2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似 单元达标测试 （word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
2．如图，用图中的数据不能组成的比例是（　　）
A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4
3．点P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
4．将一个四边形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（　　）
A．四边形的边长扩大为原来的2倍
B．四边形的各角扩大为原来的2倍
C．四边形的周长扩大为原来的2倍
D．四边形的面积扩大为原来的4倍
5．如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
7．如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（　　）
A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3
8．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB＝9，AC＝6，AD＝3，若使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（　　）
A．2 B． C．2或 D．3或
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，＝＝，则容器的内径是（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
10．如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB＝90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OB1A1（即A1O＝2AO）．同理，将Rt△OB1A1顺时针旋转90°，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OB2A2……依此规律，得到等腰直角三角形OB2019A2019，则点B2019的坐标为（　　）
A．（﹣22019，22019） B．（22019，﹣22019） C．（﹣22018，22018） D．（22018，﹣22018）
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图L4，L5被一组平行线L1，L2，L3所截，显然三条平行线不是等距的，若＝，则为　 　．
12．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为　 　．
13．两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角形的周长为　 　cm．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　 　．
16．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是　 　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边上的高，求证：CD2＝AD BD．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）
（1）画出△ABC关于点B中心对称的△A1BC1，并直接写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
19．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）求证：CE CA＝CF CB；
（2）EF交CD于点O，求证：△COE∽△FOD；
20．如图，△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△BAD∽△CAE；
（3）已知BC＝4，AC＝3，AE＝．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求BD的长．
21．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFMN的一边MN在边BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，其中BC＝24cm，高AD＝12cm．
（1）求证：△AEF∽△ABC：
（2）求正方形EFMN的边长．
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
23．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．
（1）如图1，若，AF＝，求DG的长；
（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．
24．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，点F是点E关于点C的对称点，过点F作对角线BD的平行线，交DC的延长线于点H，连接HE并延长与矩形的边AB、对角线BD于点N、M．
（1）试判定△BME的形状，并说明理由．
（2）若BE＝2EC，连接DE，当△MED为直角三角形时，求AB：BC的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵，
∴y＝2x，
∴＝＝．
故选：A．
2．解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；
B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；
C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；
D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；
故选：C．
3．解：较短线段的长度＝1﹣×1
＝，
故选：C．
4．解：放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，
∴选项：A，C，D正确，
故选：B．
5．解：∵EF∥BC
∴，∴答案A正确；
根据合比性质，则有
即：，∴答案D正确；
又∵AD∥EF
∴，∴答案B正确；
而，∴答案C错误．
故选：C．
6．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB AB，
则S1：S2＝AP2：（PB AB）＝1，即S1＝S2．
故选：B．
7．解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．
∵AD＝4DE，
∴AE＝3DE，
∵AD是△ABC的中线，
∴，
∴，即AF＝3DG
∴，即FC＝2DG，
∴AF：FC＝3DG：2DG＝3：2．
故选：A．
8．解：①若∠AED对应∠B时，＝，即＝，
解得AE＝；
②当∠ADE对应∠B时，＝，即＝，
解得AE＝2．
故选：C．
9．解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝，
又AD＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm．
故选：D．
10．解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，﹣2），B2（﹣4，﹣4），B3（﹣8，8），B4（16，16），
∵2019÷4＝502…3，
∴点B2019与B3同在一个象限内，
∵﹣4＝﹣22，8＝23，16＝24，
∴点B2019（﹣22019，22019）．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵L1∥L2∥L3，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
12．解：如图，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
13．解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，
∴两个三角形的相似比为5：3，
设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，
由题意得，5x﹣3x＝12，
解得，x＝6，
则5x＝30，
故答案为：30．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC＝＝＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，
∴矩形AB1C1C的面积＝，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积＝
∴矩形AB3C3C2的面积＝，
按此规律第4个矩形的面积为，
故答案为：．
16．解：如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．证明：∵CD是斜边AB上的高．
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
又∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD．
18．解：（1）△A1BC1如图所示，点C1的坐标（1，6）．
（2）△A2B2C2如图所示，点C2的坐标（﹣6，4）．
19．证明：（1）∵∠CED＝∠CDA＝90°，∠ECD＝∠DCA，
∴△CED∽△CDA，
∴，即CD2＝CE CA，
∵∠CFD＝∠CDB＝90°，∠FCD＝∠DCB，
∴△CDF∽△CBD，
∴，即CD2＝CB CF，
则CA CE＝CB CF；
（2）∵∠CED＝∠CFD＝90°，
∴C，E，D，F四点共圆，
∴∠FED＝∠FCD，∠DEC＝∠DFC，
∴△COE∽△FOD，
20．证明：（1）∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∵∠EAC＝∠BAD，
∴△BAD∽△CAE；
（3）∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴AD＝＝，
如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝．
21．（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，
∴△AEF∽△ABC．
（2）解：设正方形EFMN的边长为x．
∵△AEF∽△ABC，AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝8，
∴正方形的边长为8cm．
22．解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40，
∴＝，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
23．（1）解：设EF＝x，DF＝2x，则DE＝EF+DF＝3x＝AD
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，，
∵x＞0，
∴x＝1，
∴EF＝1，DF＝2，AD＝3，
∴由三角形面积公式得：S△ADF＝＝，
即；
（2）证明：
过D点作DK⊥DM交AC于点K，
∵∠1+∠KDF＝90°，∠2+∠KDF＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠3+∠4＝90°，∠5+∠EFM＝90°，
又∵∠4＝∠EFM，
∴∠3＝∠5，
在△ADK和△EDM中
，
∴△ADK≌△EDM（ASA），
∴DK＝DM，AK＝EM，
∴△MDK为等腰直角三角形，
∵DG⊥AC，
∴MK＝2DG，
∴AM﹣EM＝AM﹣AK＝MK＝2DG．
24．解：（1）△BME是等腰三角形，理由如下：
由题意可知EC＝FC，CH⊥EF，
所以∠F＝∠HEC．
∵FH∥BD，
∴∠F＝∠MBF．
∴∠HEC＝∠MBF．
又∠HEC＝∠MEB，
∴∠MEB＝∠MBE．
∴MB＝ME．
∴△MBE是等腰三角形；
（2）①当∠DME＝90°时，如图1，
∵MB＝ME，
即∠MEB＝∠MBE，
∴∠DBC＝45°．
∴∠DBC＝∠BDC，
∴BC＝DC．
∴AB：BC＝DC：BC＝1；
②当∠DEM＝90°时，如图2，过点M作MG⊥BC于G点，
∵∠MEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∠EDC＝∠MEB＝∠MBE．
由（1）得MB＝ME，又MG⊥BC，
∴BE＝2GE＝2GB，
又BE＝2EC，
∴EG＝EC，则△MGE≌△HCE（ASA）
∴ME＝HE．
又DE⊥MH，
∴∠MDE＝∠EDC．
∴∠DBE＝∠EDC＝∠BDE＝30°．
∴AB：BC＝DC：BC＝tan∠DBC＝tan30°＝．
综上所述AB：BC＝1或．