5.1任意角和弧度制课时练习-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

5.1任意角和弧度制
一、单选题（共15题）
1．已知一个扇形的弧长和半径都等于2，则这个扇形的面积为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一 二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
3．下列结论不正确的是(　　)
A．rad＝60° B．10°＝rad
C．36°＝rad D．rad＝115°
4．若的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
6．终边在第二象限的角的集合可以表示为
A．
B．
C．
D．
7．已知是第三象限角，且，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为
A．2 B．1 C． D．
10．是任意一个角，则与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
11．在东方设计，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么制作折扇剪下小扇形半径与原扇形半径之比为（ ）
A． B． C． D．
12．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
13．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．已知扇形的周长为，圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．圆锥的母线长为，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题（共4题）
16．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____．
17．终边在x正半轴上的角的集合是_____；终边在y轴上的角的集合是_____；终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是______.
18．已知扇形的圆心角为2,面积为4,则扇形的周长为_________.
19．已知角β的终边在直线上.则角β的集合S为__________.
三、解答题（共5题）
20．在平面直角坐标系中,集合的元素所表示的角的终边在哪些位置
21．单位圆上有两个动点、，同时从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟走，点按顺时针方向每秒钟走，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.
22．已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.
23．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）在内的角．
24．已知（），且，问是第几象限角？
参考答案
1．A
【详解】
因为扇形的弧长，半径为,
所以这个扇形的面积.
故选：A.
2．D
【详解】
解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；
对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；
对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；
对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．
故选：．
3．D
【详解】
∵π＝180°，∴rad＝60°正确，10°＝rad正确，36°＝rad正确，rad＝＝112.5°≠115°，D不正确．
故选D．
4．A
【详解】
若的圆心角所对的弦长为2，则可得半径为2，
所以这个圆心角所夹的扇形的面积.
故选：A.
5．B
【详解】
由题意，与角终边相同的角可写为，
令，代入，得
故选：B.
6．B
【详解】
终边在第二象限的角的集合可以表示为.
故选B.
7．D
【详解】
解：∵是第三象限角，
∴，
∴，
∴是第二象限角或第四象限角，
又，
∴是第四象限角，
故选：D．
8．C
【详解】
，，，故ABD均错误，而C正确，
故选：C.
9．C
【详解】
由题得因为扇形的中心角为2, 中心角所对的弦长为2.故扇形的半径,故扇形的弧长为.故扇形面积为
故选：C
10．B
【详解】
设任意角终边上一点的坐标为，则对应的角的终边点的坐标为，
因为点与关于轴对称，可得角与的终边关于轴对称.
故选：B.
11．D
【详解】
解：由题意，如图所示，设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，则小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，
因为，所以，
所以，解得，
所以剪下小扇形半径与原扇形半径之比为，
故选：D
12．A
【详解】
不妨设，则，
所以，
，
所以，
，
所以，
所以，故①正确；
，，
所以，故②正确；
，，
所以，故③不正确；
，，所以，
故④不正确；所以①②正确，
故选：A
13．B
【详解】
若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，
（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，
正三角形的面积，
则一个弓形面积，
则整个区域的面积为，
而圆的面积为，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
14．B
【详解】
由题意可得：2R+Rα＝4，2,联立解得α＝2,R＝1则面积为
故选：B
15．A
【详解】
设轴截面的中心角为，过圆锥顶点的截面的顶角为，且
过圆锥顶点的截面的面积为：，
又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为，
故此时，故
圆锥底面半径r
∴侧面展开图的中心角为弧度
故选A.
16．
【详解】
解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，
∴，l+2r＝10+3π，
∴l＝3π，r＝5，
∴该扇形的面积S，
故答案为：.
17．
【详解】
终边在x正半轴上的角的集合是；
终边在y轴上的角的集合是
；
终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是
.
故答案为：；；.
18．8
【详解】
，，周长为
故答案为：
19．
【详解】
如图，直线过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
，，
所以，角β的集合
.
故答案为：.
20．见解析
【详解】
解：当时,,此时角的终边在x轴正半轴上;
当时,,此时角的终边与角的终边相同;
当时,,此时角的终边与角的终边相同.
21．点走了，点走了，它们在点处相遇.
【详解】
设两个动点从出发，后、第三次相遇，则，故.
此时点走了，点走了，它们在点处相遇.
22．时,扇形面积最大为.
【详解】
设扇形面积为,半径为,圆心角为,则扇形弧长为,
所以.
故当且时,扇形面积最大为.
23．（1）最大负角为；（2）最小正角为；（3）.
【详解】
与角终边相同的角为，.
（1）由且，可得，故所求的最大负角为；
（2）由且，可得，故所求的最小正角为；
（3）由且，可得，故所求的角为．
24．第二象限角或是第四象限角
【详解】
∵（），且
∴．
当时， 是第二象限角．
当 时， 是第四象限角．
∴ 是第二象限角或是第四象限角．