4.3等比数列尖子生培优练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析）

4.3等比数列尖子生培优练--2021---2022学年选择性必修第二册
一．选择题（共8小题）
1．“数列为常数列”是“数列为等比数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为　　
A．62 B．63 C．66 D．68
3．已知在等比数列中，若，则的值　　
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为　　
A．2 B． C．6 D．
5．在等比数列中，，，则　　
A．8 B．6 C．4 D．2
6．已知在数列中，，，且，则　　
A．3 B．15 C．37 D．63
7．已知等比数列的前项和为，若，，则　　
A．6 B．3 C．2 D．1
8．设等比数列的前项和为，其公比大于1，且，，则　　
A．66 B．64 C．62 D．60
二．多选题（共4小题）
9．已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值可能为　　
A． B．1 C．2 D．3
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则，，成等比数列
11．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是　　
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
12．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．设等比数列的前项和为，公比为，若，，，则　　；　　．
14．已知各项均为正项的等比数列，公比，，则　　．
15．已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于 　　．
16．在等比数列中，成等差数列，则　　．
四．解答题（共6小题）
17．数列和中，已知为等比数列，首项为2，公比．若，求数列的通项公式．
18．在各项均为正项的等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求．
19．在各项都是正数的等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，若，求正整数的值．
20．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．设等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设，证明数列是等比数列，并求其前项和．
22．设是公比为整数的等比数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．“数列为常数列”是“数列为等比数列”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若数列为常数列，则数列不一定为等比数列，比如：的各项都是0，故不是充分条件，
若数列为等比数列，则数列不一定为常数列，不是必要条件，
故选：．
2．首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为　　
A．62 B．63 C．66 D．68
解：首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为．
故选：．
3．已知在等比数列中，若，则的值　　
A． B． C． D．
解：在等比数列中，若，
则．
故选：．
4．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为　　
A．2 B． C．6 D．
解：根据题意，，又是等比数列，
所以．
故选：．
5．在等比数列中，，，则　　
A．8 B．6 C．4 D．2
解：，，
，
．
故选：．
6．已知在数列中，，，且，则　　
A．3 B．15 C．37 D．63
解：因为，，且，
所以，，
则．
故选：．
7．已知等比数列的前项和为，若，，则　　
A．6 B．3 C．2 D．1
解：设等比数列的公比为，则，
所以．
故选：．
8．设等比数列的前项和为，其公比大于1，且，，则　　
A．66 B．64 C．62 D．60
解：设等比数列的公比为，由，得，又，
所以，即，解得或（舍去），则，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值可能为　　
A． B．1 C．2 D．3
解：因为，，成等差数列，所以，
因为，数列是公比为的等比数列，
所以，即，
解得或．
故选：．
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，则，，成等比数列
解：当时，；，
不满足上式，所以数列不是等差数列，选项错误；
当时，；，
且满足上式，所以此时数列是等比数列，选项正确；
根据等差数列的性质可知：；故选项正确；
当时，是等比数列，而，，，不能构成等比数列，选项错误．
故选：．
11．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是　　
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列是公差为2的等差数列
解：在递增的等比数列中，公比为，是其前项和，
，，
，，
，是一元二次方程的两个解，
解方程，得，，
，故正确；
，数列是等比数列，故正确；
，故正确；
，，
数列是公差为的等差数列，故错误．
故选：．
12．设等比数列的各项都为正数，其前项和为，已知，且存在两项，，使得，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
解：选项，设公比为，则，
所以，又，解得，
所以，说法正确．
选项，，说法正确．
因为，
所以，即，解得，
故正确，错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．设等比数列的前项和为，公比为，若，，，则　　；　　．
解：因为等比数列中，，，
所以，
即，
即，
解得或，
因为，
所以，
所以．
故答案为：；．
14．已知各项均为正项的等比数列，公比，，则　20　．
解：由是各项均为正数的等比数列，得，解得，
所以．
故答案为：20．
15．已知公比大于1的等比数列满足，，则公比等于 　2　．
解：数列是等比数列，
，，
，或，，
又公比大于1，
，，，
故，
故答案为：2．
16．在等比数列中，成等差数列，则　　．
解：在等比数列中，成等差数列，
，
，
解得，或（舍，
．
故答案为：3．
四．解答题（共6小题）
17．数列和中，已知为等比数列，首项为2，公比．若，求数列的通项公式．
解：由题意得，
因为，
所以．
18．在各项均为正项的等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求．
解：（1）在各项均为正项的等比数列中，，．
，
解得或（舍去），
的通项公式为；
（2），，
．
19．在各项都是正数的等比数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，若，求正整数的值．
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
在各项都是正数的等比数列中，，．
，解得，
数列的通项公式．
（Ⅱ）记为数列的前项和，
，，
解得正整数．
20．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，
则有，
解可得，，
故，
（2）由（1）可得，则，
故．
21．设等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设，证明数列是等比数列，并求其前项和．
解（1）根据题意，是等差数列，
若，，则有，，
联立解得，，
所以；
（2）证明：由，则，
故列是首项为，公比为2的等比数列．
数列的前项和．
22．设是公比为整数的等比数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和．
解：（1）由题意设等比数列的公比为，，
，，，解得，
的通项公式；
（2）是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前项和