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7.4 综合与实践 排队问题
第7章 一元一次不等式与不等式组
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1．某医院为了提高服务质量，对病人挂号进行了调查，其调查结果为当还未开始挂号时，有n人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加m人，假定挂号的速度是每窗口每分钟k人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象，根据以上信息，若医院承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放________个窗口．
①－②得10k＝25m，解得m＝0.4k.
将m＝0.4k代入②，得30k＝6k＋n，解得n＝24k.
设需同时开放x(x为正整数)个窗口，才能保证5分钟后不出现排队现象，则x×5k≥5m＋n.
将m＝0.4k，n＝24k代入不等式，得x×5k≥2k＋24k，
解得x≥5.2.
由x为正整数，可得x的最小值为6.
故至少需要同时开放6个窗口．
【答案】6
2．某服务机构开设一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每3分钟服务一位顾客，窗口开始工作时，已有8位顾客正在等待，窗口工作1分钟后，又有一位新顾客到达，且预计以后每5分钟都有一位新顾客到达，请问第几位新顾客开始不用排队等候？
解：设第x位新顾客开始不用排队等候，依题意，得3(x＋8－1)≤5(x－1)＋1，解得x≥
因为x取整数，所以x最小值为13.
答：第13位新顾客开始不用排队等候．
3．小杰到学校食堂买饭，看到A，B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a＞8)，就站到了A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人．
(1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口还需要的时间是多少(用含a的代数式表示)
解：若他继续在A窗口排队，则他到达窗口还需要的时间是
(2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花时间少，求a的取值范围(不考虑其他因素)．
解：由题意得
解得a＞20，所以a的取值范围为a＞20，且a为整数．
4．在某公园的检票口，开始检票前已有一些人排队等待，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，1个检票口每分钟能让25人通过．如果只开一个检票口，检票开始8分钟后恰好不再有人排队．
(1)开始检票前有________人等待．
120
(2)如果同时开放2个检票口，那么检票开始后至少过多少分钟才没有人排队？
解：设检票开始x分钟后没有人排队，
则120＋10x≤25×2×x，
解得x≥3.
因此，检票开始后至少过3分钟才没有人排队．(共23张PPT)
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专题技能训练(三)
2.不同类型的一元一次不等式(组)的解法
第7章 一元一次不等式与不等式组
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5≤a＜6
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－3≤a<－2
m<－4
1，2
解：去分母，得4(1－x)－12x<36－3(x＋2)，
去括号，得4－4x－12x<36－3x－6，
移项，得－4x－12x＋3x<36－6－4，
合并同类项，得－13x< 26，
系数化为1，得x>－2.
2．【合肥包河区模拟】解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x≥－1，
解不等式②，得x＜2，
所以不等式组的解集是－1≤x＜2.
用数轴表示该不等式组的解集如图．
4．解不等式组：－1< ≤5.
解不等式①，得x>－1，
解不等式②，得x≤8.
所以原不等式组的解集为－1
5．若不等式(1－a)x>1－a的解集是x<1，则a的取值范围是( )
A．a>0 B．a<0 C．a>1 D．a<1
C
6．【中考·云南】若关于x的不等式组 的解集是x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2
C．a＞2 D．a≥2
D
7．已知关于x的不等式x＜2x－3的解可以使不等式x＋2(x－3)＞m恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m＜3
C．m≥3 D．m＜－3
【答案】A
8．【六安汇文中学期中】已知不等式组 的解集为－1A．－3 B．3 C．39 D．－39
解得a＝5，b＝8，
则a2－b2＝52－82＝－39.故选D.
D
9．若关于x的不等式组 的所有整数解的和是10，则m的取值范围是( )
A．4C．4≤m<5 D．4≤m≤5
解不等式①，得x故原不等式组的解集为1≤x又因为不等式组的所有整数解的和是10，所以整数解为1，
2，3，4，
由此可以得到4【答案】B
10．【2021·荆门】如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，则a的取值范围是________．
5≤a＜6
11.若不等式组 无解，则m的取值范围是________．
m<－4
解不等式①，得x≥－2，
解不等式②，得x≤2＋m.
因为不等式组无解，所以－2>2＋m，解得m<－4.
12．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4.若[a]＝－3，则a的取值范围为______________．
－3≤a<－2
13．已知关于x，y的方程组 的解满足x－y＞0，求k的取值范围．
因为x－y＞0，
所以k＋5－(－k－7)＞0.
所以k＞－6.
14.【创新题】【2021·安徽模拟节选】对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n－0.5≤x＜n＋0.5，则〈x〉＝n.反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n－0.5≤x＜n＋0.5.如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5.
(1)〈π〉＝________；
3
(2)若〈0.5x－1〉＝7，则实数x的取值范围是___________；
15≤x＜17
解不等式①得，x≥－1，解不等式②得， x＜〈a〉，
所以不等式组的解集为 －1≤x＜〈a〉．
由不等式组的整数解恰有4个得， 2＜〈a〉≤3，
所以〈a〉＝3，故 2.5≤a＜3.5.
(3)若关于x的不等式组 的整数解恰有4个，求a的取值范围．
15．如图是一个计算机程序框架图，如果要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的整数值是________．
1，2
(1)当x＝10时，输出结果为________；当x＝2时，输出结果为________．
16．【合肥瑶海区期中】如图是一个运算程序．
例如：根据所给的运算程序可知，当x＝5时，5×5＋2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27＋2＝137＞37，则输出结果为137.
52
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(2)若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．
解不等式①，得x<7.
解不等式②，得x≥1.
所以x的取值范围为1≤x<7.(共34张PPT)
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全章整合与提升
第7章 一元一次不等式与不等式组
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D
1．下列说法正确的是( )
A．“a不是负数”可表示为a>0
B．“x不大于5”可表示为x>5
C．“x与1的和是非负数”可表示为x＋1>0
D．“m与4的差是负数”可表示为m－4<0
2．下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
D
3．下列式子中，是一元一次不等式组的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
4．不等式组 中两个不等式的解集在数轴上可表示为( )
D
5．若关于x的不等式2xA．a＝4 B．a>4
C．a≥4 D．a≤4
【答案】D
6．【中考·宿迁】若aA．a－1C． D．a2＜b2
D
7．若a>b，则下列结论：①a＋x>b＋x；② ；③ax2>bx2；④abA．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【点拨】①因为a>b，根据不等式的基本性质1可知a＋x>b＋x成立；②当x<0时， 不成立；③当x＝0时，ax2>bx2不成立；④当b≥0时，ab－|b|.
所以一定成立的个数为1.故选A.
8．【中考·安徽】解不等式：
解：去分母，得2x＞6－x＋3.
移项、合并同类项，得3x＞9.
系数化为1，得x＞3.
所以原不等式的解集为x＞3.
9．解不等式 x－1≤ x－ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得3x－6≤4x－3.
移项，得3x－4x≤－3＋6.
合并同类项，得－x≤3.
系数化为1，得x≥－3.
在数轴上表示如图所示．
10．(1)【2021·贺州】解不等式组：
解不等式①得x<1，
解不等式②得x>－3，
所以这个不等式组的解集为－3(2)【安庆模拟】解不等式组 并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
解：解不等式①，得x≤1.
解不等式②，得x＞－3.
所以不等式组的解集为－3＜x≤1.
将解集在数轴上表示，如图所示．
11．使x－5＞4x－3成立的最大整数是多少？
解：将原不等式移项、合并同类项，得－3x＞2.
系数化为1，得x＜－
将不等式的解集在数轴上表示，如图所示．
由图知，使x－5＞4x－3成立的最大整数是－1.
12．解不等式组 并求它的正整数解．
【点拨】求不等式组的特殊解的方法：先求出这个不等式组的解集，然后在不等式组的解集里面找出需要的特殊解．找特殊解时，借助数轴会更直观一些．
解：解不等式①，得x＞－
解不等式②，得x≤4.
所以不等式组的解集为－ ＜x≤4.
把不等式组的解集在数轴上表示，如图所示．
由图知，这个不等式组的正整数解为1，2，3，4.
13．已知关于x的不等式 (a为常数)．
(1)当a＝4时，已知的不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，求b的值；
解：当a＝4时，不等式为
去分母，得3(2x＋4)≥6－2(1－x)，
去括号，得6x＋12≥6－2＋2x，
移项、合并同类项，得4x≥－8，
系数化为1，得x≥－2，
因为已知不等式的解集与不等式bx≤4的解集相同，
所以b＜0， ＝－2，所以b＝－2.
(2)若满足不等式2(x－1)≤3x的解均使已知不等式成立，求a的取值范围；
(3) 若已知不等式有且只有6个负整数解，求a的取值范围．
解：因为已知不等式有且只有6个负整数解，
所以这6个负整数解为－1，－2，－3，－4，－5，－6，
14．【2021·黄冈】2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆) 送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．
(1)共需租________辆大客车；
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甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/(人/辆) 40 55
租金/(元/辆) 500 600
(2)最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
解：设租用x辆甲种型号大客车，则租用(11－x)辆乙种型号大客车，由题意得：40x＋55(11－x)≥549＋11，
解得x≤3.
因为x≥1且为正整数，
所以最多可以租用3辆甲种型号大客车．
解：由(2)可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为1，2，3，
则有三种租车方案：
①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；
②租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；
③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车．
方案①的费用为1×500＋10×600＝6 500(元)；
(3)有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
方案②的费用为2×500＋9×600＝6 400(元)；
方案③的费用为3×500＋ 8×600 ＝6 300(元)．
综上可知，共有3种租车方案．租用3辆甲种型号大客车，
8辆乙种型号大客车最节省钱．
15．【芜湖镜湖区期末】为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1 000元；购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元；
(2)若该商店决定拿出10 000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
解：5种方案分别获利如下：
(400－29×6)×20＋29×30＝5 390(元)；
(400－30×6)×20＋30×30＝5 300(元)；
(400－31×6)×20＋31×30＝5 210(元)；
(400－32×6)×20＋32×30＝5 120(元)；
(400－33×6)×20＋33×30＝5 030(元)．
因为5 030＜5 120＜5 210＜5 300＜5 390，所以销售A种纪念品400－29×6＝226(件)，B种纪念品29件时获利最大，最大利润是5 390元．(共29张PPT)
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7.2 一元一次不等式
第3课时 一元一次不等式的应用
第7章 一元一次不等式与不等式组
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1．某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为( )
A．3×5＋3×0.8x≤27 B．3×5＋3×0.8x≥27
C．3×5＋3×0.8(x－5)≤27 D．3×5＋3×0.8(x－5)≥27
C
2．某种商品进价为80元，标价200元出售，为了扩大销量，商场准备打折促销，但规定其利润率不能少于50%，那么销售这种商品最多可以打的折扣是( )
A．5折 B．6折 C．7折 D．8折
B
3．【中考·重庆】小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
B
4．【2021·淮南期末】甲、乙两队进行篮球对抗赛，比赛规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，甲队至少胜了________场．
7
5．【合肥瑶海区期中】大学生小李自主创业，春节期间购进100只A，B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号 进价/(元/只) 售价/(元/只)
A型 10 12
B型 15 23
要使销售文具所获利润不超过进货总价的40%，求至少要购进多少只A型文具．
解：设购进x只A型文具，根据题意，得(12－10)x＋(23－15)(100－x)≤40%[10x＋15(100－x)]，
解得x≥50.
答：至少要购进50只A型文具．
6．【中考·赤峰】小明同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别
次数 购买A商品数量/件 购买B商品数量/件 消费金额/元
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
(1)第________次购买有折扣；
三
(2)求A，B两种商品的原价；
(3)若购买A，B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
解：设折扣数为z，根据题意得5×30× ＋7×40× ＝258，
解得z＝6.
答：折扣数为6.
(4)小明同学再次购买A，B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
7．【芜湖无为期末】导火线的燃烧速度为0.8 cm/s，爆破员点燃后跑开的速度为5 m/s，为了点火后能够跑到150 m外的安全地带，导火线的长度至少是( )
A．22 cm B．23 cm C．24 cm D．25 cm
C
【点拨】设导火线的长度是x cm，根据题意，得
解得x≥24，故导火线的长度至少是24 cm.
解：设从合肥到灾区x千米，由题意得
解得x≥380.
答：从合肥到灾区至少380千米．
8．【原创题】一辆货车从合肥向灾区运送物资，第一个小时走了80千米，后来道路限速改变，每小时提速20千米，至少需要3个小时才能到达，那么从合肥到灾区至少有多远？
9．【中考·张家界】某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵， 购买两种树苗的总金额为9 000元．
(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵；
解：设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗(2x－40)棵，
由题意可得30x＋20(2x－40)＝9 000，
解得x＝140.
则2x－40＝2×140－40＝240.
答：购买甲、乙两种树苗分别为140棵、240棵．
(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案．
解：设购买甲种树苗y棵，购买乙种树苗(10－y)棵，
根据题意可得30y＋20(10－y)≤230，解得y≤3.
因为y为非负整数，所以y＝3，2，1，0，共有4种购买方案．
方案1：购买甲种树苗3棵，乙种树苗7棵；
方案2：购买甲种树苗2棵，乙种树苗8棵；
方案3：购买甲种树苗1棵，乙种树苗9棵；
方案4：购买甲种树苗0棵，乙种树苗10棵．
10.【2021·合肥期末】随着中国“十四五”规划的推进和国家政策的刺激，新能源板块成为重点发展的领域之一， 某品牌汽车生产厂家生产了一批油电混合动力汽车和纯电动汽车，每辆油电混合动力汽车比纯电动汽车生产成本多1万元，现生产2 000辆油电混合动力汽车与1 600辆纯电动汽车共耗资21 800万元，两款汽车的部分对比参数如下表：
汽车类型 生产成本(万元/辆) 预售价(万元/辆) 补贴(万元/辆)
油电混合
动力汽车 8.8 1.2
纯电动汽车 6.6 1.5
(1)每辆油电混合动力汽车的生产成本是多少万元？
解：设每辆油电混合动力汽车的生产成本是x万元，
则每辆纯电动汽车生产成本是(x－1)万元．
由题意可知：2 000x＋1 600(x－1)＝21 800，解得x＝6.5.
答：每辆油电混合动力汽车的生产成本是6.5万元．
(2)为扶持新能源汽车发展，消费者可享受新能源汽车的政府补贴，某上市公司准备用120万资金采购该品牌的新能源汽车共20辆，且油电混合动力汽车不少于5辆，该公司有几种购买方案？请为公司选择一种满足要求的最省钱的方案．
解：设该公司采购油电混合动力汽车a辆，则采购纯电动汽车(20－a)辆．由题意可知：(8.8－1.2)a＋(6.6－1.5)(20－a)≤120.
解得a≤7.2.
因为油电混合动力汽车不少于5辆，所以5≤a≤7.2，
所以共有三种购买方案：
购买油电混合动力汽车5辆，纯电动汽车15辆，花费(8.8－1.2)×5＋(6.6－1.5)×15＝114.5(万元)；
购买油电混合动力汽车6辆，纯电动汽车14辆，花费(8.8－1.2)×6＋(6.6－1.5)×14＝117(万元)；
购买油电混合动力汽车7辆，纯电动汽车13辆，花费(8.8－1.2)×7＋(6.6－1.5)×13＝119.5(万元)．
综上可知，共有三种购买方案，购买油电混合动力汽车5辆，纯电动汽车15辆最省钱．
11．【合肥庐江期末】浠水县商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1 200元
第二周 5台 6台 1 900元
(进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若商场准备用不多于7 500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台；
解：设A种型号电风扇采购a台，则160a＋120(50－a)≤7 500，
解得a≤
答：A种型号的电风扇最多能采购37台．
(3)在(2)的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1 850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
解：能．
依题意，得(200－160)a＋(150－120)(50－a)>1 850，
解得a>35，则35因为a是正整数，所以a为36，37，相应的50－a为14，13.
方案一：采购A种型号电风扇36台，B种型号电风扇14台；
方案二：采购A种型号电风扇37台，B种型号电风扇13台．(共26张PPT)
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7.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及解不含分母的不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
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核心必知
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21
见习题
求不等式解集的过程叫做解不等式．利用不等式的基本性质解一元一次不等式，就是将不等式变形成ax＞b(或ax＜b)的形式，在系数a化为1时，注意系数a的符号，若a＜0，则不等号的方向发生________．
改变
1．下列式子：
①－2<0；②3x－5＞0；③x2－x＞1；④x＞1；
⑤ －2＞0；⑥x＋2＞y＋1.
其中一元一次不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
2．【2021·铜陵期末】若(m－1)x|m|＋3＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝________．
－1
3．【中考·桂林】下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
D
4．下列不等式中解集是x≥5的是( )
A．x＋5≥0 B．x－5≥0
C．x－5≤0 D．5x－2≤－9
B
5．【中考·白银】不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是( )
A．x≤3 B．x≤－3
C．x≥3 D．x≥－3
A
6．【合肥蜀山区期末】不等式x＋1>2x－3的最大整数解为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
7．【六安汇文中学期中】不等式(m2＋1)x>－3的解集是( )
A
8．已知m>6，则关于x的不等式(6－m)xx>－1
9．解不等式：
(1)－3x＋2≤8；
解：移项，得－3x≤6，系数化为1，得x≥－2.
(2)－3x－4≥6x＋2；
(3)－8x－6≥4(2－x)＋3.
移项、合并同类项，得－9x≥6，系数化为1，得x≤－
去括号，得－8x－6≥8－4x＋3，移项、合并同类项，得－4x≥17，系数化为1，得x≤－
10．【2021·金华】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是( )
A．x＋2＞0 B．x－2＜0
C．2x≥4 D．2－x＜0
B
11．【中考·大连】不等式5x＋1≥3x－1的解集在数轴上表示正确的是( )
B
12．将下列不等式的解集在数轴上表示：
(1)x≤－2； (2)x≥0.
解：如图所示．
如图所示．
13．若a≠0，a，b互为相反数，则不等式ax＋b＜0的解集为( )
A．x＞1 B．x＜1
C．x＜1或x＞1 D．x＜－1或x＞－1
C
14.【创新题】【2021·包头】定义新运算“ ”，规定：a b＝a－2b.若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞－1，则m的值是( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
B
15．【易错题】已知关于x的不等式x－m＋1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( )
A．2≤m<3 B．2C．2≤m≤3 D．2【点拨】解不等式x－m＋1>0，得x>m－1，因为不等式的最小整数解为2，所以1≤m－1<2，解得2≤m<3，故选A.
A
16．如果关于x的方程3(x－m＋2)＝3m＋2x的解是非负数，则m的取值范围是______________．
m≥1
17．【淮北期中】 我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有 ＝ad－bc.若正整数x满足 ≥－18，则满足条件的x的值为________．
1，2
18．【2021·南京】解不等式1＋2(x－1)≤3，并在数轴上表示解集．
解：去括号，得1＋2x－2≤3，
移项，得2x≤3－1＋2，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2.
解集在数轴上表示如图所示．
19．解不等式3－4(2x－3)≥3(3－2x)，并写出不等式的正整数解．
解：去括号，得3－8x＋12≥9－6x，
移项，得－8x＋6x≥9－3－12，
合并同类项，得－2x≥－6，
系数化为1，得x≤3.
所以不等式的正整数解为1，2，3.
解：解不等式x＋a≥2(x＋2)，得x≤a－4.
由题图知它的解集为x≤－3，
所以a－4＝－3，
所以a＝1.把a＝1代入不等式ax＋5＞3a，得x＋5＞3，
所以x＞－2.
20．不等式x＋a≥2(x＋2)的解集在数轴上表示如图所示，求不等式ax＋5＞3a的解集．
21．【合肥包河区期末】如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，－2x＋3.
(1)求x的取值范围；
解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得－2x＋3>1，解得x<1.
解：由x<1，得－x>－1，
所以－x＋2>－1＋2，即－x＋2>1，所以数轴上表示数－x＋2的点在A点的右边；－2x＋3－(－x＋2)＝－x＋1，由－x>－1，
得－x＋1>0，所以－2x＋3－(－x＋2)>0，所以－2x＋3>－x＋2，
所以数轴上表示数－x＋2的点在B点的左边．综上，数轴上表示数－x＋2的点落在点A，B之间．
(2)试判断数轴上表示数－x＋2的点落在点A，B的什么位置．(共28张PPT)
沪科版 七年级下
7.3 一元一次不等式组
第7章 一元一次不等式与不等式组
1
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核心必知
1
2
3
4
D
A
5
D
1，2
A
同一个；公共部分；重叠
6
7
8
9
－4＜x＜－3
见习题
见习题
10
D
11
12
13
14
见习题
x＝0.5或x＝1
答案显示
15
15
16
见习题
见习题
C
17
见习题
D
由几个含有________未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．这几个一元一次不等式解集的____________，叫做这个一元一次不等式组的解集，在数轴上表示就是各个不等式的解集在数轴上的________部分．
同一个
公共部分
重叠
1．下列属于一元一次不等式组的是( )
D
2．【2021·湘潭】不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
D
3．【中考·山西】不等式组 的解集是( )
A．x＞4 B．x＞－1
C．－1＜x＜4 D．x<－1
A
4．关于x，y的方程组 的解满足 x>y>0，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m>－3
C．－32
【答案】A
5．【合肥包河区期末】不等式组 的正整数解为________．
1，2
由①，得x<3，由②，得x<4，
故不等式组的解集为x<3，
故原不等式组的正整数解为x＝1，2.
由①，得x＞－4，由②，得x＜－3，
故不等式组的解集为－4＜x＜－3.
－4＜x＜－3
7．【中考·常州】解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
解：解不等式x＋1＞0，得x＞－1，
解不等式3x－8≤－x，得x≤2，
所以不等式组的解集为－1＜x≤2，
解集在数轴上表示如图所示．
8．【安庆怀宁期末】不等式组 的解集为x<2，则k的取值范围为( )
A．k>1 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
C
D
10．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x的取值范围为( )
D
11．【中考·宜宾】不等式组1< x－2≤2的所有整数解的和为________．
15
12．若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[－2.82]＝－3等．[x]＋1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式组[x]≤x＜[x]＋1.利用这个不等式组，求出满足[x]＝2x－1的所有解，其所有解为________________．
【点拨】因为对任意的实数x都满足不等式组[x]≤x＜[x]＋1，且[x]＝2x－1，
所以2x－1≤x＜2x－1＋1，
解得0＜x≤1，
因为2x－1是整数，
所以x＝0.5或x＝1.
【答案】x＝0.5或x＝1
13．【2021·呼和浩特】解不等式组： 在数轴上表示解集并列举出正整数解．
解：解不等式2x＋1解不等式 ，得x＞－2，
所以不等式组的解集为－2将解集表示在数轴上如图所示．
故正整数解为1，2，3，4.
14.【创新题】【2021·安徽模拟节选】已知，点A，B在数轴上表示的数如图所示，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧．求x的取值范围．
解：由题意知，点A表示的数为负数，点B表示的数为正数，则有
解得－315．若关于x，y的二元一次方程组 中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围．
①＋②，得2x＝4m－2，解得x＝2m－1.
②－①，得2y＝2m＋8，解得y＝m＋4.
因为x的值为负数，y的值为正数，
16．【滁州全椒期中】解不等式|x－2|≤1时，我们可以采用下面的解法：
①当x－2≥0时，|x－2|＝x－2，
所以原不等式可以化为x－2≤1，
可得不等式组
解得2≤x≤3；
②当x－2<0时，|x－2|＝2－x，
所以原不等式可以化为2－x≤1，
可得不等式组
解得1≤x<2.
综上可得原不等式的解集为1≤x≤3.
请你仿照上面的解法，尝试解不等式：|x－1|≤2.
解：根据“同号两数相除，商为正”及“0除以任何一个不
为0的数都得0”，可得①
解①得x≥3；解②得x＜－2.
所以原不等式的解集为x≥3或x＜－2.(共29张PPT)
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7.2 一元一次不等式
第2课时 解含分母的一元一次不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
1
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核心必知
1
2
3
4
C
C
5
D
k≥－3
D
去分母
6
7
8
9
见习题
见习题
≤－16
10
a≤9
11
12
13
14
C
B
答案显示
A
15
16
见习题
见习题
B
17
见习题
18
见习题
19
见习题
C
解含分母的一元一次不等式，要依据不等式的基本性质，将不等式逐步化为x＜a(或x≤a)或x＞a(或x≥a)的形式．一般步骤：①__________；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
去分母
1．将不等式 ＞1去分母，不等式左右两边同时乘以的最小正整数是( )
A．5 B．6 C．12 D．30
D
2．将不等式 ＞1去分母，得( )
A．3(x－1)－2(4x＋1)＞1
B．3(x－1)＋(4x＋1)＞6
C．3(x－1)－(4x＋1)＞6
D．3(x－1)－(4x－1)＞12
C
3．解不等式 ，出现错误的一步是( )
①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1)；
②去括号，得5x＋10＞6x－3；
③移项，得5x－6x＞－10－3；
④系数化为1，得x＞13.
A．① B．② C．③ D．④
D
4．【合肥包河区期末】不等式 的解集是( )
A．x<－1 B．x>2
C．x>－1 D．x<2
C
5．【易错题】关于x的方程4x－3＝k＋x的解是非负数，则k的取值范围是____________．
k≥－3
6．解不等式 ≤5－x，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
解：去分母，得x－1≤3(5－x)，
去括号，得x－1≤15－3x，
移项、合并同类项，得4x≤16，
系数化为1，得x≤4.
解集在数轴上表示如图．
7．【2021·山西节选】下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：2(2x－1)＞3(3x－2)－6第一步
4x－2＞9x－6－6第二步
4x－9x＞－6－6＋2第三步
－5x＞－10第四步
x＞2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据___________(运算律)进行变形的；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________________________________；
乘法分配律
五
不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
x<2.
8．不等式 ＜1的正整数解有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．5个
B
9．使不等式 成立的最小整数是( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
C
10．若不等式3x－a<－6无正整数解，则a的取值范围为________．
a≤9
A
12．关于x的不等式x－3＞ 的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是( )
A．－6 B．－12 C．6 D．12
B
13．已知关于x的不等式 ＞1的解都是不等式 ＞0的解，则a的取值范围是( )
A．a＝5 B．a≥5
C．a≤5 D．a＜5
【答案】C
14．当x________时，代数式 －2的值不小于 ＋2的值．
≤－16
15.解不等式 ，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的最大整数解．
解：去分母、去括号，得3x＋3－6＜6x－4x－6，
移项、合并同类项，得x＜－3，
解集在数轴上的表示如图所示．
不等式的最大整数解为－4.
16．【2021·乐山】当x取何正整数时，代数式 的值的差大于1.
解：由题意知
去分母，得3(x＋3)－2(2x－1)>6，
去括号，得3x＋9－4x＋2>6，
移项、合并同类项，得－x>－5，
系数化为1，得x<5.
因为x为正整数，所以当x为1，2，3，4时，代数式 的值的差大于1.
(1)若x 4＝0，则x＝________；
(2)求不等式(x 2)＞[2 (x＋3)]的最小负整数解．
18．【中考·呼和浩特】已知关于x的不等式
(1)当m＝1时，求该不等式的解集；
解：当m＝1时，不等式化为
去分母，得2－x>x－2，
移项、合并同类项，得－2x>－4.
系数化为1，得x<2.
(2)m取何值时，该不等式有解？并求出解集．
解：因为
去分母，得2m－mx>x－2，
移项、合并同类项，得－mx－x＞－2－2m，
即(m＋1)x<2m＋2.
所以当m＋1≠0，即m≠－1时，该不等式有解．
此时，若m＋1>0，则x<2；
若m＋1<0时，则x>2.
x>3
x>3
x>3
因为n＞0, 所以去分母，得nx＞3n－3(x－3), 去括号，得nx＞3n－3x＋9, 移项、合并同类项，得(n＋3)x＞3(n＋3), 系数化为1，得x＞3.
(2)请把上面的规律表述出来，并说明理由．(共25张PPT)
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7.1 不等式及其基本性质
第1课时 不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
1
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答案显示
核心必知
1
2
3
4
①②⑤⑥
B
5
B
x≤40
D
≥；≤
6
7
8
9
<
A
10
C
11
12
13
14
30～60 mg
5＋3x＞240
答案显示
10n≤m
15
16
见习题
见习题
C
17
见习题
D
列不等式解决实际问题时，要注意抓住问题中的一些关键语句，如“至少”“不低于”“不小于”用“________”表示，“不超过”“至多”“不高于”用“________”表示等，列不等式时，要根据关键词选择不等号．
≥
≤
1．在下列式子中，不属于不等式的是( )
A．2x＜1 B．x＝3
C．4x＋5＞0 D．x≠－2
B
2．下列式子：
①－3<0，②4x＋3y>0，③x＝4，④x2－y＋1，⑤x≠5，⑥x－3其中是不等式的为____________．(填序号)
①②⑤⑥
3．若m是非负数，则用不等式表示正确的是( )
A．m＜0 B．m＞0
C．m≤0 D．m≥0
D
4．用不等式表示“x的2倍与5的差是负数”正确的是( )
A．2x－5＞0 B．2x－5＜0
C．2x－5≠0 D．2x－5≤0
B
5．【2021·合肥期中】请根据如图所示的信息，写出一个关于温度x℃的不等式____________．
洗涤说明
手洗，勿浸泡，水温不超过40℃
x≤40
<
6．如图，x g和5 g分别是天平上两边砝码A，B的质量，则x________5(填“>”或“<”)．
7．【创新题】【2021·芜湖期末】学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
A
8．慧慧在水果摊上称了6千克苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”设苹果的实际质量为x千克，用不等式把“高高的”的意思表示出来是( )
A．x≤6 B．x≥6
C．x＞6 D．x＜6
C
9．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足 ( )
A．x<8 B．x>8
C．x<－8或x>8 D．－8D
10．下列说法：①a是非负数，则a≥0; ②“a2 减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③ “x的倒数超过10”可表示为>10 ；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2>0，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】非负数是大于等于零的实数，即a≥0.故①正确；“a2减去10不大于2”可表示为a2－10≤2.故②错误；“x的倒数超过10”就是“x的倒数大于10”，可表示为 ＞10.故③正确；“a，b两数的平方和为正数”，即“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2＋b2＞0.故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C.
【答案】C
11．【原创题】某企业要为员工采办一次性餐盒，假设每个员工每天需要2个一次性餐盒，若该企业一周(按5个工作日计算)需要采办m个一次性餐盒，而该企业共有n个员工，则可列不等式为 ________________．
10n≤m
12．通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增长3 cm.假设这棵数生长x年其树围才能超过2.4 m．列满足x的不等关系：________________．
5＋3x＞240
13．一种药品的说明书上写着：“每日用量120～180 mg，分3～4次服完”，则一次服用这种药的剂量范围为__________________．
30～60 mg
14．如图是两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个长方形．从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为________________．
15.用不等式表示下列语句：
(1)x的 与4的和不小于0；
(2)2m－7n是非正数；
2m－7n≤0.
(3)3a与8的差不小于－2；
(4)x的5倍小于x与4的差．
解：3a－8≥－2.
5x＜x－4.
16．某种商品按成本价x元提高20%标价，又以9折销售，则此时售价仍不低于270元，请你写出这种商品的成本价应满足的不等式．(不必化简求解)
解：(1＋20%)x×90%≥270.
17. 阅读下面材料并完成填空．
你能比较2 0222 023和2 0232 022的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n≥1且n为整数)，然后从分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①～⑦各组两个数的大小(在横线处填上“＞”“＝”或“＜”)．
①12________21；②23________32;
③34________43；④45________54;
⑤56________65；⑥67________76;
⑦78________87；….
＜
＜
＞
＞
＞
＞
＞
(2)经过归纳(1)中的结果，请你猜想nn＋1与(n＋1)n的大小关系．
(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2 0222 023 ________2 0232 022(填“＞”“＝”或“＜”)．
解：由(1)可知，当n＝1，2时，nn＋1＜(n＋1)n；
当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n.
＞(共11张PPT)
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专题技能训练(三)
1.一元一次不等式的综合应用
第7章 一元一次不等式与不等式组
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1
2
3
见习题
见习题
见习题
1．【2021·长沙】为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分， 答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
解：设该参赛同学一共答对了x道题，则该参赛同学一共答错了(25－1－x)道题，由题意得：4x－(25－1－x)＝86，解得x＝22.
答：该参赛同学一共答对了22道题．
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
解：设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了(25－y)道题，由题意得：4y－(25－y)≥90，解得y≥23.
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
2．某学校为了加强训练学生的篮球和足球运球技能，准备购买一批篮球和足球用于训练，已知1个篮球和2个足球共需116元；2个篮球和3个足球共需204元．
(1)求购买一个篮球和一个足球各需多少元；
(2)若学校准备购买篮球和足球共40个，并且总费用不超过1 800元，则篮球最多可购买多少个？
解：设购买篮球m个，则购买足球(40－m)个，
依题意得60m＋28(40－m)≤1 800，
解得m≤21 ，因为m为正整数，所以m最多＝21.
答：篮球最多可购买21个．
3．【中考·济宁】某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱，5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1 350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3 000元．若运输物资不少于1 500箱，且总费用小于54 000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5 000×6＋3 000×6＝48 000(元)，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5 000×7＋3 000×5＝50 000(元)，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5 000×8＋3 000×4＝52 000(元)．
因为48 000＜50 000＜52 000，所以当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最少，最少费用为48 000元．(共25张PPT)
沪科版 七年级下
7.1 不等式及其基本性质
第1课时 不等式
第7章 一元一次不等式与不等式组
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核心必知
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不等式的基本性质：
性质1 如果a＞b，那么a＋c________b＋c，a－c________b－c.
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac________bc，
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，
性质4 如果a＞b，那么b________a.
性质5 如果a＞b，b＞c，那么a________c.
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1．若a＜b，则下列结论一定正确的是( )
A．a＋2＜b＋1 B．a＋1＜b
C．a＋2＜b＋2 D．a＞b＋2
C
2．【易错题】下列说法不一定成立的是( )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＋c＞b＋c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
C
A．2m＞2n B．m＋2＞n＋2
C．0.25n＞ m D．m＞n
C
4．若x＜y，比较3x－7与3y－7的大小，并说明理由．
解：3x－7＜3y－7.理由如下：
根据不等式的基本性质2，在不等式x＜y的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3x＜3y，
根据不等式的基本性质1，在不等式的两边同时减去7，不等式仍成立，即3x－7＜3y－7.
5. 【2021·常德】若a＞b，下列不等式不一定成立的是( )
A．a－5＞b－5 B．－5a＜－5b
C. D．a＋c＞b＋c
C
6．【合肥庐阳区期中】若x(a＋5)y，则a的取值范围为( )
A．a>－5 B．a≥－5
C．a<－5 D．a<5
C
7．若x>y，则下列不等式成立的是( )
A．a2x>a2y B．(a2＋1)x<(a2＋1)y
C. D.
D
8．如图，表示A，B，C三人体重的大小关系正确的是( )
A．B＞A B．A＞C
C．B＞C D．C＞B
D
9．若2x＞y，则y______2x(填“＞”或“＜”)．
＜
10．若x＞y，y＞z，则x，y，z之间的大小关系为__________．
x＞y＞z
11. 【合肥蜀山区期中】若m>n，则下列不等式一定成立的是( )
A. <1 B. >1
C．－m>－n D．m－n>0
D
12. 【易错题】如果a，b表示两个负数，且a>b，则( )
B
13．根据不等式的基本性质，下列变形正确的是( )
A．由a>b得ac2>bc2 B．由ac2>bc2得a>b
C．由－ a>2得a<2 D．由2x＋1>x得x>1
B
14．【中考·湖北】点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的实数分别是a，b，下列结论错误的是( )
A．|b|<2<|a| B．1－2a>1－2b
C．－aC
15．如果a＞b，那么a(a－b)______b(a－b)(填“＞”或“＜”)．
＞
16.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)x－3＜3； (2)5x＞x－4；
解：(1)根据不等式的基本性质1，两边同时加上3，得x－3＋3＜3＋3，即x＜6.
(2)根据不等式的基本性质1，两边同时减去x，得5x－x＞x－x－4，即4x＞－4，
根据不等式的基本性质2，两边同时除以4，得x＞－1.
(4)－3x＋4＜－2.
根据不等式的基本性质1，两边同时减去4，得－3x＋4－4＜－2－4，即－3x＜－6.
根据不等式的基本性质3，两边同时除以－3，得x＞2.
解：根据不等式的基本性质2，两边同时乘以5，得 x·5＞－2.4×5，即x＞－12.
17．已知x>y，请比较下列各组的大小．
因为x>y，所以－2x<－2y，所以3－2x<3－2y.
(2)3－2x与3－2y.
18．已知关于x的不等式(1－a)x＞2两边都除以1－a，得x＜ ，试化简：|a－1|＋|a＋2|.
解：由题意得1－a＜0，即a＞1，
则|a－1|＋|a＋2|＝a－1＋a＋2＝2a＋1.
19．阅读下面的材料，并解答问题．
判断a2－3a＋7与－3a＋2的大小．
分析：要判断两个数的大小，我们往往用作差法，即若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.
因为(a2－3a＋7)－(－3a＋2)＝a2－3a＋7＋3a－2＝a2＋5，且a2≥0，
所以a2＋5＞0，即a2－3a＋7＞－3a＋2.