2021-2022学年冀教版九年级数学上册25.3相似三角形 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
2．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．AC2＝AD AB D．＝
3．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　）
A． B． C．或 D．无法确定
4．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm
5．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（　　）
A．AB2＝BE BC B．CD AB＝AD AC
C．AE2＝CD BE D．AB AC＝BE CD
6．下列结论中正确的是（　　）
A．有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似
B．一个角相等的两个等腰三角形相似
C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
7．下列说法中不正确的是（　　）
A．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等
C．如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似
D．如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合
8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠D B．∠ACD＝∠ABC C． D．
9．如图△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD BC＝DE AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（　　）
A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B+∠ACD＝90° D．EF的长为
11．如图，F为 ABCD的边AD上一点，射线BF交CD的延长线于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．如图，AD∥CB，E、F分别在AB、CD上，且EF∥CB，若＝，CD＝15，则线段DF的长为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．10
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB及BA延长线上一点，连接CE、DF相交于点H，CE交AD于点G，下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
14．如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
16．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A′D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝8，则△ABC与△A'B'C′的周长比等于　 　．
17．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为　 　．
18．已知△ABC∽△A'B'C'，顶点A、B、C分别与顶点A'、B'、C'对应，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的长是　 　．
19．如果两个相似三角形的周长之比为1：4．那么这两个三角形对应边上的高之比为　 　．
20．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　 　．
21．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则a的值是　 　．
22．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　 　（填一个即可）
23．如图1，等边△ABC的顶点A在直角△MON的斜边MN上，顶点B与O重合，C在OM上．如图2，从O点出发在线段OM上平移等边△ABC，在开始平移△ABC同时，点P从△ABC的顶点B出发，沿线段BA运动，当点P运动到A时即停止运动，△ABC也随之停止平移．边AB，AC分别与线段MN交于点E，F，已知∠M＝30°，∠MON＝90°，OM＝6，点P的移动速度是△ABC移动速度的2倍．当△PEF∽△NOM时，则线段OB的长为　 　．
24．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为　 　．
25．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB＝3，CD＝6，那么EF的长是　 　．
三．解答题（共5小题，满分45分）
26．已知：如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，若AC＝3，BC＝4，求AD．
27．两个相似三角形对应边的比是2：3．它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
28．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．
求证：△ADB∽△AEC．
29．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
30．已知，在 ABCD中，∠ABC＝45°，，点G是直线BC上一点，
（1）如图，若AD＝6，连接BD，AG，且AG⊥BD于点E，
①求对角线BD的长；
②线段BG的长为　 　；
（2）连接AG，作BF⊥AG，交直线AD于点F，当时，请直接写出线段BG的长．
参考答案
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠A＝∠D＝40°或∠B＝∠D＝60°或∠C＝∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故选：D．
2．解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，＝，，
∴AC2＝AD AB，
∴A、B、C成立，不符合题意；
D错误，符合题意，
故选：D．
3．解：∵相似三角形的对应边之比为3：7，
∴它们的对应中线的比为3：7，
∵其中一个三角形的一条中线为2，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，
∴另一个三角形对应的中线可能为，也可能是．
故选：C．
4．解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，
∴其周长比为1：4，
∵BC＝8cm，三角形ABC为等边三角形，
∴△ABC的周长为24cm，
∴△ADE的周长为6cm．
故选：C．
5．解：∵△ABE∽△CBA，
∴AB：BC＝BE：AB，
∴AB2＝BE BC，所以A选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，
∴∠ADE＝∠BAC，
∵∠ADC＝∠BAC，
∴△CAD∽△CBA，
∴CD：AC＝AD：AB，
即CD AB＝AD AC，所以B选项的结论正确；
∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，
∴△CAD∽△ABE，
∴AD：BE＝CD：AE，
即AD AE＝CD BE，
∵AD＝AE，
∴AE2＝CD BE，所以C选项的结论正确；
∵△CBA∽△ABE，
∴AC：AE＝CB：AB，
∴AB AC＝AE CB，
∵AE2＝CD BE，AE≠CB，
∴AB AC≠BE CD，所以D选项的结论不正确．
故选：D．
6．解：A、错误．比如，一个直角三角形的直角边为3，4，另一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为4，这两个直角三角形不相似；
B、错误．当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角，两个等腰三角形不相似；
C、错误；边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似；
D、正确．两个等边三角形相似；
故选：D．
7．解：A、如果两个三角形全等，则相似比为1，那么这两个三角形相似，故本选项不符合题意．
B、如果两个三角形相似，且相似比为 1，那么这两个三角形全等，故本选项不符合题意．
C、如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似，故本选项不符合题意．
D、如果两个三角形相似，它们不一定全等，则它们不一定能互相重合，故本选项符合题意．
故选：D．
8．解：A、当∠ACB＝∠D时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，
故选：B．
10．解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC＝5，
∴四边形AECD是菱形，
∴菱形AECD的周长是20，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形AECD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°，
故C选项正确，不符合题意；
如图，过A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝BC AH＝AB AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH＝．
故D选项正确，不符合题意；
在Rt△EFC中，EF＝，EC＝5，
∴FC＝＝，
在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∵＝，＝，＝，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴，，，故选项A、C、D错误；
∵△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，
∴△ABF∽△CEB，
∴，故选项B正确；
故选：B．
12．解：∵AD∥CB，EF∥CB，
∴AD∥EF∥CB，
∴＝＝，
∴＝，
即＝，
∴DF＝CD＝×15＝6．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEG∽△BEC，△EFH∽△CDH，△AEG∽△DCG，
∴＝，故A正确，不符合题意；
＝，故B错误，符合题意；
＝，故C正确，不符合题意；
∵＝，
∴+＝+，
∴＝，
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＝，故D正确，不符合题意．
综上，只有B符合题意．
故选：B．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴△EAG∽△EBF，△EAG∽△HDG，
∴，，故选项A、B成立，
∵CH∥BA，
∴，
∴，故选项C正确，
∵AG∥AC，CH∥BA，
∴，，
而无法证明是否成立，故选项D不一定成立，
故选：D．
15．解：∵AD＝3，BD＝4，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分45分）
16．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝8，
∴ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：8＝5：4．
故答案为：5：4．
17．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
18．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，
∴BC：B′C′＝AD：A′D′，
∴2.4：A′D′＝3：2，
∴A'D'的长是1.6，
故答案为：1.6．
19．解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，
∴这两个三角形的相似比为1：4，
∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；
故答案为：1：4．
20．解：∵∠C＝∠BCD，
∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．
故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．
21．解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，
∴，
∴AE＝BE①，
当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，
∴，
即AE BE＝AC BD＝3×4＝12②，
由①②可得：，
解得：BE＝4，
∴AE＝3，
∴AB＝AE+BE＝7，
即a＝7，
当AE＝3时，BE＝4时，两个三角形相似，
当AE＝4时，BE＝3，两个三角形全等，
符合题目要求，
设AE＝x，则BE＝a﹣x，
∴x：4＝3：（a﹣x），
整理得：x2﹣ax+12＝0，
方程有唯一解时，△＝a2﹣48＝0，
解得：（舍去），
∴a＝4，
当a＝4时，AE：BE＝3：4，两个三角形相似，
AE＝BE＝2时，两个三角形相似，
同样是两个点可以满足要求，
综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且仅有两个，
则a的值为7或4，
故答案为：7或4．
22．解：∵∠B＝∠B（公共角），
∴可添加：∠C＝∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．
故答案可为：∠C＝∠BAD．
23．解：如图1中，设AB＝AC＝BC＝a，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠M+∠CAM，∠M＝30°，
∴∠M＝∠CAM＝30°，
∴AC＝CM＝a，
∴OM＝2a，即2a＝6，
∴a＝3，
如图2﹣1中，设OB＝m，则PB＝2m，
∵△PEF∽△NOM，
∴∠EPF＝∠N＝90°﹣30°＝60°，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∴PF∥BC，
∴∠AFP＝∠ACP＝60°，
∴△APF的等边三角形，
∵∠M+∠EBM＝90°，
∴∠FEP＝90°，
∴FE⊥AP，
∴AE＝EP，
∴BM＝6﹣m，
∴BE＝BM＝（6﹣m），
∴AE＝EP＝（6﹣m）﹣2m，
∵AP+PB＝3，
∴6﹣m﹣4m+2m＝3，
解得m＝1，
∴OB＝1，
当点P与A重合时，△PEF∽△NOM，
∵BP＝2OB，
∴OB＝，
综上所述，满足条件的OB的值为1或．
24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE：AD＝2：3，
∴，
∴，
又∵AC＝20，
∴AF＝8，
故答案为：8．
25．解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝．
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝＝，即＝，
∴EF＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共5小题，满分45分）
26．解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，
即：，
解得：AD＝，
∴AD的长为．
27．解：设两个三角形的面积分别为x，y，则有，
解得x＝20，y＝45
答：较小三角形面积为20．
28．证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴，
∴△ADB∽△AEC．
29．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
30．解：（1）①如图1，过点D作DH⊥BC交BC延长线于H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，CD∥AB，
∴∠DCH＝∠ABC＝45°，
在Rt△CHD中，CH＝DH＝CD＝3，
∴BH＝BC+CH＝9，
在Rt△BHD中，BD＝＝＝3；
②∵AG⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
由①知，BD＝3，
设BE＝x，则DE＝BD﹣BE＝3﹣x，
在RtAEB中，AE2＝AB2﹣BE2＝（3）2﹣x2＝18﹣x2，
在RtAED中，AE2＝AD2﹣DE2＝62﹣（3﹣x）2＝﹣x2+6x﹣54，
∴18﹣x2＝﹣x2+6x﹣54，
∴x＝，
∴BE＝，DE＝3﹣＝，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BEG∽△DEA，
∴，
∴，
∴BG＝4，
故答案为：4；
（2）①当点F在点A左侧时，如图2，
过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥AD于N，
∴∠ANB＝∠AMB＝90°，
在Rt△ABM中，∠ABC＝45°，AB＝3，
∴BM＝AM＝AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠MBN+∠ANB＝180°，
∴∠MBN＝90°，
∴∠FBN+∠MBH＝90°，∠F+∠FBN＝90°，
∴∠F＝∠HBG，
∵∠HBG+∠H＝∠GAM+∠AMB，
∴∠HBG+90°＝∠GAM+90°，
∴∠HBG＝∠GAM，
∴∠F＝∠GAM，
∵∠BNF＝∠GMA，
∴△BNF∽△GMA，
∴，
∴＝，
∴GM＝，
∴BG＝BM﹣GM＝3﹣＝，
②当点F在点A右侧时，如图3，
同①的方法得，GM＝，
∴BG＝BM+GM＝3+＝，
即线段BG的长为或．