第七单元 数学广角——植树问题
教材分析
本单元主要向学生渗透有关植树问题的一些思想方法。教科书以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、实验、推理的探索过程，启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活解决生活实际问题。
学情分析
由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。
三、教学目标
1 知识与能力
1.利用学生熟悉的生活情境，通过探索让学生进一步从实际问题中发现间隔数与植树棵数之间的规律，培养应用规律解决问题的能力。
2.通过小组合作观察、探索、交流的实践活动发现间隔数与植树棵数之间的关系，经历和体验“复杂问题简单化”的解题过程。
2 情感态度价值观
能够借助图形，利用规律来解决实际生活中简单的植树问题。培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
四、课时安排
第一课时 植树问题（1）
第二课时 植树问题（2）
第三课时 植树问题（3）
练习课第七单元 数学广角——植树问题
课题
第一课时 植树问题（1）
课型
新授课
内容分析
本节课的主要任务是向学生渗透一种思想，一种在数学上、在研究问题上都很重要的思想——化归思想。这种思想的渗透能很好地帮助学生理解寻求解决复杂问题的一般方法，那就是从简单问题、简单事例入手，寻求规律，最终依据规律解决问题。
课时目标
知识与能力
通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律。
过程与方法
经历和体验将复杂问题简单化的解题策略和方法。
情感态度价值观
感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。
教学重难点
教学重点
发现植树棵数与间隔数之间的关系。
教学难点
理解间隔数与棵数之间的规律并运用规律解决问题。
教学准备
课件
教学媒体选择
PPT
教学活动
提问，师生讨论
教学过程
一、创设情境，生成问题
师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？我们一起来猜个谜语好不好？（课件出示）
猜谜语（打一人体器官）：一棵小树五个叉，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活不说话。
学生们会回答：手。
师：请你们伸出左手并张开手指，仔细观察，大家看到了什么？
学生会回答有5根手指和4个空隙。如果学生只能说出有5根手指，教师要引导学生数一数5根手指之间有几个空隙。
师：这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5根手指之间有4个间隔，那4根手指之间有几个间隔呢？3根手指之间呢？（学生在自己的手上数一数）
师追问：2根手指之间呢？（全班一起找）
师：通过刚才我们找手指数和间隔数的活动，你们发现了什么？
手指数比间隔数多1或间隔数比手指数少1。
师：你们真聪明，发现了手指数与间隔数之间的关系！像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。［板书课题：植树问题（1）］
【设计意图】从学生熟悉的事物入手，根据学生已有的认知，创设有趣的猜谜语游戏，激发学生的学习兴趣。同时，充分利用学生已有的生活经验，让学生对间隔现象有初步的认识，逐步学会用数学的眼光观察世界。
二、探索交流，解决问题
师：学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。（课件出示教科书P106例1）
1.理解信息。
指名学生读题，并要求学生说出从题中知道的信息。
师：谁能说一说“一边”“两端要栽”的含义？
学生可能会说“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端要栽”指的是路的一头一尾都要栽。
师：“每隔5m”是什么意思？
学生可能会说每两棵树之间的距离是5m。
师小结：“全长100m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5m栽一棵”是指每两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端要栽”指小路的起点与终点处都要栽。
2.试算。
师：一共要栽多少棵树，谁来算一算？
学生独立完成后，汇报算法。
学生很可能根据100÷5=20，猜测要栽20棵树；也有学生认为小路的两端都要栽，应该是20+2＝22，所以是22棵；还有学生猜是19棵或21棵。
师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？
引导学生回答通过验证来寻求答案。
师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。但100m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。
3.简单验证，发现规律。
师：现在，我们就以20m为例，看一看20m的路可以栽几棵树。如果这条路的一边用一条线段来表示，每隔5m栽1棵树，一共要栽多少棵树？
指名学生上台板演画图并解答。
指导学生作图如下：
师：每个间隔长度是几米？有几段间隔？栽了几棵数？
间隔长度是5m，有4段间隔，栽了5棵树。
师：观察间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？
因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。
师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔的段数和棵数之间的关系提供一个方向。
师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25m的路的一侧可以栽几棵？
学生独立思考，小组交流。
根据交流结果，完成表格。
课件出示表格。
路长（米） 间隔长（米） 间隔数（个） 棵树（棵）
20 5
25 5
30 5
35 5
教师巡视，观察学生完成情况，对于有困难的小组，教师及时给予帮助。（课件出示正确结果）
师：观察表格，你有什么发现？把你的结论在小组内说一说。
学生会说棵数比间隔数多1，也有学生会说间隔数比棵数少1。
师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。
师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教科书P106例1，看看你们之前的猜测对不对。
指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。
师生交流并板书。
师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？
学生会说发现：路长÷间隔长=间隔数。
【设计意图】向学生渗透一些重要的数学思想方法，教学时通过现实生活中的一些常见的实际问题，让学生构建出其中的数学模型，从中发现规律。
三、应用规律，解决问题
师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。
1.完成教科书P107“做一做”第1题。
学生独立思考后，全班交流。
2.完成教科书P109“练习二十四”第1、2题。
学生独立完成，全班交流。
3.完成教科书P109“练习二十四”第4题。
师：这一题和教科书P106例1有什么不同之处吗？
学生可能回答例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。
师：根据“36棵树”这个条件可以知道什么？
学生可能回答，可以知道间隔数共有：36-1=35（个）。
师：“每隔6m”是什么意思？路线长多少米呢？
每个间隔是6m。路线长为35×6=210（m）。
【设计意图】通过基本问题使学生进一步掌握在公路一侧两端都栽树的情况下，树的棵数和间隔数之间的关系，深化学生对规律的理解，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。
四、课堂小结
师：通过这节课的学习，你们有什么收获？
板书设计
植树问题（1）
两端要栽
100÷5=20
20+1=21（棵）
棵树=间隔数+1
作业设计
完成本节课习题。
教学反思
本节课学生弄懂了棵数与间隔数之间的关系之后，不一定就代表能解决植树问题了。因为教科书P106例1是给了道路全长和间距求棵数，但有的习题却是给了间距和棵数求道路全长，属于逆向思维，所以有很多同学就不知从何下手，导致出错很多。在教学过程中，注意加强发现规律与运用规律之间的联系，加强对规律的扩散教学，比如得出两端要栽的规律时，可以总结一下“间隔数=棵数-1，路长=间隔数×间隔长”等知识。第七单元 数学广角——植树问题
课题
第二课时 植树问题（2）
课型
新授课
内容分析
本节课研究的是两端都不栽和一端栽一端不栽的植树问题，重点是让学生体验从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。在教学过程中，要注重对数形结合意识的渗透，激励学生自己尝试解决问题。
课时目标
知识与能力
通过画图发现在一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的植树问题的规律。
过程与方法
经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。
情感态度价值观
激发学习兴趣，培养认真读题、审题的学习习惯。
教学重难点
教学重点
探究发现一条线段上两端都不栽、一端栽一端不栽的不同情况植树问题的规律。
教学难点
尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学准备
课件
教学媒体选择
PPT
教学活动
提问，师生讨论
教学过程
一、复习铺垫，导入新课
师：老师听说同学们的植树问题学得很好，我要考考大家，你们敢接受老师的挑战吗？（课件出示题目）
在一条21m长的小路一边栽树，每隔3m栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？
大多数学生都能给出解答算式：21÷3+1=8（棵）。
师：同学们的解答是正确的。植树问题可是一门大学问，生活中根据需要有时要道路两端都栽，有时要道路两端都不栽，有时一端栽一端不栽。这节课，我们继续来探究植树问题中的另外两种情况。［板书课题：植树问题（2）］
【设计意图】通过复习道路两端都栽的植树问题，为学生学习新知识打基础。
二、探索交流，发现规律
1.探寻“两端都不栽”植树问题的规律。
课件出示教科书P107例2。
指名学生读题。
师：从题中同学们都知道了哪些信息？你觉得哪些信息比较重要？
学生会说“两旁”“两端都不栽”等信息比较重要。
师：谁能说一说“两旁”“两端都不栽”的含义？
“两旁”指的是道路两边，“两端都不栽”指的是道路的一头一尾都不栽。
师：请同学们联系我们学过的例1，找一找两端都不栽时，间隔数与棵数之间的关系。
学生先独立思考，然后小组互相讨论，集体汇报。
预设1：先画一个简单的线段图看看，以20m长的路为例，每隔5m栽一棵树，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽5棵树。
两端都栽棵数=间隔数+1
预设2：同样长的线段，每隔5m栽一棵树，在两端都不栽的情况下只需要栽3棵树，“棵数=间隔数-1”，也就是说栽的棵数比间隔数少1。
两端都不栽棵数=间隔数-1
师：运用这一模型，例2可以怎样解答呢？
引导学生列出算式60÷3=20，20-1=19(棵），19×2=38（棵）。
师：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树。）今天研究的植树问题和前面有什么不同？
今天研究的是两端都不栽的植树问题，植树棵数比间隔数少1。
师：少的“1”在哪呢？请你指一指。（出示课件）
师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解答过程，通过与教科书P106例1中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。
2.对比反思，提升认识。
师：两端都不栽与两端都栽的情况相比有什么相同？有什么不同？
例1中两端都栽时，得出的数学模型为：棵数=间隔数+1；例2采用同样的方法得出了两端都不栽的植树问题的数学模型为：棵数=间隔数-1。
教师根据学生回答，出示课件。
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数-1
3.探寻发现“一端栽，一端不栽”植树问题的规律。
课件出示教科书P107“做一做”第2题。
师：这道题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜结果，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。
预设1：用画线段图的方法得出一共要栽7棵树。
预设2：这种一端栽一端不栽的情况，应该是：棵数=间隔数，可直接得出：35÷5=7（棵）。
师小结：在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。
4.理解规律。
师：植树问题有哪几种情况？每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？
学生会回答有三种情况，分别为：两端都栽，棵数=间隔数+1；两端都不栽，棵数=间隔数-1；一端栽一端不栽，棵数=间隔数。（教师适时板书）
师：我们是通过什么方法得到这些结论的？
学生会说运用化繁为简的方法。
师：如果你忘记或者混淆了这些情况，可以怎样做？
学生会说画线段图。
【设计意图】引导学生理解、掌握植树问题的三种情况及其解决方法。
三、巩固提高，强化认识
1.完成教科书P109“练习二十四”第6题。
学生独立思考后交流。
2.完成教科书P110“练习二十四”第7题。
学生独立思考后交流。
四、课堂小结
师：这节课，你们学会了什么
板书设计
植树问题（2）
两端都栽： 两端都不栽： 一端栽一端不栽：
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数-1 棵数=间隔数
作业设计
完成本节课习题。
教学反思
在学生自主探索的过程中，很多学生采用了画线段图的方式，交流时利用课件再现线段图，紧接着提出问题“你能找出什么规律？”来启发学生透过现象发现规律，并与上一节课学习的两端都栽的情况进行对比，加深学生的印象。这样就把整个分析、思考、解决问题的全过程展示出来，从而让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和策略。第七单元 数学广角——植树问题
课题
第三课时 植树问题（3）
课型
新授课
内容分析
本节课的内容是在学习了两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽的基础上进行教学的。在植树问题中，植树的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线。本节课中，学生能通过画一画、将圆拉直成线段等操作活动，发现封闭图形和不封闭图形“一端栽一端不栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
课时目标
知识与能力
能够运用自己发现的规律解决封闭路线的植树问题，进一步培养画图能力和语言表达能力。
过程与方法
通过生活中的事例，体会解决封闭路线植树问题的思考方法。
情感态度价值观
感受数学与生活的联系，培养应用数学的意识。
教学重难点
教学重点
理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
教学难点
培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
教学准备
课件
教学媒体选择
PPT
教学活动
提问，师生讨论
教学过程
一、复习导入
师：学校开展校园文化建设，下面是五（1）班分到的植树任务。在植树过程中，他们遇到了问题，你们能帮他们解决吗？（课件出示问题）
在一条8m长的小路的一旁，每隔2m栽一棵树，可以怎么栽？
预设1：两端都栽：8÷2+1=5（棵）。
预设2：两端都不栽：8÷2-1=3（棵）。
预设3：一端栽一端不栽：8÷2=4(棵）。
师：今天这节课，我们继续研究植树问题的另一种情况。［板书课题：植树问题（3）］
【设计意图】通过复习已经学过的在线段上植树的几种情况，为本节课的学习打基础。
二、探究新知
1.理解题意。
课件出示教科书P108例3。
引导学生读题，找出已知条件和所求问题。
师：这个植树问题和以往的植树问题有什么相同和不同的地方？
学生会说相同之处都是已知长度和间隔距离；不同之处在于前两节课学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆的周围植树的问题。
师：对，这节课我们要学习的内容就是在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题。
2.自主探究。
师：前两节课中，我们都是通过画图来发现规律再解题的。这道题你们能用同样的方法解决吗？试一试。
学生独立画图思考，教师巡视指导。
预设1：学生用列表法发现规律。（课件出示下表，表中答案逐步显示）
全长（米） 间隔长（米） 间隔数（个） 棵树（棵）
30 10 3 3
40 10 4 4
50 10 5 5
60 10 6 6
预设2：学生可能会把圆拉直成线段。（师追问：这种情形相当于在线段上植树问题中的哪种情况？）
预设3：学生给出算式：120÷10=12（棵）。（板书）
3.总结规律。
师：通过上面完成的表格，大家发现了什么规律？
学生可能会说在封闭路线上植树，植树的棵数等于间隔数。
师：以40m的长度为例，将圆拉直成线段，我们来观察一下。（课件出示P108中间的图示）
师：我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一端栽一端不栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
师生交流后板书：封闭曲线上的植树问题：棵数=间隔数
【设计意图】因为学生已经有了在线段上植树的学习经验，所以在引导学生比较例3与例1、例2的相同点和不同点之后，便放手让学生利用已有的学习方法，自行探究在封闭路线上植树的问题。
三、巩固提高
1.完成教科书P108“做一做”。
学生独立完成，全班汇报。
2..完成教科书P110“练习二十四”第11题。
学生独立思考完成后交流。
四、课堂小结
师：这节课，你们有什么收获呢？
板书设计
植树问题（3）
120÷10=12（棵）
封闭曲线上的植树问题：棵数＝间隔数
作业设计
完成本节课习题。
教学反思
在新授课上，封闭图形中植树的棵数与间隔数的关系比较抽象，难以理解，有些学生容易将新知识与前面的内容混淆，教师要及时指导、强调区别。
