2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元综合测试 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册第27章相似单元综合测试 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 543.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-29 10:32:10 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ ）
A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15 D．、、和
3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）
7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（ ）
A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．已知＝＝，则＝ ．
10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝ ．
11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是 ．
12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 ．
14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为 ．
15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是 ．
17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 米．
18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝ ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．
求证：CD平分EF．
24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 ．
26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（ ）
A． B． C． D．
解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，
∴BC＝＝．
故选：D．
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ ）
A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15 D．、、和
解：A、2×8＝4×4，能组成比例，故本选项不符合题意；
B、4×0.3＝6×0.2，能组成比例，故本选项不符合题意；
C、2×15≠5×7，不能组成比例，故本选项符合题意；
D、×＝×，能组成比例，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF＝，
∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，
∴S3：S2＝（GF FH）：（BC BE）
＝（×）：（1×）
＝．
故选：A．
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：
解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝2，
∴OB＝6，
∴C点坐标为：（6，4），
故选：A．
7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（ ）
A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF
解：∵AC⊥CB，AE⊥CD，
∴∠ACB＝∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD＝DB＝DA，
∴∠DCB＝∠B，
∴△ECF∽△CBA，
∵∠ACE+∠ECF＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝∠CAE，
∴△ECF∽△EAC∽△CAF，
∴△ABC与△ECF，△AEC，△ACF相似，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．已知＝＝，则＝ ．
解：设＝＝＝k，
则x＝，y＝，z＝，
所以＝＝＝，
故答案为：．
10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝ 2cm ．
解：如图，
∵BD⊥C，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BDC，
∴＝，
∵AD＝2cm，CD＝4cm，
∴BD2＝AD CD＝2×4＝8，
∵BD＞0，
∴BD＝2（cm），
故答案为：2cm．
11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是 9 ．
解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，
∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，
∴DC⊥l1，DC⊥l5，
∴∠BHA＝∠DEA＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝2AD，BH＝4，DE＝1，
∴AE＝2，AH＝2，
∴BF＝HE＝AH+AE＝2+2＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
∴AB＝2AD＝2，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB AD+CD BF＝×2×+×2×4＝9．
故答案为：9．
12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC
∴a2＝CE a，2a2＝AE a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 6 ．
解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，
∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．
∴△AEF∽△DBG，
∴＝．
又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，
∴＝．
∴EF＝6．
即正方形铁皮的边长为6．
故答案是：6．
14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为 （﹣，2） ．
解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），
所以D点坐标为（﹣，2）．
故答案为（﹣，2）．
15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 9 米．
解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是 ．
解：∵∠ADF＝∠B+∠BCD，∠ACE＝∠BCD+∠ACD，∠B＝∠ACD，
∴∠ADF＝∠ACE，
∵∠DAF＝∠CAE，
∴△ADF∽△ACE，
∴＝，
∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴＝＝，
故答案为．
17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 5 米．
解：如图，延长CG交FH于M，
∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，
∴△GFM∽△CDM，
∴，
设FM为a米，则a＝（a+2）×，
解得：a＝，
设BD＝x米，AB＝y米，
同理可得，△CMD∽△AMB，
∴，，
可得，，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程组的解，
∴AB＝5米．
故答案为：5．
18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝ 18 ．
解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PQ，
∴＝，
∴＝，
解得PQ＝48；
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；
（2）设PQ＝x
∵＝，
∴＝，
∴PN＝80﹣x，
∴S四边形PQMN＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，
当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．
21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．
求证：CD平分EF．
证明：如图
，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB．
易知：DB2＝FB2＝AB HB，AD2＝AE2＝AG AB．
二式相减得：DB2﹣AD2＝AB （HB﹣AG），
或（DB﹣AD） AB＝AB （HB﹣AG）．
于是：DB﹣AD＝HB﹣AG，或DB﹣HB＝AD﹣AG．
∴DH＝GD．
显然，EG∥CD∥FH．
故CD平分EF．
24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 2或5 ．
（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，
∴∠AED＝∠PAF，
∵PF⊥AE，
∴∠D＝∠PFA＝90°，
∴△PAF∽△AED．
（2）解：当PA＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，
∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．
当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，
∴PA＝PE，
∵PF⊥AE，
∴AF＝FE，
∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AF＝，
∵△PAF∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝5，
综上所述，满足条件的PA的值为2或5．
26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得 CP：BE＝PF：PE，
而CP＝BP，
因此 PB：BE＝PF：PE．
又因为∠EBP＝∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ ）
A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15 D．、、和
3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）
7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（ ）
A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．已知＝＝，则＝ ．
10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝ ．
11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是 ．
12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 ．
14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为 ．
15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是 ．
17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 米．
18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝ ．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．
求证：CD平分EF．
24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 ．
26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（ ）
A． B． C． D．
解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，
∴BC＝＝．
故选：D．
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ ）
A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15 D．、、和
解：A、2×8＝4×4，能组成比例，故本选项不符合题意；
B、4×0.3＝6×0.2，能组成比例，故本选项不符合题意；
C、2×15≠5×7，不能组成比例，故本选项符合题意；
D、×＝×，能组成比例，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF＝，
∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，
∴S3：S2＝（GF FH）：（BC BE）
＝（×）：（1×）
＝．
故选：A．
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴＝，即＝，
∴（）2＝2，
∴＝．
故选：B．
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：
解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝2，
∴OB＝6，
∴C点坐标为：（6，4），
故选：A．
7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（ ）
A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF
解：∵AC⊥CB，AE⊥CD，
∴∠ACB＝∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵AD＝DB，
∴CD＝DB＝DA，
∴∠DCB＝∠B，
∴△ECF∽△CBA，
∵∠ACE+∠ECF＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝∠CAE，
∴△ECF∽△EAC∽△CAF，
∴△ABC与△ECF，△AEC，△ACF相似，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
9．已知＝＝，则＝ ．
解：设＝＝＝k，
则x＝，y＝，z＝，
所以＝＝＝，
故答案为：．
10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝ 2cm ．
解：如图，
∵BD⊥C，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BDC，
∴＝，
∵AD＝2cm，CD＝4cm，
∴BD2＝AD CD＝2×4＝8，
∵BD＞0，
∴BD＝2（cm），
故答案为：2cm．
11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是 9 ．
解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，
∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，
∴DC⊥l1，DC⊥l5，
∴∠BHA＝∠DEA＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，
∴∠ABH＝∠DAE，
∴△BAH∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝2AD，BH＝4，DE＝1，
∴AE＝2，AH＝2，
∴BF＝HE＝AH+AE＝2+2＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
∴AB＝2AD＝2，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB AD+CD BF＝×2×+×2×4＝9．
故答案为：9．
12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC
∴a2＝CE a，2a2＝AE a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为 6 ．
解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，
∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．
∴△AEF∽△DBG，
∴＝．
又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，
∴＝．
∴EF＝6．
即正方形铁皮的边长为6．
故答案是：6．
14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为 （﹣，2） ．
解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），
所以D点坐标为（﹣，2）．
故答案为（﹣，2）．
15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 9 米．
解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是 ．
解：∵∠ADF＝∠B+∠BCD，∠ACE＝∠BCD+∠ACD，∠B＝∠ACD，
∴∠ADF＝∠ACE，
∵∠DAF＝∠CAE，
∴△ADF∽△ACE，
∴＝，
∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴＝＝，
故答案为．
17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝ 5 米．
解：如图，延长CG交FH于M，
∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，
∴△GFM∽△CDM，
∴，
设FM为a米，则a＝（a+2）×，
解得：a＝，
设BD＝x米，AB＝y米，
同理可得，△CMD∽△AMB，
∴，，
可得，，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程组的解，
∴AB＝5米．
故答案为：5．
18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝ 18 ．
解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
三．解答题（共9小题，满分66分）
19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
解：（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PQ，
∴＝，
∴＝，
解得PQ＝48；
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；
（2）设PQ＝x
∵＝，
∴＝，
∴PN＝80﹣x，
∴S四边形PQMN＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，
当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．
21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．
求证：CD平分EF．
证明：如图
，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB．
易知：DB2＝FB2＝AB HB，AD2＝AE2＝AG AB．
二式相减得：DB2﹣AD2＝AB （HB﹣AG），
或（DB﹣AD） AB＝AB （HB﹣AG）．
于是：DB﹣AD＝HB﹣AG，或DB﹣HB＝AD﹣AG．
∴DH＝GD．
显然，EG∥CD∥FH．
故CD平分EF．
24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．
（1）求证：△PAF∽△AED；
（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长 2或5 ．
（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，
∴∠AED＝∠PAF，
∵PF⊥AE，
∴∠D＝∠PFA＝90°，
∴△PAF∽△AED．
（2）解：当PA＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，
∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．
当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，
∴PA＝PE，
∵PF⊥AE，
∴AF＝FE，
∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∴AF＝，
∵△PAF∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝5，
综上所述，满足条件的PA的值为2或5．
26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得 CP：BE＝PF：PE，
而CP＝BP，
因此 PB：BE＝PF：PE．
又因为∠EBP＝∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．