2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程 课件—（33张PPT）

高二数学 选择性必修1 第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1.椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
复习引入
[1]取一条拉链；
[2]如图，把它固定在板上的F1、F2两点；
[3]拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
数学实验
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
这两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
探究新知
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
1、双曲线定义
| |MF1| - |MF2| | = 2a
没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.
③此常数记为2a，则a
双曲线的一支
两条射线
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
线段F1F2的垂直平分线
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
轨迹不存在
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
| |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 |
解惑提高
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
2、双曲线的标准方程的推导
1. 建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
4.化简
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
焦点在x轴上
焦点在y轴上
3.双曲线的两种标准方程的特征
① 方程用“－”号连接.
③ c2 =a2+b2
④如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
② a、b 大小不定.
判断焦点在哪条坐标轴上：
椭圆看分母大小，双曲线看系数正负
1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标
解：(1)a2=2,b2=2,c=2, 焦点在x轴，
焦点(-2，0)、(2，0)，焦距为4；
小试牛刀
2.求证:双曲线x2-15y2=15与椭圆 的焦点相同.
3.已知方程 表示双曲线，求m的取值范围.
解:
变式1：方程 表示焦点在y轴上双曲线，
则m的取值范围_____________.
小试牛刀
变式2：m、n为何值时，方程 表示下列曲线：
(1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线
答案：(1) m=n>0; (2)m≠n>0; (3)mn<0
?
变式：双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一焦点的距离等于 _____．
由双曲线的定义知：||PF1|-|PF2||=2a
小试牛刀
即 |1-|PF2||=16
解得： |PF2|=-15(舍去)，|PF2|=17
解:4x2-y2+64=0化为 ,则a=8
4.双曲线 的两个焦点分别为F1与F2，焦距为8，M是双曲线上一点，且|MF1|=5，则|MF2|=____
1或9
17
求双曲线的标准方程
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与焦点F1、F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的交点在x轴上，所以设它的标准方程为
????2????2?????2????2=1(????>0,????>0)
?
由2c=10，2a=6，得c=5，a=3
因此b2=c2-a2=52-32=16，
所以双曲线的标准方程为
????29?????216=1
?
例题精讲
例1.已知双曲线焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与焦点F1、F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.
????29?????216=1
?
两条射线
y=0(x≥????或x≤?????)
?
轨迹不存在
变式：
????29?????216=1(????>0)
?
例题精讲
小试牛刀
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a=4，b=3；
(2)焦点在x轴上，经过点(-√????，-√????)，(√????????????，√????)
(3)焦点为(0，-6)，(0，6)，且经过点(2，-5).
?
答案：
方法小结
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为
解:如图，建立直角坐标系Oxy,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
例题精讲
因为|PA|-|PB|=????????????>????，所以点P的轨迹
是双曲线的右支，因此x≥????????????
?
?????????????????????????????????????????????????????????????=????（????≥????????????）
?
如图,设点Ａ,Ｂ的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是????????，求点Ｍ的轨迹方程．
?
解：设点Ｍ的坐标为(x,y) ,
因为点Ａ的坐标为(-5,0) ,
所以，直线AM的斜率
同理，直线BM的斜率
由已知有
化简,得点M的轨迹方程为
x
y
O
A
B
M
课本第121页·探究：
变式题：
课本126
练习 第1题
1.已知A，B两点的坐标分别是(一6，0)，(6，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是????????.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.
?
变式题：课本第126页·练习第1题：
课堂小结
课堂小结
1.课本P127 习题3.2 第1、2、5、9题
一、必做题
二、选做题
布置作业
2.预习：《双曲线的简单几何性质》
作业评讲
作业评讲
作业评讲
利用双曲线的定义求轨迹方程:
4
F
2
F1
P
x
O
y
双曲线的焦点三角
解：不妨设点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|-|PF2|=2a=2，
|F1F2|=2c=2√2，
在△F1PF2中，由余弦定理可知：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=4，
△PF1F2面积S=12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×4×sin 60°=√3
因为(|PF1|+|PF2|)2=(|PF1|-|PF2|)2+4|PF1|·|PF2|=20
所以|PF1|+|PF2|=2√5
△PF1F2周长L=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2√5+2√2
?
F
2
F1
P
x
O
y
F
2
F
1
M
x
O
y
双曲线的焦点三角形：
椭圆的焦点三角形：
x
y
F1
F2
M
O
结合余弦定理、椭圆(双曲线)的定义