以，
所以.
故选：B.
10．D
【解析】
当时，不过(0,0)点，①错误；
当时，，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对
当时，中，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；
在( ∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错．
幂函数，当时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．⑤对
故选D.
11．A
【详解】
由，得或，
定义域为，
的单调递减区间为．
故选A
12．D
【详解】
∵是幂函数，∴
解得或又函数在单调递减，则
即有幂函数，∴
故选：D.
13．D
【详解】
因为，则；
因为定义在上的函数满足，所以为偶函数；
又当时，显然单调递增，所以当时，单调递减；
因此.
故选：D.
14．B
【详解】
由题可知：函数是幂函数
则或
又对任意的且，满足
所以函数为的增函数，故
所以，又，
所以为单调递增的奇函数
由，则，所以
则
故选：B
15．D
【详解】
由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
16．
【详解】
解：设f（x）＝xα（α为常数），
∵幂函数y＝f（x）的图象过点，
∴，
解得α＝3．
∴f（x）＝x3，
故答案为x3．
17．1
【详解】
∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.
故答案为：1．
18．
【详解】
因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
19．
【解析】
由于为偶函数且在上是增函数，又，故等价于或
，解得或，故答案为.
20．
【详解】
∵，∴或或解得或.故的取值范围是.
21．证明见解析.
【详解】
证明：的定义域为R.
任取，且，则.
，且，，.
，即.
在上为增函数.
又，为奇函数.
22．
【详解】
由幂函数定义得，解得或.
当时，函数的解析式为，当时为减函数，符合题意；
当时，函数的解析式为，当时为增函数，不符合题意.
所以函数的解析式为.
23．．
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或；
又在区间上是严格增函数，所以，则，所以；
因此不等式可化为，显然；
当时，，，所以恒成立；
当时，可化为，因此，
综上，满足的的取值范围是.
24．（1）（2）函数在上单调递增．（3）最大值1，最小值．
【详解】
（1）若函数是上的偶函数，
则，即
解得．
（2）函数在上单调递增．理由如下：
由（1），知．
设任意的，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
所以函数在上单调递增．
（3）由（2），知函数在上单调递增．
又是上的偶函数，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以，．