人教版2021-2022学年九年级数学下册28.1锐角三角函数 优生辅导测评（word版、含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列计算错误的个数是（　　）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；
③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，则（　　）
A．sinA＜sinB B．sinB＜sinC C．sinA＜sinC D．sinC＜sinA
4．若（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6．如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC＝（　　）
A． B． C． D．
7．若规定sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，则sin15°＝（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（　　）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
9．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
10．锐角A满足，利用计算器求∠A时，依次按键2ndFcos（1÷2）＝，则计算器上显示的结果是（　　）
A．30 B．45 C．60 D．75
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列结论：①sin2A+sin2B＝1；②cos2A+cos2B＝1；③tanA tanB＝1；④sinA＝tanA cosA．正确的有 个
12．计算：2sin245°+tan60° tan30°﹣cos60°＝　 　．
13．若△ABC中，∠A、∠B满足＝0，则∠C＝　 　度．
14．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此判断下列等式成立的是 　 　（填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny；④sin90°＝1．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BE＝EF＝FC，则∠EAF的余弦值为 　 　．
16．已知α为锐角且关于x的一元二次方程x2﹣2xcosα+cosα＝0无实数根，则α的取值范围是 　 　．
三．解答题（共5小题，满分50分）
17．计算：
（1）2cos30°+2sin45°+sin60°cos60°；
（2）sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°．
18．（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，求tanα；
（2）在△ABC中，若（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，求∠C．
19．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|＝0，试判断△ABC的形状．
20．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：sin60°﹣sin30°＝﹣＝，而sin30°＝，因此①是错误的；
sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝1，因此②是正确的；
（tan60°）2＝（）2＝3，因此③是错误的；
tan30°＝，＝＝，因此④是错误的；
综上所述，错误的有①③④，共3个，
故选：C．
2．解：设BC为x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝＝＝2x，
∴sinB＝＝＝，
故选：D．
3．解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
4．解：∵（tanA﹣3）2+|2cosB﹣|＝0，
∴tanA＝3，2cosB＝，
则tanA＝，cosB＝，
故∠A＝60°，∠B＝30°，
则∠C＝90°，
故△ABC的形状是直角三角形．
故选：A．
5．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
6．解：如图，连接BD，
由正方形的性质可知，∠CDB＝90°，BD＝，BC＝，
则sinC＝＝，
故选：B．
7．解：由题意得，sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝×﹣×
＝，
故选：D．
8．解：∵cosB＝，
∴BC＝ABcosB＝10cos50°．
故选：B．
9．解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝＝2，
可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故选：A．
10．解：∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
由于sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝，
∴sin2A+sin2B＝（）2+（）2＝＝1，因此①正确；
cos2A+cos2B＝（）2+（）2＝＝1，因此②正确；
tanA tanB＝×＝1，因此③正确；
tanA cosA＝×＝＝sinA，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，
12．解：2sin245°+tan60° tan30°﹣cos60°
＝2×（）2+×﹣
＝2×+1﹣
＝1+1﹣
＝，
故答案为：．
13．解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故答案为：105．
14．解：cos（﹣60°）＝cos60°＝，因此①不正确；
sin2x＝sin（x+x）＝sinx cosx+cosx sinx＝2sinx cosx，因此②正确；
sin（x﹣y）＝sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny，因此③正确；
sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝×+×＝+＝1，因此④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
15．解：设AB＝k，则BE＝EF＝FC＝k，即BF＝2k，BC＝3k，由勾股定理得，
AF＝＝k，AE＝＝k，AC＝＝k，
∵＝＝＝，∠AEF＝∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠EAF＝∠ECA，
在Rt△ABC中，
cos∠ACB＝＝＝＝cos∠EAF，
故答案为：．
16．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2xcosα+cosα＝0无实数根，
∴（﹣2cosα）2﹣4××cosα＜0，
即cosα（2cosα﹣1）＜0，
∵α为锐角，
∴cosα＞0，
∴2cosα﹣1＜0，
即cosα＜，
∴α＞60°，
又∵α为锐角，
∴60°＜α＜90°，
故答案为：60°＜α＜90°．
三．解答题（共5小题，满分50分）
17．解：（1）2cos30°+2sin45°+sin60°cos60°
＝2×+2×+×
＝++
＝+；
（2）sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°
＝×+×﹣×
＝．
18．解：（1）∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1；
（2）∵（cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
∴cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
19．解：∵（1﹣tanA）2+|sinB﹣|＝0，
∴1﹣tanA＝0，sinB﹣＝0，
即tanA＝1，sinB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△ABC是锐角三角形．
20．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．
21．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵AB＝10，AC＝8，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝．