2021-2022学年冀教版八年级数学上册第16章轴对称和中心对称 单元测试题 （word版含解析）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《第16章轴对称和中心对称》单元测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．某人从平面镜里看到对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（　　）
A．10：21 B．10：51 C．21：10 D．12：01
2．如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为（　　）
A．22厘米 B．16厘米 C．26厘米 D．25厘米
4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC＝9：4，则△ABD与△ACD的面积比等于（　　）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．2：3
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6，则△BDE的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
7．如图，已知直线m∥n，且m与n之间的距离为4，点A到直线m的距离为1，点B到直线n的距离为1，AB＝10，点C关于直线n与点A对称，则BC的长为（　　）
A．4 B．10 C．11 D．9
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1 B．6 C．3 D．12
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是　 　．
12．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若S△ABC＝12，DF＝2，AC＝5，则AB的长是　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1.5，CD＝2.5，则AB的长为　 　．
14．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18，OD＝4，则△ABC的面积是　 　．
15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为　 　．
17．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为　 　．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
19．如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由．
20．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
21．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是　 　对称图形，都不是　 　对称图形．
（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．某人从平面镜里看到对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（　　）
A．10：21 B．10：51 C．21：10 D．12：01
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，故选B．
2．如图所示，光线L照射到平面镜I上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
解：∠β所在的顶点处是一个平角为180°，α，γ经过反射后，与β所在的顶点处的一个角组成三角形的内角和180°，
即180°﹣2β+α+γ＝180°，
∴2β＝∠α+∠γ
∴∠β＝（55+75）÷2＝65°．
故选：D．
3．如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为（　　）
A．22厘米 B．16厘米 C．26厘米 D．25厘米
解：∵DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，
又AB＝12厘米，BC＝10厘米，
∴△BCD的周长为BD+DC+BC＝AD+DB+BC＝AB+BC＝12+10＝22（厘米）．
故选：A．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC＝9：4，则△ABD与△ACD的面积比等于（　　）
A．3：2 B．9：4 C．4：9 D．2：3
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵AB：AC＝9：4，
∴S△ABD：S△ACD＝（AB DE）：（AC DF）＝AB：AC＝9：4．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6，则△BDE的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝8，
故选：B．
6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：D．
7．如图，已知直线m∥n，且m与n之间的距离为4，点A到直线m的距离为1，点B到直线n的距离为1，AB＝10，点C关于直线n与点A对称，则BC的长为（　　）
A．4 B．10 C．11 D．9
解：如图所示，过B作BD⊥AC于D，
∵点C关于直线n与点A对称，
∴AC⊥n，AE＝CE，
又∵m与n之间的距离为4，点A到直线m的距离为1，点B到直线n的距离为1，
∴AF＝DE＝1，EF＝4，
∴AD＝6，AE＝CE＝5，
又∵Rt△ABD中，AB＝10，
∴BD＝＝8，
又∵CD＝5﹣1＝4，
∴Rt△BCD中，BC＝＝4，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'，
∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，
∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'，
∴△ABC≌△A'B'C（SAS），
∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'，
∴AB∥A'B'，
∴CD⊥A'B'，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE，
∴CD＝CE＝EC'，
∴S△A'B'C＝S△A'B'C'，
∴S△ABC＝S△A'B'C'，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为，
故选：B．
9．如图，点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，B、B′关于AD对称，且BB′交AD于F，交AC于E，连接FC、AB′，下列说法：①∠BAD＝30°；②∠BFC＝135°；③AF＝2B′C；④S△AFE＝S△FCE，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，
∴BD＝BC＝AB，
∴tan∠BAD＝，
∴∠BAD≠30°，故①错误；
如图，连接B'D，
∵B、B′关于AD对称，
∴AD垂直平分BB'，
∴∠AFB＝90°，BD＝B'D，
又∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠DBB'＝∠BB'D，∠DCB'＝∠DB'C，
∴∠BB'C＝∠BB'D+∠DB'C＝90°，
∴∠AFB＝∠BB'C，
又∵∠BAF+∠ABF＝90°＝∠CBB'+∠ABF，
∴∠BAF＝∠CBB'，
∴△ABF≌△BCB'，
∴BF＝CB'＝B'F，
∴△FCB'是等腰直角三角形，
∴∠CFB'＝45°，即∠BFC＝135°，故②正确；
由△ABF≌△BCB'，可得AF＝BB'＝2BF＝2B'C，故③正确；
∵AF＞BF＝B'C，
∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；
故选：B．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1 B．6 C．3 D．12
解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
11．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是　5　．
解：如图，过点P作PE⊥DC于E，
∵AD∥BC，PA⊥AD，
∴PB⊥CB，
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，
∴PA＝PE，PB＝PE，
∴PE＝PA＝PB，
∵PA+PB＝AB＝10，
∴PA＝PB＝5，
∴PE＝5．
故答案为：5．
12．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若S△ABC＝12，DF＝2，AC＝5，则AB的长是　7　．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴12＝×AB×DE+×AC×DF，即24＝AB×2+5×2，
∴AB＝7，
故答案为：7．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1.5，CD＝2.5，则AB的长为　3　．
解：如图，过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝1.5，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵CD＝2.5，∠DEC＝90°，
∴Rt△CDE中，CE＝＝2，
设AB＝BE＝x，则BC＝x+2，
∵Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴x2+42＝（x+2）2，
解得x＝3，
AB＝3，
故答案为：3．
14．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18，OD＝4，则△ABC的面积是　36　．
解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝4，
同理OF＝OD＝4，
△ABC的面积＝×AB×4+×AC×4+×BC×4＝36．
15．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　．
解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝18．分别以A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB、AC于点D、E．若EC＝5，则△BEC的面积为　30　．
解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AC＝18，EC＝5，
∴AE＝BE＝13，
又∵∠C＝90°，
∴Rt△BCE中，BC＝＝12，
∴S△BCE＝BC×CE＝×12×5＝30，
故答案为：30．
17．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为　　．
解：如图，作CE∥AD交AB于E．
∵EC∥AD，
∴∠1＝∠AEC，∠2＝∠ACE，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴AE＝AC，
∵EC∥AD，
∴AE：AB＝DC：BD，
∴AC：AB＝DC：BD，
∵AB＝2BC，设BC＝x，则AB＝2x，
∴3：2x＝4：（x+4），
∴x＝，
∴AB＝2x＝，
解法二：过点D作DM⊥AC，DN⊥BA交BA的延长线于N．
则△ADM≌△ADN，
∴DM＝DN，
∴＝＝＝，
（以下同上）．
故答案为．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
（2）若AB＝10cm，CD＝4cm，求△ABD的面积．
解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝4，
∴S△ABD＝AB×DE＝×10×4＝20cm2．
19．如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由．
解：（1）∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
又∵AQ＝PQ，
∴∠CAP＝∠APQ，
∴∠BAP＝∠APQ，
∴QP∥AR；
（2）相等，理由：
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR．
20．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．
21．如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是　中心　对称图形，都不是　轴　对称图形．
（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同．
解：（1）中心、轴；
（2）如图所示：