3.4函数的应用（一）课时练习-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

3.4函数的应用（一）
一、单选题（共15题）
1．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额（元）(为年销售额)，而，若一员工获得元的奖励，那么该员工一年的销售额为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数若方程有四个不相等的实数根，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正实数的取值范围为
A． B．
C． D．
6．已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）．
A． B． C． D．
7．函数在上有唯一零点，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数则方程的解得个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（ ）（参考数据：，）
A．4．1小时 B．4．2小时 C．4．3小时 D．4．4小时
10．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
12．对于定义在上的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，则称为函数的一个“折点”.下列四个函数存在“折点”的是（　　）
A． B．
C． D．
13．函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
14．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的取值范围是
A． B． C． D．
15．已知函数f（x），给出下列判断：（1）函数的值域为；（2）在定义域内有三个零点；（3）图象是中心对称图象.其中正确的判断个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共4题）
16．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，若每隔一年计算机的价格降低二分之一，现在价格为元的计算机年后价格可降为______元.
17．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]上是“关联函数”，则的取值范围是__________．
18．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0,1]时，，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是_______.
19．已知，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围__________．
三、解答题（共5题）
20．已知函数，其中为实数.
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若函数的图象上存在两点关于原点对称，求的取值范围.
21．市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税，某外资厂该第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为 ，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件.
（1）将第二个月政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二个月该厂的税收不少于1万元，则p的范围是多少？
（3）在第（2）问的前提下，要让厂家本月获得最大销售金额，则p应为多少？
22．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.
（1）二次函数（且）.
①若，有恒成立，求的取值范围；
②判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
23．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是，其中是正的常数.
（1）说明函数是增函数还是减函数；
（2）把t表示成原子数N的函数；
（3）求当时，t的值．
24．设函数．
（1）若存在，使得成立．求实数的取值范围；
（2）设，若在上有零点，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】
.
当时，由，可得，合乎题意；
当时，由，解得或或（舍去）.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：C.
2．C
【详解】
依题意，由不符合；由符合；由不符合.故该员工一年的销售额为元.
故选：C.
3．C
【详解】
因为在上为增函数，且，
所以，
，
或，
若时，
由存在零点，可知，
此时A,B选项正确，C,D选项错误.
若时，
由存在零点，可知，
此时选项A、B、C错误，D选项正确，
综上可知，选项中一定错误的是C选项，
故选：C
4．C
【详解】
令，作出的图象，
∴，，，
∴，
∵，
∴.
故选：C
5．D
【详解】
由于为正实数，故排除B选项.当时，，所以，由此画出函数图像如下图所示. 由于与相切时，不满足题意；所以 .
故选D.
6．A
【解析】
当时，，
∴在上是减函数，
当时，，
∴在上是减函数，在上是增函数，
作出的大致图像如图所示：
设，则当时，方程有一解，
当时，方程有两解，
当时，方程有三解，
有，得，若方程，有两解，，则，
∴方程不可能有两个实数根，
∴方程不可能有个解．
故选．
7．C
【详解】
函数为单调函数，且在上有唯一零点，
故，
，解得
故选.
8．C
【详解】
当时，
当时，
当时，
方程的解得个数，即方程的实数根的个数.
在同一坐标系中作出与的图象，
由，
如图：
函数的图象与的图象有7个交点.
所以函数的零点个数是：7
故选：C
9．B
【详解】
设经过小时，血液中的酒精含量为，则.由，得，则.因为，则，所以开车前至少要休息4.2小时，
故选：B．
10．D
【详解】
∵，
∴函数图象的对称轴为，即，
又函数为偶函数，即，
∴，
∴函数为周期函数，且是一个周期．
结合函数为偶函数，且当时，，画出函数在区间上的图象（如图所示），并且．
∵在区间内方程有且只有4个不同的根，
∴函数和的图象在区间内仅有4个不同的公共点．
结合图象可得只需满足 ，解得．
∴实数的取值范围是．
11．D
【详解】
由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.78相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.39相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，与0.39相差0.01，
当时，和0.78相差0.02；
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
12．D
【详解】
因为恒成立，所以函数不存在零点，所以函数不存在折点，故A错误；因为，所以函数不存在零点，即不存在折点，故B错误；对函数，，时，或；时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，又，所以函数只有一个零点，所以函数不存在折点，故C错误；对于函数，由于，结合图像可知该函数一定有折点，故D正确；
故选：D.
13．B
【解析】
结合函数的解析式有：，，
且函数的函数图象在区间上具有连续性，
据此结合函数零点存在定理可得函数的零点所在的区间为.
本题选择B选项.
点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
14．D
【详解】
作出函数图像可得，从而得，且，从而得，所以，令则，在上递增，所以.
故选：D.
15．D
【详解】
由题意可知，函数
，其定义域为;
对于（1），当时,；时,,所以函数的值域是；所以（1）正确；
对于（2），因为
所以函数在是单调递增函数,
又 ,,所以函数在上，有且只有一个零点；
当时,,,
所以函数在有一个零点；
当时, , ，所以函数在有一个零点；
当时,；
所以在定义域内有三个零点,所以（2）正确；
对于（3）， 因为,
所以
所以．
所以函数的图象关于点中心对称，所以（3）正确；
故选：D．
16．
【详解】
解：根据题意，计算机的价格降了3次，
每次价格降低．
所以年后价格应降为： （元）
故答案为
17．
【详解】
试题分析：由题意得，函数
则函数在上有两个不同的零点，
令，则，即，故选C．
考点：1、新定义；2、函数的零点．
18．
【详解】
试题分析：由，得到函数关于对称，因为是偶函数，所以，即，所以函数的周期是2，由，得
，，作出函数和直线的图像，
要使直线与函数的图像有且仅有三个交点，则由图像可知：.
考点：函数的奇偶性、对称性以及函数图像.
19．
【解析】
因为，在同一坐标系作
的图象如图：
当直线与抛物线相切时，联立方程组得，，解得，方程有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知，故填.
点睛：涉及方程根的个数问题，经常需要转化为两个函数图象交点问题，因此需要作出函数图象，通过观察分析函数图象得到交点个数，特别要注意相切等特殊位置,从而数形结合的方式得到结果.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）时，，依题意有解出检验即可；
（Ⅱ）设存在图象上一点，使得在的图象上，则有得，化简得：，，求导利用单调性求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）时，，
依题意有，得，
经验证，时，，时，，满足极值要求.
（Ⅱ）依题意，设存在图象上一点，使得在的图象上，
则有得，
化简得：，．
设，，则，
当时，，当时，，
则在上为减函数，在上为增函数，，
又或时，，∴．
所以，时，函数的图象上存在两点关于原点对称．
点睛：函数关于轴对称得到；
函数关于轴对称得到；
函数关于原点对称得到；
函数关于轴对称得到.
21．（1）.定义域为.（2）（3）
【详解】
解：（1）依题意，第二个月该商品销量为万件，
月销售收入为 万元，
政府对该商品征收的税收 （万元）.
所以所求函数为.
由>0及得，所求函数的定义域为；
（2）由得化简得，
即，解得，
所以当，税收不少于１万元；
（3）第二个月，当税收不少于１万元时，厂家的销售收入为
，因为在区间上是减函数，
所以 （万元）.
所以当时，厂家销售金额最大.
22．（1）①；②不是“局部奇函数”，答案见解析；（2）.
【详解】
（1）①由题意可得，解得；
当时，由，可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，.
综上所述，实数的取值范围是；
②若函数为局部奇函数，则存在使得，
即，可得出，
，，则等式不成立.
因此，函数不是“局部奇函数”；
（2）为“局部奇函数”，
则存在使得，即，
可得，可得出，
，
令，当且仅当时，等号成立，
则，，
由于函数和在上都为增函数，
所以，函数在上为增函数，，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
23．（1）减函数；（2）；（3）.
【详解】
解：解：（1），其中，是正的常数，
，当增大时，减小，
故函数是减函数．
（2），，，即。
（3）当时，有，，．
24．（1）；（2）.
【详解】
解：，
，，
．
，
，，
设，
，，
，，
，
．
即实数的取值范围是
，
，
，
设，，
，，．
取，
，
，
设，易知在上单增，，
∴实数的取值范围．