24.1.4 圆周角
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(共23张PPT)
24.1.4 圆周角
回 忆
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
E
●O
B
D
C
A
AC所对角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
生活实践
探 究
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角定理的证明
H:\第24章圆.课件\圆周角定理的证明.gsp
结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
1.第一种情况：
A
B
C
O
∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠BOC=∠A＋∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= ∠BOC
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
A
B
C
O
D
证明：由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD
2.第二种情况：
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD
A
B
C
O
D
3.第三种情况：
·
A
B
C1
O
C2
C3
归纳总结
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半．
圆周角定理
直径（或半圆）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
推 论
·
A
B
C
D
E
O
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
生活实践
E
●O
B
D
C
A
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练习:
3、求圆中角X的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O
.
X
120°
练习:
600
B
P
（1）
（2）
1200
350
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
练习:
5：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
2.半圆或直径所对的圆周角等于90°
90°的圆周角所对的弦是直径
小结:
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个
圆周角相等，它们所对的弧
一定相等．
A
B
C
D
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等.
则 ∠ D=∠A
∴AB∥CD
如图, 若 AC = BD
⌒
⌒
1.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
使用帮助
练习三、
第二课时 应用
回顾：圆周角定理及推论？
思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
复习旧知：请说说我们是如何给
圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义，
给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
24.1.4 圆周角
回 忆
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
E
●O
B
D
C
A
AC所对角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
生活实践
探 究
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角定理的证明
H:\第24章圆.课件\圆周角定理的证明.gsp
结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
1.第一种情况：
A
B
C
O
∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠BOC=∠A＋∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= ∠BOC
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
A
B
C
O
D
证明：由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD
2.第二种情况：
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD
A
B
C
O
D
3.第三种情况：
·
A
B
C1
O
C2
C3
归纳总结
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半．
圆周角定理
直径（或半圆）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径．
推 论
·
A
B
C
D
E
O
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
生活实践
E
●O
B
D
C
A
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
1、如图，在⊙O中，ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练习:
3、求圆中角X的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O
.
X
120°
练习:
600
B
P
（1）
（2）
1200
350
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
练习:
5：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
2.半圆或直径所对的圆周角等于90°
90°的圆周角所对的弦是直径
小结:
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个
圆周角相等，它们所对的弧
一定相等．
A
B
C
D
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等.
则 ∠ D=∠A
∴AB∥CD
如图, 若 AC = BD
⌒
⌒
1.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
使用帮助
练习三、
第二课时 应用
回顾：圆周角定理及推论？
思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3.90°角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
复习旧知：请说说我们是如何给
圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义，
给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
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