第一讲 有理数的意义
一、知识梳理
1．有理数的分类:
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
3．相反数的意义
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 a的相反数为－a。
注意：（1）两个互为相反数的数，它们符号相反
（2）两个互为相反数的数，其绝对值相等；
（3）两个互为相反数的数和为零；两个互为倒数的数积为1
4．绝对值的概念：
（１）．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。对于任意一个数a , a的绝对值用｜a｜表示。｜a｜是数轴上表示a的点到原点的距离，即｜a｜代表的是一个长度，所以｜a｜表示的一定是一个非负数。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
｜a｜＝
5．比较两个有理数的大小。
（1）．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数。
（2）．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
二、典例剖析
专题一：正负数
例1：填空：
（1）如果收入50元记作+50元，那么支出20元记作 ，-80元表示 .
（2）仪表的指针顺时针方向旋转45°记作-45°，那么逆时针旋转50°记作 .
（3）如果气温是零上5℃，那么，气温比0℃低3℃记作 .
（4）如果把比海平面高规定为正，则25 m表示 ，0 m 表示 .
◆变式拓展训练◆
最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；最大的非正整数是_______。
专题二：有理数的综合
例2：把下列各数填在相应的集合中：
5；―2；―0.3；；0；―；5.57；―1；π；102；―78；―104 ；π。
正数集合的有：_________________；整数集合的有：____________________；
分数集合的有：_________________；负数集合的有：________________；
正整数集合的有：_______________；非正整数集合的有：________________；
有理数集合的有：_______________；既不是正数，又不是负数的有：____________。
专题三：数轴
例3：在数轴上把数4.5、―2.5、0、|―3|、―（―1）、―|―2|表示出来，并用“＜”号把它们连接起来。
◆变式拓展训练◆
1、若果a和b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的点和b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为 .
2、贝贝写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分
的整数共有 个，它们是 .
–6 -1 0 1 5 6
专题四：相反数
例4：填空
简化（1）+（―5.2）=______; (2) ―[―(+5)] =______
(3)―{―[―(+2.7)]}=_______;(4)|―[―(―2.3)]|=______
2、_______的相反数是它本身。________的倒数等于它本身。
3、如果―x=7,那么x=____。
4、如果a是负数，那么―a_____0;如果―a是负数，那么a____0
例5：数a、b在数轴上表示的点如图，比较a、b、―a、―b的大小
专题五：绝对值
例6：填空：1.已知|a|=2,则a=______；如果|－x|=，则x=_______。
2.如果a＞0，则|2a|= ______；如果a＜0,则|2a|=_____。
3.__________的绝对值等于它本身。
4.绝对值不大于3的整数有____________________
5.|x|=－x；则x是________数。
例7：分类讨论的值的情况；
例8：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|c-b|+|a-c|-|b-c|
◆变式拓展训练◆
1．填空。
（1）；；．
（2）；；．
（3）；．
（4）如果，则，．
2．已知，求的值.
3．已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，求代数式：
－cd+|m|的值。
专题六：比较有理数的大小
例9：1、比较大小：_____－4.5，－0.0001_____ 0，－6____－7，____.
2、大于－3且小于7的整数有______________，其中偶数有_____个.
3、绝对值大于2而且小于6的所有整数分别是____________________________.
4、若且，则与的大小关系为_______.
5、若a>0，b<0且，则与的大小关系为_______.
6、如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么（ ）
A、甲数比乙数大 B、乙数比甲数大 C、甲乙两数相等 D、甲乙两数不相等
7、比较a与-a的大小.
四、创新探究（培优训练）
1.用表示实心圆，用〇表示空心圆，现有若干实心圆与空心圆按一定规律排列如下，
●〇●●〇●●●〇●●●●〇…问前2005个圆中有______个空心圆。
2、已知，则a是______数；已知，那么a是______数。
3、若a>4,则-（a-4）-(-a)+|a-3|-a=_____________。
4、（2009，恩施）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是 ．
5、小明、小华、小丽的家都与超市在同一条东西向的公路边,一辆货车从超市出发,向东走了3 km 到达小华家,继续走了1.5 km到达小明家,然后向西走9.5 km ,到达小丽家,最后回到超市.
(1) 以超市为原点, 以向东的方向为正方向, 用1个单位长度表示1km ,你能在数轴上表示出小丽家、小明家、小华家的位置吗
(2) 从小丽家到小华家顺公路走有多远
(3) 货车一共行驶了多少km
(4) 如果条件中小华家、小明家、小丽家不是与超市在一条东西向的公路边,而是在同一条弯曲的公路边,以上(2)(3)问题又如何解答
6、已知m、n、p满足2m+|m|=0，|n|=n，p|p|=1。化简|n|-|m-p-1|+|-p-n|-|2n+1|
课后作业 有理数的意义
一、选择题
1．既不是正数又不是分数的有理数是（ ）
A.负整数 B.负整数和0 C.自然数 D.正分数和0
2. “老张比老李大-8岁”表示的意义是（ ）
A.老张比老李大8岁 B.老张比老李小8岁
C.老李比老张大-8岁 D. 老李比老张小8岁
3.满足｜x｜= -x的数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
4．如果a是有理数，那么下列说法正确的是（ ）
A．a不是正有理数，就是负有理数 B.a不是整数，就是分数
C. a的绝对值是正数 D.a的倒数是
5.下列说法错误的是( )
A.符号不同的两个数互为相反数 B.只有0的相反数是它本身
C.所有的有理数都能在数轴上找到一个点与它对应
D.互为相反数的两个数所表示的点到原点的距离相等
﹡6.对于任意有理数a,下列式子中取值不为0的是( )
A.a +｜-1｜ B.｜a +1｜ C.1-｜a｜ D｜a｜+ 1
二、填空题：
1．－的倒数的绝对值等于_______；绝对值不大于10的所有整数的和等于_______。
2．若中午12：00表示0，12：00以后取值为正数，时间单位为小时，则上午7：45所表示的数为________。
3．在数 ，0，－，－ ，，－7.1中，负数有_________个。
4．某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（5±0.1）厘米，表示这种正方体的边长标准尺寸是________厘米，要求边长最大不超过标准尺寸__________厘米，符合要求的正方体边长最小是______厘米。
5．若｜-X｜=｜-4｜,则X的值为_________；如果a<0,那么｜a｜+a =________。
6．若｜X+Y-1｜与｜X-Y+3｜互为相反数，则（X+Y）2 = _____。
7.若a、b互为相反数，m、n互为倒数，c是最大的负整数，则3a +｜c｜+()2+3b = _______.
8. 如果a<0, 那么a和它的相反数的差的绝对值等于__________.
9．使等式｜-5 + m｜= ｜-5｜+｜m｜成立的m的取值为____________.
10.已知a<0, b>0,｜a｜>b,试用“>”将a, b, -a, -b连接起来:_____________. 11.已知｜x｜= 3,｜y｜= 5,且x11.已知数轴上有Ａ、Ｂ两点，Ａ、Ｂ之间的距离为１，点Ａ与原点的距离为３，那么所有满足条件的点Ｂ与原点的距离之和等于_____________。
0
b
a
c
0
b
a第2讲 有理数和数轴
专题一、数怎么不够用了
一、知识梳理：
（一）具有相反意义的量，0的意义。
（二）正数，负数的意义
（三）数的分类
（1）有理数 （2）有理数
二、考点解析：
考点一、具有相反意义的量：
问题1、向东走100米记作-100ｍ，那么向西走50ｍ记作什么？
分析：向东，向西是具有相反意义的量，向东为负，则向西为正
问题２．指出下列各语句的实际意义：
（1）向东走 —20米 （2）温度下降—9℃ （3）支出 —100元
考点二、零的意义：
问题3．零的意义：1、表示没有；2、表示正数和负数的分界点；3、表示某一标准量。
考点三、有理数的分类：
问题4.将下列各数填在相应的集合里：
5，—2，—0.3 ，，0，—，5.7，—1，102，—17
正数集合{ } 负数集合{ }
整数集合{ } 分数集合{ }
非负整数{ }
三、当堂练习
（一）填空：
1．上升200米记作+200米，那么下降300米应表示为
2．向东走40米记作+40米，那么向西走80米记作
3．-30元表示支出30元，那么+100元表示
4．运进货物20ｔ记作+20ｔ，那么运出30t 记作
（二）.将下列各数按要求分别填入相应的集合中：
—10，4.5，—6，0，—50，+2,—2.03，0.002，+63，—，，8
（1）正整数集合{ }
（2）负整数集合{ }
（3）正分数集合{ }
（4）负分数集合{ }
（5）整数集合{ }
（6）分数集合{ }
（7）非正数集合{ }
（8）有理数集合{ }
专题二、数轴
一、知识梳理：
（一）规定原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
（二）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。
（三）若两个数只有符号不同，这两个数叫互为相反数，0的相反数是0。
（四）数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。
二、考点解析：
考点一、数轴与有理数的互相表示：
问题1、指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数？
问题2、画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数
3, —1, —0.5, 0, —2, 4
考点二、相反数：
问题3、请写出下列各数的相反数
原数 —5 —0.5 0 3a —2b a—b a+2
相反数
考点三、利用数轴比较大小：
问题4．比较下列每组数的大小：
（1）—2和+6 （2）0和—1.8 （3）—和—4
问题5．利用数轴回答下列问题：
（1）有没有最小的正整数？最大的正整数？
（2）有没有最小的负整数？最大的负整数？
三、当堂练习
（一）指出图中的数轴上各点对应的数
（二）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
1，—2，3，—2，0，0.5
（三）求下列各数的相反数：
（1）8 （2）—3 （3）— （4）a+5
（5）—2m （6）3a—b （7）0 （8）—（—3）
（四）比较下列各组数的大小：
（1）—6和+2 （2）0和—3.6 （3）和 （4）—和—3
（五）．用“＜”连接下列各数：
—，1，1.7，—，—0.04，—，0.1，，0
四、拓展训练：
问题6、文具店，书店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边30m处，玩具店在书店东边90m处，元元从书店沿街向东走40m，接着又向东走-70m，你知道此时元元的位置吗？
问题7、如图 ，试比较a，b，-a，-b的大小，并用＞号连接
问题8、一跳蚤在一直线上从0点开始第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右距3个单位第4次向左跳4个单位 ，依此规律跳下去，当它第100次落下时，落点处离0点的距离是多少个单位？（江苏无锡中考）
课后作业
（一）若李明同学家里去年收入３万元，记作＋３万元，则去年支出２万元记作 （湖南岳阳）
（二）吐鲁番盆地低于海平面１５５ｍ，记作－１５５ｍ。福州鼓山绝顶峰高于海平面919m，记作 m。
（三）A盆地是海拔—18m，B盆地为海拔—13m，则 的地势高。
（四）既不是正数也不是负数的数是 。
（五）写出与下列各量具有相反意义的量：
（1）零下8℃ ： （2）运出3.6t ：
（3）向南48m ： （4）存款500元 ：
（5）收入400元 ： （6）高出海平面36m：
（六）．某日傍晚，黄山风景区的气温由中午的零上2c下降7c，这天傍晚黄山风景区的气温是多少？
（七）填空：
（1）与原点距离为3的点表示的数是
（2）在数轴上，从原点开始向左移动6个单位长度，再向右移5个单位长度，到达的点表示的数是
（3）由—2.7＜—2.4知，在数轴上表示—2.7的点一定在表示—2.4的点的 边。
（4）大于—4.5的非正整数有 个，大于-7.6且小于—2.9的整数有 个
（5）—8的相反数是 ， 的相反数是—
（6）—（a+5）是 的相反数，若a= —a，则a=
（7）7—a的相反数是—2，则a=
（八）在数轴上把数0，1，2，-1表示出来，并用＜号把它们连接起来
（九）比较下列各组数中两数的大小：
（1）和- （2）0.7459和
（3）-8和-9 （4）-π和-3.14
