(共16张PPT)
沪科版 七年级下
8.2 整式乘法
第3课时 单项式与多项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
D
5
B
(1) x3y＋2x2y2 (2)五
相加
4a＋c；12a2＋3ac
6
7
8
9
B
见习题
见习题
10
见习题
11
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见习题
B
单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积________．
相加
1．【中考·柳州】计算：x(x2－1)＝( )
A．x3－1 B．x3－x
C．x3＋x D．x2－x
B
2．【2021·安徽模拟】某同学在计算－3x2乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是x2－x＋1，由此可以推断正确的计算结果是( )
A．4x2－x＋1 B．x2－x＋1
C．－12x4＋3x3－3x2 D．无法确定
C
3．(1)计算： x2y(2x＋4y)＝____________.
(2)5m2n(2n＋3m－n2)的计算结果是________次多项式．
x3y＋2x2y2
五
4．一个长方体的长、宽、高分别为3x－4，2x和x，则它的体积等于( )
A．3x3－4x2 B．x2
C．x3－8x2 D．6x3－8x2
D
5．如图是一个长方形场地，长为__________，宽为3a，则该场地的面积为__________．
4a＋c
12a2＋3ac
6．计算：
(1)(a＋b2－c2)·(－2a2)；
解：(a＋b2－c2)·(－2a2)＝－2a3－2a2b2＋2a2c2.
(2)x(x2－x)＋2x2(x－1)．
x(x2－x)＋2x2(x－1)＝x3－x2＋2x3－2x2＝3x3－3x2.
7．【易错题】已知(－2x)2·(3x2－ax－6)－3x3＋x2中不含x的三次项，试确定a的值．
解：原式＝4x2·(3x2－ax－6)－3x3＋x2
＝12x4－4ax3－24x2－3x3＋x2
＝12x4＋(－4a－3)x3－23x2，
因为多项式中不含x的三次项，
所以－4a－3＝0，即a＝－
8．【2021·芜湖期中】a2(－a＋b－c)与a(a2－ab＋ac)的关系是( )
A．相等
B．互为相反数
C．前式是后式的－a倍
D．以上结论都不对
B
9．现规定一种运算：a※b＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则a※b＋(b－a)※b等于( )
A．a2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a
B
11．小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是－8x3y3及中间的“÷”号，污染后习题形式如下：(－8x3y3■) ÷■，小明翻看了书后的答案是“4x2y2－3xy＋6x”，你能复原这个算式吗？请你试一试．(多项式均按y的降幂排列)
解：能．
因为－8x3y3对应的结果为4x2y2，
所以除式为－8x3y3÷4x2y2＝－2xy，
则(4x2y2－3xy＋6x)(－2xy)＝－8x3y3＋6x2y2－12x2y，
则原算式是(－8x3y3＋6x2y2－12x2y)÷(－2xy)．(共14张PPT)
沪科版 七年级下
专题技能训练(五)
2.整式运算的四种常见题型
第8章 整式乘法与因式分解
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
5
B
见习题
6
7
见习题
120
1．【2021·铜陵模拟】下列计算正确的是( )
A．(－a3)4＝a7 B．(－a)3·(－a)4＝－a7
C．a3＋a4＝a7 D．(－a)7÷(－a)4＝a3
B
2.计算：(a－b)3÷(b－a)2＋(－a－b)5÷(a＋b)4.
解：原式＝(a－b)3÷(a－b)2－(a＋b)5÷(a＋b)4
＝(a－b)－(a＋b)
＝－2b.
3．【2021·衡阳】计算：(x＋2y)2＋(x－2y)(x＋2y)＋x(x－4y)．
解：(x＋2y)2＋(x－2y)(x＋2y)＋x(x－4y)
＝x2＋4xy＋4y2＋x2－4y2＋x2－4xy
＝3x2.
4．设b＝ma(a≠0)，是否存在实数m，使得(2a－b)2－(a－2b)(a＋2b)＋4a(a＋b)能化简为12a2？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
解：存在．
(2a－b)2－(a－2b)(a＋2b)＋4a(a＋b)
＝4a2－4ab＋b2－a2＋4b2＋4a2＋4ab
＝7a2＋5b2.
因为b＝ma(a≠0)，
所以原式＝7a2＋5(ma)2＝7a2＋5m2 a2 ＝(7＋5m2 )a2 .
若(2a－b)2－(a－2b)(a＋2b)＋4a(a＋b)＝12a2，
则7＋5m2 ＝12，
所以m＝±1.
5．【中考·菏泽】已知4x＝3y，求式子(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．
解：(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2
＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2
＝－4xy＋3y2.
因为4x＝3y，
所以原式＝－3y2＋3y2＝0.
6．如图，图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪开，分成四个一样的小长方形，然后拼成如图②的正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；
解：方法一：阴影部分是边长为(a－b)的正方形，故面积为(a－b)(a－b)＝(a－b)2；
方法二：阴影部分面积＝边长为(a＋b)的正方形面积－长为a、宽为b的4个小长方形面积，故面积为(a＋b)2－4ab.
(2)观察图②，写出代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系；
解：(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：若m＋n＝8，mn＝12，求m－n的值．
解：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2，
所以(m＋n)2－4mn＝(m－n)2，
所以(m－n)2＝82－4×12＝16，
故m－n＝4或－4.
7．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算(a＋b)10的展开式中的第四项的系数为________．
【点拨】将“杨辉三角”继续画下去，如图所示，故(a＋b)10的展开式中第四项的系数为120.
120(共16张PPT)
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8.2 整式乘法
第4课时 多项式除以单项式
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
B
5
C
A
相加
D
6
7
8
9
D
见习题
B
10
见习题
11
答案显示
x－1
8a－4b＋2
多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商________．
相加
1．计算(6x3－2x)÷(－2x)的结果是( )
A．－3x2 B．－3x2－1
C．－3x2＋1 D．3x2－1
C
2．下列计算中不正确的有( )
①(6ab＋5a)÷a＝6b＋5；
②(8x2y－4xy2)÷(－4xy)＝－2x－y；
③(15x2yz－10xy2)÷5xy＝3x－2y；
④(3x2y－3xy2＋x)÷x＝3xy－3y2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3．已知7x3y2与一个多项式的积是28x4y2＋7x4y3－21x3y2，则这个多项式是( )
A．4x＋xy－3 B．－4x－2xy＋3
C．4x－2xy－6 D．4x＋2xy－3
A
4．如果(3x2y－2xy2)÷m＝－3x＋2y，那么单项式m为( )
A．xy B．－xy C．x D．－y
B
5．【淮北期末】已知一个三角形的面积为3x2－6xy＋9x，其中一条边上的高是6x，则这条边的长是( )
A．－x－2y＋3 B．－2x－y－3
C．－x＋2y－3 D．x－2y＋3
D
6．当a＝ 时，式子(28a3－28a2＋7a)÷7a的值是( )
A．6.25 B．0.25 C．－2.25 D．－4
B
7．计算：
(1)(－2x2y＋6x3y4－2xy)÷(－2xy)；
解：原式＝－2x2y÷(－2xy)＋6x3y4÷(－2xy)－2xy÷(－2xy)
＝x－3x2y3＋1.
8．已知A＝2x，B是多项式，在计算B÷A时，小强同学把B÷A误看成了B＋A，结果得到2x2－x，则B÷A的正确结果是( )
A．2x2＋x B．2x2－3x
C．x＋ D．x－
D
【点拨】因为B＋A＝2x2－x，A＝2x，
所以B＝2x2－x－2x＝2x2－3x，
所以B÷A＝(2x2－3x)÷2x＝x－
9．【宿州埇桥区期中】一个长方形的面积是3a2－6ab＋3a，一边长为3a，则它的周长是____________．
8a－4b＋2
10．莜莜不小心将墨水滴到了练习册上，刚好把数学题(9x5y2－2x3y)■xy的运算符号遮住了．
(1)若被墨水遮住的运算符号为乘号，求该数学题的计算结果；
解：(9x5y2－2x3y)·xy ＝9x6 y3－2x4y2.
(2)若该数学题的结果为9x4 y－2x2，求被墨水遮住的运算符号．
解：因为(9x5 y2－2x3 y)÷xy ＝9x4 y－2x2，
所以被墨水遮住的运算符号为÷.
11．已知多项式3x3－3x2＋x＋1减去多项式x＋1后，除以整式A的商为3x2，则整式A为________．
x－1(共16张PPT)
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8.1 幂的运算
第6课时 科学记数法
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
B
D
5
D
C
正整数
C
6
7
8
9
－0.003 816
C
D
10
5×10－8 m
11
12
105∶1
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见习题
C
用科学记数法表示绝对值较小的数：绝对值小于1的数可记成±a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是________，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)．
正整数
1．【中考·河北】把0.081 3写成a×10n(1≤a＜10，n为整数)的形式，则a为( )
A．1 B．－2 C．0.813 D．8.13
D
2．【中考·镇江】0.000 182用科学记数法表示应为( )
A．0.182×10－5 B．1.82×10－4
C．1.82×10－5 D．18.2×10－4
B
3．下列用科学记数法表示的数正确的是( )
A．10 500＝1.05×103
B．－6 500＝6.5×103
C．－0.026＝－2.6×10－2
D．0.003 07＝3.07×10－4
C
4．【淮北期中】肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 000 7 m，数据0.000 000 7用科学记数法可表示为( )
A．0.7×10－6 B．0.7×10－7
C．7×10－6 D．7×10－7
D
5．【安庆期末】石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000 000 000 34 m，数据0.000 000 000 34用科学记数法表示正确的是( )
A．3.4×10－9 B．0.34×10－9
C．3.4×10－10 D．3.4×10－11
C
6．【2021·桂林】细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.000 002 5米，用科学记数法表示这种细菌的直径是( )
A．25×10－5米 B．25×10－6米
C．2.5×10－5米 D．2.5×10－6米
D
7．【中考·德阳】把实数6.12×10－3用小数表示为( )
A．0.061 2 B．6 120
C．0.006 12 D．612 000
C
8．用小数表示数－3.816×10－3为________________．
－0.003 816
9．【2021·聊城改编】已知一种分子的直径约为3.85×10－9米，某花粉的直径约为5×10－4米，用科学记数法表示这种分子的直径是这种花粉直径的( )
A．0.77×10－5倍 B．77×10－4倍
C．7.7×10－6倍 D．7.7×10－5倍
C
10．【合肥瑶海区期末】水分子的直径约为4×10－10m，125个水分子一个一个地排列起来的长度为________________．
5×10－8 m
11．已知22＝4，0.22＝0.04，0.022＝0.000 4，….
(1)猜想：0.000 22＝________________，用科学记数法表示为____________；
(2)发现规律：如果一个小数的小数点后有n个数字，那么这个小数的平方的小数点后有几个数字？
0.000 000 04
4×10－8
解：有2n个数字．
12．【教材改编题】若将棱长为1 cm的正方体切割成2×2×2个棱长相等的小正方体，各小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为2∶1；若切割成5×5×5个棱长相等的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为5∶1；若切割成105×105×105个棱长相等的小正方体，则各个小正方体的表面积之和与原正方体的表面积之比为________．
105∶1(共25张PPT)
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8.4 因式分解
第1课时 因式分解和提公因式法
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
A
D
5
B
B
D
互逆的
2
最大公因数
6
7
8
9
C
C
(a＋1)100
10
见习题
11
12
13
14
(x－2)(x－1)
B
答案显示
A
15
16
见习题
见习题
B
17
见习题
18
见习题
①④⑤
1．因式分解与整式乘法是________________．
2．提公因式的步骤：一提系数(各项系数的____________)；二提字母(所有项都含有的字母或整式的最低次幂的积)．
互逆的
最大公因数
1．【合肥蜀山区期末】下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A．2a2－2a＋1＝2a(a－1)＋1
B．a2＋4a＋4＝(a＋2)2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．a2＋1＝a
B
2．因式分解结果为(x－1)2的多项式是( )
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．x2－1 D．x2＋1
A
3．多项式－6xyz＋3xy2－9x2y中各项的公因式是( )
A．－3x B．3xz
C．3yz D．－3xy
D
4．下列各组多项式中，没有公因式的是( )
A．ax－bx和by－ay
B．3x－9xy和6y2－2y
C．x2－y2和x－y
D．a＋b和a2－2ab＋b2
D
5．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A．x2－y B．x2＋2x
C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
B
6．多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( )
A．x4 B．1＋x3 C．1＋x4 D．x3－1
C
7．把2x(－x＋y)2－(x－y)3分解因式时，应提取的公因式是( )
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2 D．以上都不对
C
8．把(x－a)3－(a－x)2分解因式的结果为( )
A．(x－a)2(x－a＋1) B．(x－a)2(x－a－1)
C．(x－a)2(x＋a) D．(a－x)2(x＋a＋1)
B
9．下列变形正确的是__________(填序号)．
①a－b＝－(b－a)；
②a＋b＝－(a＋b)；
③(b－a)2＝－(a－b)2；
④(a－b)2＝(b－a)2；
⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
①④⑤
10．【原创题】计算：(－2)2 022＋(－2)2 021.
解：(－2)2 022＋(－2)2 021
＝(－2)2 021×(－2＋1)
＝(－2)2 021×(－1)
＝(－22 021)×(－1)
＝22 021 .
11．【2021·亳州期末改编】若m3－3mn＝A(m2－3n)，则代数式A为( )
A．m B．mn
C．mn2 D．m2n
A
12．如图，相邻两边长分别为a，b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b＋ab2的值为( )
A．240 B．120
C．32 D．30
【点拨】根据题意知2(a＋b)＝16，ab＝15，则a＋b＝8.
所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝15×8＝120.
B
13．【2021·合肥期末】分解因式：x(x－2)－x＋2__________．
(x－2)(x－1)
14．【创新题】【2021·安徽模拟】化简：a＋1＋a(a＋1)＋a(a＋1)2＋…＋a(a＋1)99＝__________．
(a＋1)100
15．用提公因式法分解因式：
(1)6m2n－15mn2＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)．
(2)－4x3＋16x2－26x；
原式＝－2x(2x2－8x＋13)．
(3)2x(a－b)＋4y(b－a)．
原式＝2(a－b)(x－2y)．
16.用提公因式法进行简便计算：
(1)30.14×950＋30.14×50；
(2)3.14×31＋27×3.14＋42×3.14.
解：原式＝30.14×(950＋50)＝30.14×1 000＝30 140.
原式＝3.14×(31＋27＋42)＝3.14×100＝314.
17．(1)若x2＋2x＝1，求1－2x2－4x的值；
解：因为x2＋2x＝1，
所以1－2x2－4x＝1－2(x2＋2x)＝1－2×1＝－1.
(2)已知a＋b＝－6，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
a2b＋ab2－a－b＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)(ab－1)．
当a＋b＝－6，ab＝7时，原式＝－6×(7－1)＝－36.
18．因为x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，这说明多项式x2＋2x－3有一个因式为x－1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2＋2x－3的值为0.
利用上述材料求解：
(1)若x－3是多项式x2＋kx＋12的一个因式，求k的值；
解：因为x－3是多项式x2＋kx＋12的一个因式，
所以当x＝3时，x2＋kx＋12＝0，
所以9＋3k＋12＝0，
所以3k＝－21，
所以k＝－7，
所以k的值为－7.
(2)若x－3和x－4是多项式x3＋mx2＋12x＋n的两个因式，试求m，n的值；
解：因为x－3和x－4是多项式x3＋mx2＋12x＋n的两个因式，
所以当x＝3和x＝4时，x3＋mx2＋12x＋n＝0，
所以m，n的值分别为－7，0.
(3)在(2)的条件下，把多项式x3＋mx2＋12x＋n分解因式．
解：因为m＝－7，n＝0，
所以x3＋mx2＋12x＋n可化为x3－7x2＋12x，
所以x3－7x2＋12x＝x(x－3)(x－4)．(共28张PPT)
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第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第2课时 公式法——完全平方公式
1
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核心必知
1
2
3
4
B
(3x＋1)2
5
A
D
A
(a±b)2
6
7
8
9
C
C
D
10
见习题
11
12
13
14
A
A
答案显示
C
15
16
36
见习题
A
17
见习题
18
见习题
19
见习题
见习题
20
见习题
a2±2ab＋b2＝________，即两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.2ab符号为正时，a，b同号；2ab符号为负时，a，b异号．
(a±b)2
1．下列各式中，是完全平方式的是( )
A．4x2－12xy＋9y2
B．2x2＋4x
C．2x2＋4xy＋y2
D．x2－y2＋2xy
A
2.【亳州利辛模拟】下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A．－x2＋1
B．－x2＋2x－1
C．x2－2x－2
D．x2－2x
B
3．分解因式4－4a＋a2正确的是( )
A．(2－a)2 B．(2＋a)2
C．(2－a)(2＋a) D．4(1－a)＋a2
A
4．【2021·连云港】分解因式：9x2＋6x＋1＝________．
(3x＋1)2
5．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－5
C．－7或1 D．7或－1
D
6．若二次三项式x2＋bx＋c是一个完全平方式，则数b，c满足的关系是( )
A．b＝c B．b＝4c
C．b2＝4c D．c2＝4b
C
7．计算：992＋198＋1＝( )
A．298 B．9 801
C．10 000 D．10 001
C
8．【2021·贺州】多项式2x3－4x2＋2x因式分解为( )
A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2
C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2
A
9．分解因式：
(1)【2021·菏泽】－a3＋2a2－a＝___________；
(2)【中考·攀枝花】x3y－2x2y＋xy＝____________．
－a(a－1)2
xy(x－y)2
10．分解因式：
原式＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a－1)2.
(2)8a3－8a2＋2a；
(3)xy2－2xy＋x.
原式＝x(y2－2y＋1)＝x(y－1)2.
11．下列式子中不能用公式法分解因式的是( )
A．x2－6x＋9 B．－x2－2x－1
C．x2＋2x＋4 D．－x2＋2xy－y2
C
12．下列多项式：①2x2－x；②(x－1)2－4(x－1)＋4；③(x＋1)2－4(x＋1)＋4；④－4x2－1＋4x，分解因式后，结果含有相同因式的是( )
A．①④ B．①②
C．③④ D．②③
A
13．已知a＋b＝4，ab＝2，则a3b＋ab3的值等于( )
A．24 B．28
C．32 D．36
【点拨】a3b＋ab3＝ab(a2＋b2)＝ab[(a＋b)2－2ab]＝2×(16－4)＝24.
A
D
15．分解因式：
(1)4x2－3y(4x－3y)＝____________；
(2)【中考·沈阳】－x2－4y2＋4xy＝____________；
(2x－3y)2
－(x－2y)2
16．【2021·十堰】已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝________．
36
17．把下列各式分解因式：
(1)(a－b)3－4ab(b－a)；
解：原式＝(a－b)[(a－b)2＋4ab]
＝(a－b)(a2＋2ab＋b2)
＝(a－b)(a＋b)2.
(2)9(a－b)2－6(a－b)＋1；
(3)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16.
解：原式＝[3(a－b)－1]2＝(3a－3b－1)2.
原式＝(m2－4m)2＋2×(m2－4m)×4＋42
＝(m2－4m＋4)2
＝[(m－2)2]2
＝(m－2)4.
18．若ab＝ ，a＋b＝ ，求多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
19．已知a2＋b2－2a＋6b＋10＝0，求a2 022－ 的值．
解：因为a2＋b2－2a＋6b＋10＝(a－1)2＋(b＋3)2＝0，
所以a－1＝0，b＋3＝0，
即a＝1，b＝－3，
则原式＝1＋
20．阅读下列材料：
分解因式：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题过程用到的是整体思想，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)分解因式：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝___________；
(x－y＋1)2
解：令M＝a＋b，
则原式＝M(M－4)＋4＝M2－4M＋4＝(M－2)2，
故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2.
(2)分解因式：(a＋b)(a＋b－4)＋4，写出解题过程；
解：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1
＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1
＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n＋1)2.
因为n为正整数，所以n2＋3n＋1也为正整数，所以式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
(3)试说明：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．(共32张PPT)
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8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
C
5
B
(1)－6 (2)2m－3n或－2m＋3n
C
2ab
6
7
8
9
见习题
见习题
10
D
11
12
13
14
C
B
答案显示
C
15
16
42
6
C
17
见习题
18
见习题
19
见习题
B
完全平方公式：(a±b)2＝a2±________＋b2.完全平方公式用语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
2ab
1．【2021·广元】下列运算正确的是( )
A．
B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．－2(3a＋1)＝－6a－1
D．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2
B
2．【亳州蒙城期末】计算(－a－b)2等于( )
A．a2＋b2 B．a2－b2
C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
C
3．下列各式中能用完全平方公式计算的是( )
A．(a－3b)(－a－3b) B．(－a＋3b)(a＋3b)
C．(a－3b)(－a＋3b) D．(a－3b)(a＋3b)
C
4．【合肥瑶海区期末】已知M是含有字母x的单项式，要使多项式4x2＋M＋1是某一个多项式的平方，则这样的M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
5．根据完全平方公式计算：
(1) x2＋(________xy)＋25y2；
(2)(__________________)2＝4m2－12mn＋9n2.
－6
2m－3n或－2m＋3n
6．计算：
(1)【中考·连云港】(2－x)2＝________________；
(2) ＝________________；
【点拨】原式＝22＋2×2×(－x)＋(－x)2＝4－4x＋x2.
4－4x＋x2
(3)(x＋y＋1)2＝_______________________．
【点拨】原式＝[(x＋y)＋1]2＝(x＋y)2＋2(x＋y)＋1
＝x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1.
x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1
7．计算：
(1)【中考·重庆】(x＋y)2＋y(3x－y)；
解：原式＝x2＋2xy＋y2＋3xy－y2＝x2＋5xy.
原式＝m2＋4m＋4＋8－4m＝m2＋12.
(2)【中考·温州】(m＋2)2＋4(2－m)．
8．运用完全平方公式计算89.72的最佳方法是( )
A．(89＋0.7)2 B．(80＋9.7)2
C．(90－0.3)2 D．(100－10.3)2
C
9．【蚌埠期末】已知a＋b＝－5，ab＝－4，则a2－ab＋b2的值为( )
A．29 B．37 C．21 D．33
【点拨】a2－ab＋b2
＝a2＋2ab＋b2－3ab
＝(a＋b)2－3ab
＝25＋12
＝37.
B
10．若(x－2y)2＝(x＋2y)2＋m，则m等于( )
A．4xy B．－4xy
C．8xy D．－8xy
D
11．【2021·台州改编】已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝( )
A．24 B．48 C．12 D．36
C
12．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a＋b＝ab＝6，则阴影部分的面积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
13．【2021·安徽模拟】已知a，b为实数，且满足ab＞0，a＋b－2＝0，当a－b为整数时，ab的值为( )
【答案】C
14．【合肥第四十五中学期中】若a2＋b2＝2 022，a－b＝－1，则ab＝________．
【点拨】因为a2＋b2＝2 022，a－b＝－1，
所以(a－b)2＝1，
所以a2－2ab＋b2＝1，
所以2 022－2ab＝1，
15．【亳州涡阳期末】已知a2＋ab＋b2＝7，a2－ab＋b2＝9，则(a＋b)2＝________．
6
16．【创新题】【2021·合肥期末】如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分的面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3(图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分)，则图3阴影部分的面积为________．
【点拨】设正方形A，B的边长分别为a，b.由图1可知，a2－b2＝2，由图2可知，(a＋b)2－a2－b2＝20，易得ab＝10，所以图3阴影部分的面积为(2a＋b)2－3a2－2b2＝a2－b2＋4ab＝2＋40＝42.
【答案】42
17.利用完全平方公式简便计算：
(2)2 0222－4 044×2 021＋2 0212.
解：原式＝2 0222－2×2 022×2 021＋2 0212
＝(2 022－2 021)2
＝1.
18．【易错题】阅读下列材料：
利用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，通过配方可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，从而使某些问题得到解决．
例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19.
(1)已知a－b＝2，ab＝3，那么a2＋b2＝________；
10
(3) 若n满足(n－2 021)2＋(2 020－n)2＝1，求式子(n－2 021)· (2 020－n)的值．
解：因为(n－2 021)2＋(2 020－n)2＝1，而1＝[(n－2 021)＋(2 020－n)]2＝(n－2 021)2＋(2 020－n)2＋2(n－2 021)(2 020－n)，
则(n－2 021)(2 020－n)＝0.
19．已知：a－b＝b－c＝m，a2＋b2＋c2＝2m2.
(1)填空：a－c＝________；
(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝________；(用含m的式子表示)
2m
6m2
(2)求ab＋bc＋ac的值；(用含m的式子表示)
解：因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac
＝6m2，
a2＋b2＋c2＝2m2，
所以2ab＋2bc＋2ac＝－2m2，
所以ab＋bc＋ac＝－m2.
(3)试说明：a＋b＋c＝0.
解：由(2)知ab＋bc＋ac＝－m2，
因为a2＋b2＋c2＝2m2，
所以(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝2m2－2m2
＝0，
所以a＋b＋c＝0.(共18张PPT)
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8.2 整式乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
－12x5 y2n＋1
5
C
D
相乘
9×1010
6
7
8
9
B
B
见习题
10
见习题
11
12
偶
答案显示
见习题
－2
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别________，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
相乘
1．【2021·遵义】下列计算正确的是( )
A．a3·a＝a3 B．(a2)3＝a5
C．4a·(－3ab)＝－12a2b D．(－3a2)3＝－9a6
C
2．【易混题】计算：(xn)n·36xn＝( )
A．36xn B．36x3n C．36xn2＋n D．36x2＋n
C
3．下列运算正确的是( )
A．(－2xy)(－3xy)3＝－54x4y4
B．5a2·(3a3)2＝15a12
C．(－0.1x)(－10x2)3＝－x6
D．(2×10n)(0.5×10n)＝102n
D
4．计算：(－3xm＋2y2n)·(4x3－my)＝______________．
－12x5 y2n＋1
5．【六安裕安区期中】长方体的长是2×104厘米，宽是1.5×103厘米，高是3×103厘米，那么它的体积是____________立方厘米．
9×1010
6．已知(2x3y2) (－3xmy3)(5x2yn)＝－30x4y2，求m＋n的值．
解：因为(2x3y2)(－3xmy3)(5x2yn)
＝[2×(－3)×5](x3·xm·x2)(y2·y3·yn)
＝－30x5＋my5＋n
＝－30x4y2，
所以5＋m＝4，5＋n＝2，
解得m＝－1，n＝－3，
所以m＋n＝－4.
7．计算 a3b·(－a)5·2a12c2的结果是( )
A．a14b B．－a20bc2 C．－2a20bc D. a20c2
B
8．【2021·芜湖期末】如果单项式－3ma－2bn2a＋b与m3n8b是同类项，那么这两个单项式的积是( )
A．－3m6n16 B．－3m6n32
C．－3m3n8 D．－9m6n16
B
9．已知单项式2a3y2与－4a2y4的积为ma5yn，则m＋n的值为________．
【点拨】2a3y2×(－4a2y4)＝－8a5y6＝ma5yn，故m＝－8，n＝6，则m＋n＝－2.
－2
10．计算：
解：原式＝－3x1＋3＋2＝－3x6.
(3)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2.
解：原式＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
11．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求mn＋pq的值．
解：因为(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6
＝2mx2mym·(－x3y3nz3)·3y4z6
＝－3·2m·x2m＋3ym＋3n＋4z9
＝－24xqy10zp，
故mn＋pq＝3×1＋9×9＝3＋81＝84.
12．【创新题】设x＜0，若－3xn·x5＞0，则n为______数(填“奇”或“偶”)．
偶(共9张PPT)
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专题技能训练(六)
因式分解的常见方法
第8章 整式乘法与因式分解
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
5
见习题
见习题
1．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
【点拨】如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
解：原式＝x(2x－y)．
原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．
2．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【点拨】将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．
解：原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．
3．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
【点拨】因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(1)题不能分解到(x2y2＋4)(x2y2－4)就结束了．
解：原式＝x4y4－16
＝(x2y2＋4)(x2y2－4)
＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解：原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.
4．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)；
解：原式＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)．
(2)－3x7＋24x5－48x3；
原式＝－3x3(x4－8x2＋16)
＝－3x3(x2－4)2
＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
(3)(a2＋1)2－4a2；
(4)(a＋b)3－4ab(a＋b)．
解：原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.
原式＝(a＋b)[(a＋b)2－4ab]＝(a＋b)(a－b)2.
5．把下列各式分解因式：
(1)x2－5x－6；
解：原式＝(x＋1)(x－6)．
(2)1－a2＋ab－ b2.(共27张PPT)
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8.1 幂的运算
第3课时 积的乘方
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
B
5
D
A
B
积；anbn
2
6
7
8
9
C
B
－1
10
见习题
11
12
13
14
－0.4
C
答案显示
D
15
16
见习题
①③④
C
17
见习题
18
见习题
19
见习题
C
20
见习题
1．积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的________，用式子表示为(ab)n＝________(n是正整数)．
2．积的乘方法则逆用：anbn＝(ab)n(n是正整数)．
积
anbn
1．计算(2×106)3的结果是( )
A．6×109 B．8×109
C．2×1018 D．8×1018
D
2．【2021·通辽】下列计算正确的是( )
A．x3＋x3＝x5 B．2x3－x3＝1
C．x3·x4＝x7 D．(－2xy2)3＝－6x3y6
C
3．【2021·黄石】计算(－5x3y)2的结果是( )
A．25x5y2 B．25x6y2
C．－5x3y2 D．－10x6y2
B
4．下列各式中，错误的有( )
①(2a2)3＝6a6; ②(x3y3)2＝x6y6；
③ ; ④(－3x2y2)4＝81x8y8.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
5．下面是芳芳同学计算(a·a2)3的过程：
解：(a·a2)3＝a3·(a2)3…①
＝a3·a6…②
＝a9…③
则步骤①②③依据的运算法则分别是( )
A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法
B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法
C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方
A
C
7．如果(anbm)3＝a9b15，那么( )
A．m＝3，n＝6 B．m＝5，n＝3
C．m＝12，n＝3 D．m＝9，n＝3
B
8．已知2m＝a，3m＝b，则6m等于( )
A．a＋b B．ab
C．ab D．无法确定
C
【点拨】因为21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，所以x，y，z满足的关系式是xy＝z.
9．从棱长为4a2的正方体中，挖去一个棱长为2a2的小正方体，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的体积是( )
A．4a6 B．8a6
C．56a6 D．58a6
【点拨】该几何体的体积为(4a2)3－(2a2)3＝64a6－8a6＝56a6.
C
10．【2021·合肥月考】若x2n＝7，求：(3x2n)2－7(xn)4的值．
解：因为x2n＝7，所以(3x2n)2－7(xn)4＝9(x2n)2－7(x2n)2＝9×72－7×72＝(9－7)×72＝98.
D
12．计算－(－2x3y2)2·(－1)2 021· 的结果是( )
A．3x10y10 B．－3x10y10
C．9x10y10 D．－9x10y10
C
－0.4
14．已知实数a，b满足a＋b＝－ ，a－b＝5 ，则(a＋b)3·(a－b)3的值是________．
－1
15．有一道计算题：(－a4)2，李老师发现全班有以下四种解法：
①(－a4)2＝(－a4)·(－a4)＝a4·a4＝a8；
②(－a4)2＝－a4×2＝－a8；
③(－a4)2＝a4×2＝a8；
④(－a4)2＝(－1·a4)2＝(－1)2·(a4)2＝a8.
你认为其中正确的是__________．(填序号)
①③④
16．计算：
(1)(－3x3)2－[(－2x)2]3；
(2)x·x5＋(－2x2)2·x2＋(－2x2)3.
解：原式＝9x6－64x6＝－55x6.
原式＝x6＋4x6－8x6＝－3x6.
17．简便计算：
＝(－1)999
＝－1.
(2)0.042 021×(52 022)2；
解：原式＝(0.22)2 021×54 044
＝0.24 042×54 044
＝(0.2×5)4 042×52
＝14 042×52
＝25.
18．某恒星的直径约是3.0×109千米，已知球的体积的计算公式是V＝ πr3，求该恒星的体积．(结果保留π)
19．已知a＝5，b＝－ ，n为自然数，请求出a2n＋2·b2n·b3的值．
解：a2n＋2·b2n·b3
＝a2n＋2·b2n＋2·b
＝(a·b)2n＋2·b.
20．已知xn＝2，yn＝3，求(x2y3)n－(xy)3n的值．
解：(x2y3)n－(xy)3n
＝x2ny3n－x3ny3n
＝(xn)2(yn)3－(xn)3(yn)3
＝22×33－23×33
＝108－216
＝－108.(共26张PPT)
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第8章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
第5课时 多项式与多项式相乘
1
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核心必知
1
2
3
4
A
见习题
5
B
B
C
相加
6
7
8
9
D
(a＋b)2－(b－a)2＝4ab
见习题
10
x2＋5x＋6
11
12
13
14
9x2＋12xy－5y2
p＝q
答案显示
A
15
16
见习题
见习题
2或0
17
见习题
18
见习题
1
多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积________．
相加
1．【中考·武汉】计算(a－2)(a＋3)的结果是( )
A．a2－6 B．a2＋a－6
C．a2＋6 D．a2－a＋6
B
2．【2021·合肥月考】若P＝(x－2)(x－3)，Q＝(x－1)(x－4)，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．由x的取值而定
A
3．三个连续奇数，若中间一个为n，则它们的积是( )
A．6n3－6n B．4n3－n
C．n3－4n D．n3－n
【点拨】因为中间的奇数为n，所以另外两个奇数分别是n－2和n＋2，则它们的积是(n－2)·n·(n＋2)＝n3－4n.
C
4．【中考·南京】计算：(x＋y)(x2－xy＋y2)．
解：原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.
5．【原创题】已知(x＋a)(x＋b)＝x2＋mx－4，m，a，b都是整数，那么m的值的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
【点拨】因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋mx－4，
所以a＋b＝m，ab＝－4(m，a，b都是整数)，
当a＝1，b＝－4时，m＝－3；
当a＝－1，b＝4时，m＝3；
当a＝2，b＝－2时，m＝0；
当a＝－2，b＝2时，m＝0，
则m的值为－3，3，0.故选B.
【答案】B
6．张伯伯有一块长方形农田，长2m米，宽m米，后来张伯伯开垦荒田，结果该农田的长、宽都增加了2n米，那么面积增加了( )
A．(m2＋3mn＋2n2)平方米 B．(2m2＋3mn＋2n2)平方米
C．(3mn＋2n2)平方米 D．(6mn＋4n2)平方米
【点拨】由题意可知该农田的面积增加了(2m＋2n)(m＋2n)－2m·m＝6mn＋4n2(平方米)．
D
7．用4块完全相同的长方形拼成正方形(如图)，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为_______________________．
(a＋b)2－(b－a)2＝4ab
【点拨】(x＋m)(2－x)＝2x－x2＋2m－mx＝－x2＋(2－m)x＋2m，
因为x＋m与2－x的乘积是一个关于x的二次二项式，
所以2－m＝0或2m＝0，
解得m＝2或m＝0.
8．若x＋m与2－x的乘积是一个关于x的二次二项式，则m的值是________．
2或0
9．若(x＋2)(2x－3)＝2x2＋mx－6，则m＝________.
【点拨】(x＋2)(2x－3)＝2x2＋x－6＝2x2＋mx－6，故m＝1.
1
10．【中考·吉林】如图，长方形ABCD的面积为____________．(用含x的式子表示)
x2＋5x＋6
【点拨】因为(5x－6)(2x－3)＝10x2－15x－12x＋18＝10x2－27x＋18＝ax2＋bx＋c，
所以a＝10，b＝－27，c＝18 .
所以2a＋b－c＝2×10＋(－27)－18＝－25，故选A.
11．若(5x－6)(2x－3)＝ax2＋bx＋c，则2a＋b－c等于( )
A．－25 B．－11
C．4 D．11
A
12．要使多项式(x2＋px＋2)(x－q)不含关于x的二次项，则p和q的关系是________．
p＝q
【点拨】原式＝x3－qx2＋px2－pqx＋2x－2q＝x3＋(p－q)x2＋(2－pq)x－2q，由于不含x的二次项，
所以p－q＝0，所以p＝q.
13．【创新题】【2021·娄底期末节选】对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)＝(mx＋ny)(3x－y)(其中m，n均为非零常数)．例如：F(1，1)＝2m＋2n，F(－1，0)＝3m.若F(1，－1)＝－8，F(1，2)＝13，则F(x，y)＝________________．
9x2＋12xy－5y2
14．计算：
(1)【中考·镇江】x(x＋1)－(x＋1)(x－2)；
解：原式＝x2＋x－x2＋2x－x＋2＝2x＋2.
(2)5m2－(m－2)(3m＋1)－2(m＋1)(m－5)．
原式＝5m2－(3m2－5m－2)－2(m2－4m－5)
＝5m2－3m2＋5m＋2－2m2＋8m＋10
＝13m＋12.
15．先化简，再求值：
(1)(2x＋1)(2x－1)－(x＋1)(3x－2)，其中x＝1.
解：原式＝4x2－2x＋2x－1－(3x2－2x＋3x－2)
＝4x2－1－(3x2＋x－2)
＝4x2－1－3x2－x＋2
＝x2－x＋1.
当x＝1时，原式＝12－1＋1＝1.
(2)(x＋5y)(x＋4y)－(x－y)(x＋y)－3x(3y－1)，其中x＝－2，y＝1.
解：原式＝(x2＋4xy＋5xy＋20y2)－(x2＋xy－xy－y2)－(9xy－3x)
＝x2＋9xy＋20y2－x2＋y2－9xy＋3x
＝3x＋21y2.
当x＝－2，y＝1时，原式＝3×(－2)＋21×12＝15.
16.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼成一个长为a＋2b，宽为a＋b的大长方形，需要A，B，C类卡片各多少张？
解：因为(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，
所以需要A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张．
17．【合肥瑶海区期末】已知长方形和直角梯形各边的长(单位：cm)如图所示，且它们的面积相差6 cm2，试求x的值．
18．【淮北期中】在学习数学的过程中，遇到难题可以从简单的情况入手，例如：
求(x－1)(x9＋x8＋x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)的值．
分别计算下列各式的值：
(1)填空：(x－1)(x＋1)＝________；
(x－1)(x2＋x＋1)＝________；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝________；
…
由此可得(x－1)(x9＋x8＋x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝________；
(2)计算：1＋2＋22＋23＋…＋27＋28＋29＝________；
x2－1
x3－1
x4－1
x10－1
210－1
(3)根据以上结论，计算：1＋5＋52＋53＋…＋597＋598＋599.(共21张PPT)
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8.1 幂的运算
第5课时 零次幂与负整数次幂
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
D
256
5
A
3
1
2
倒数
6
7
8
9
B
B
见习题
10
－1或3或1
11
12
13
见习题
答案显示
见习题
－3
1．零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于________，用式子表示为a0＝1(a≠0)．
1
2．负整数次幂：任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的________，用式子表示为a－p＝ (a≠0，p是正整数)．
倒数
1．【中考·陕西】计算：(－3)0＝( )
A．1 B．0 C．3 D．－
A
2．【合肥包河区期末】等式(x＋3)0＝1成立的条件是( )
A．x为有理数 B．x≠0
C．x≠3 D．x≠－3
D
3．【中考·重庆】计算：(π－1)0＋|－2|＝________．
3
4．计算： ×42×24＝________.
256
5．【淮北期中】(－2)－2＝________．
6．【2021·黄石】计算：
7．若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
B
8．下列计算正确的是( )
A．a3÷a－3＝a－1 B．(a－2)－2＝a4
C．a－1·a3＝a－3 D．(2ab)－2＝－ a－2b－2
B
【点拨】a3÷a－3＝a3－(－3)＝a6，故A错误；(a－2)－2＝a(－2)×(－2)＝a4，故B正确；a－1·a3＝a－1＋3＝a2，故C错误；(2ab)－2＝ a－2b－2，故D错误．
9．【中考·河北】若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为________．
－3
10．【易错题】已知(x－2)x＋1＝1，则整数x＝__________.
－1或3或1
11．计算：
(1)【2021·常州】 －(－1)2－(π－1)0＋2－1;
12．如果|x－2|＋(y＋3)2＝0，那么你能确定(3x＋2y)0的值吗？若能，请求出它的值；若不能，请说明理由．
解：不能，理由如下：
由|x－2|＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，
解得x＝2，y＝－3.
所以3x＋2y＝3×2＋2×(－3)＝0，
(3x＋2y)0的底数为零，无意义．
13．阅读材料：
求1＋2－1＋2－2＋…＋2－2 022的值．
解：设S＝1＋2－1＋2－2＋…＋2－2 022，①
则2S＝2＋1＋2－1＋…＋2－2 021.②
②－①，得S＝2－2－2 022，
即原式＝2－2－2 022.
(1)请你仿照此方法计算：
Ⅰ.1＋3－1＋3－2＋…＋3－2 022；
解：设M＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－2 022，①
则3M＝3＋1＋3－1＋…＋3－2 021.②
②－①，得2M＝3－3－2 022，
Ⅱ.1＋3－1＋3－2＋…＋3－n(n为大于1的正整数)．
解：设N＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－n，①
则3N＝3＋1＋3－1＋…＋3－n＋1.②
②－①，得2N＝3－3－n，
(2)若n为正整数(n>1)，直接写出1＋n＋n2＋n3＋…＋n2 022的值．(共28张PPT)
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第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第3课时 公式法——平方差公式
1
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核心必知
1
2
3
4
A
C
5
C
B
A
(a＋b)(a－b)；和；差
101030(或103010或301010)
6
7
8
9
B
C
见习题
10
见习题
11
12
13
14
4(a＋2b)(2a＋b)
答案显示
A
15
16
见习题
见习题
16xy
17
见习题
18
见习题
2x(x＋3y)(x－3y)
a2－b2＝____________，即两个数的平方差，等于这两个数的________与这两个数的________的积．
(a＋b)(a－b)
和
差
1．【合肥瑶海区期末】下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2－xy B．x2＋xy
C．x2－y2 D．x2＋y2
C
2．【2021·杭州】因式分解：1－4y2＝( )
A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)
A
3．分解因式－4＋0.09a2的结果是( )
A．(0.3a＋2)(0.3a－2)
B．(2＋0.3a)(2－0.3a)
C．(0.03a＋2)(0.03a－2)
D．(2＋0.03a)(2－0.03a)
A
4．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式x2－□y2(“□”表示漏抄的部分)中y2前的式子，若该二项式能因式分解，则“□”不可能是( )
A．x B．4 C．(－4) D．9
C
5．【中考·仙桃】将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
6．【中考·河北】若 ＝8×10×12，则k＝( )
A．12 B．10 C．8 D．6
B
7．【合肥蜀山区期末】若a－b＝2，则a2－b2－4b的值是( )
A．2 B．0
C．4 D．6
【点拨】因为a－b＝2，所以a2－b2－4b＝(a＋b)(a－b)－4b＝2(a＋b)－4b＝2a－2b＝2(a－b)＝2×2＝4.
C
8．已知A＝4x＋y，B＝4x－y，则A2－B2＝________．
16xy
【点拨】A2－B2＝(4x＋y)2－(4x－y)2＝(4x＋y＋4x－y)(4x＋y－4x＋y)＝8x·2y＝16xy.
9．【2021·威海】分解因式：2x3－18xy2＝____________________.
2x(x＋3y)(x－3y)
10．分解因式：2x4－ ＝____________________．
11．若n为任意正整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k(k>1)整除，则k为( )
A．11 B．22
C．11或22 D．11的倍数
A
12．【桐城期末】分解因式：9(a＋b)2－(a－b)2＝________________.
【点拨】原式＝(3a＋3b)2－(a－b)2＝(3a＋3b－a＋b)( 3a＋3b＋a－b)＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝4(a＋2b)(2a＋b)．
4(a＋2b)(2a＋b)
13．【创新题】【2021·怀宁期末】RSA129是一个129位利用代数知识产生的数字密码．曾有人认为，RSA129是有史以来最难的密码系统，涉及数论里因数分解的知识，在我们的日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码方便记忆．如，多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)．若取x＝9，y＝9时，则各因式的值分别是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，
【点拨】因为4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x－y)(2x＋y)，
所以当x＝10，y＝10时，x＝10，2x－y＝10，2x＋y＝30，
所以将3个数字排列，可以把101030(或103010或301010)作为一个六位数的密码．
于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3－xy2，若取x＝10，y＝10，请按上述方法设计一个密码：________________________．(设计一种即可)
101030(或103010或301010)
14．把下列各式分解因式：
(1)4x2y2－1；
解：原式＝(2xy＋1)(2xy－1)．
(2)16a4－1；
原式＝(4a2＋1)(4a2－1)＝(4a2＋1)(2a＋1)(2a－1)．
(3)(x2＋16y2)2－64x2y2；
(4)16(x－y)2－25(x＋y)2.
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
原式＝[4(x－y)＋5(x＋y)]·[4(x－y)－5(x＋y)]
＝－(9x＋y)(x＋9y)．
15．计算：
解：原式＝(1 999＋2 000)×(1 999－2 000)＋(2 001＋2 002)×
(2 001－2 002)＋…＋(2 019＋2 020)×(2 019－2 020)
＝－(1 999＋2 000)－(2 001＋2 002)－…－(2 019＋2 020)
＝－(1 999＋2 000＋2 001＋2 002＋…＋2 019＋2 020)
＝－
＝－4 019×11
＝－44 209.
(2)1 9992－2 0002＋2 0012－2 0022＋…＋2 0192－2 0202.
16.【易错题】分解因式：81a4－16b4.
解：原式＝(9a2＋4b2)(9a2－4b2)
＝(9a2＋4b2)(3a＋2b)(3a－2b)．
17．【2021·亳州月考】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28和2 020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
解：28和2 020这两个数是“神秘数”．理由如下：假设28和2 020这两个数是“神秘数”，则存在两个连续偶数n，n＋2使28＝(n＋2)2－n2，即2n＋2＝14，解得n＝6，存在6，8使28＝82－62，故28是“神秘数”．存在两个连续偶数k，k＋2使2 020＝(k＋2)2－k2，即2k＋2＝1 010，解得k＝504，存在504，506使2 020＝5062－5042，故2 020是“神秘数”．
(2)设两个连续奇数为2k－1和2k＋1(其中k取正整数)，由这两个连续奇数构造的神秘数是8的倍数吗？为什么？
解：是．理由如下：(2k＋1)2－(2k－1)2＝(2k＋1－2k＋1)(2k＋1＋2k－1)＝2×4k＝8k，因为8k是8的倍数，所以由两个连续奇数为2k－1和2k＋1(其中k取正整数)构造的神秘数是8的倍数．
18．(1)已知x，y是二元一次方程组 的解，求整式x2－4y2的值；
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
【点拨】本题利用了整体思想，(2)中把a＋b，a－b分别看成一个整体，代入求值即可．
解：因为|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，
所以a－b＝3，a＋b＝2.
所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.(共22张PPT)
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第8章 整式乘法与因式分解
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1
2
3
4
B
B
见习题
5
(1)－4或－2 (2)x≠2
见习题
6
7
8
9
见习题
见习题
10
见习题
见习题
见习题
11
12
13
14
12
见习题
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15
16
见习题
见习题
见习题
见习题
1．(1)若| p＋3|＝(－2 020)0，则p＝__________；
(2)若(x－2)0＝1，则x应满足的条件是________．
－4或－2
x≠2
2．【2021·绥化】定义一种新的运算：如果a≠0.则有a▲b＝a－2＋ab＋|－b|，那么 ▲2的值是( )
A．－3 B．5 C．－ D.
B
3．下列由左到右的变形中，是因式分解的是( )
A．(a＋6)(a－6)＝a2－36
B．x2－8x＋16＝(x－4)2
C．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1
D．(x－2)(x＋3)＝(x＋3)(x－2)
B
4．计算：(－0.125)2 021×82 022.
解：原式＝(－0.125)2 021×82 021×8
＝(－0.125×8)2 021×8
＝－8.
5．已知mx＝5，my＝6，求m3x＋2y的值．
解：因为mx＝5，my＝6，
所以m3x＋2y＝m3x·m2y＝(mx)3·(my)2＝53×62＝4 500.
6．计算：
(1)(2a＋5b)(a－3b)；
解：原式＝2a2－6ab＋5ab－15b2＝2a2－ab－15b2.
(2)【合肥瑶海区期末】(x＋3y)2－(x＋y)(x－y)－10y2；
原式＝x2＋6xy＋9y2－(x2－y2)－10y2
＝x2＋6xy＋9y2－x2＋y2－10y2
＝6xy.
(3)【安庆宿松期末】(－2x)2－(6x3－12x4)÷2x2.
解：原式＝4x2－(3x－6x2)＝4x2－3x＋6x2＝10x2－3x.
7．分解因式：x2(x－y)2－4(y－x)2.
解：原式＝(x－y)2(x2－4)＝(x－y)2(x＋2)(x－2)．
8．试说明 ＋(2n－4)(2n＋4)的值和n无关．
9．计算：2(a＋1)2＋(a＋1)(1－2a)．
解：原式＝2(a2＋2a＋1)＋(a－2a2＋1－2a)
＝2a2＋4a＋2＋a－2a2＋1－2a
＝3a＋3.
10．【2021·北京】已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．
解：(a－b)2＋b(2a＋b)
＝a2－2ab＋b2 ＋2ab＋b2
＝a2＋2b2，
因为a2＋2b2－1＝0，所以a2＋2b2＝1，
所以原式＝1.
11．设n为整数，试说明(2n＋1)2－25能被4整除．
解：因为(2n＋1)2－25＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，且n为整数，
所以(2n＋1)2－25能被4整除．
解：因为(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2
＝2(m2＋n2)，
所以2(m2＋n2)＝169＋9＝178，所以m2＋n2＝89.
因为(m＋n)2－(m－n)2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，
所以4mn＝169－9＝160，所以mn＝40.
所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.
12．已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值．
13．利用完全平方公式说明：无论x取何值，多项式x2＋3x＋3的值总大于0.
14．【中考·苏州】若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________．
12
15．已知2m－1＝2，求3＋4m的值．
解：因为2m－1＝2，所以2m＝3.
所以3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋32＝12.
16．【创新题】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)．
(b－a)2
(1)图②中的阴影部分的面积为________；
(2)观察图②请你写出(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系：__________________________；
(3)根据(2)中的结论，若p－q＝－4，p·q＝ ，则(p＋q)2＝________；
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
25
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了___________________________；
(a＋b)(3a＋b)＝3a2＋4ab＋b2
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.
解：如图：(共14张PPT)
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第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第4课时 分组分解法
1
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核心必知
1
2
3
4
D
B
5
B
A
(a－1)(b－1)
6
7
8
B
见习题
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见习题
当多项式的项数为四项时应优先考虑二二分组(平方差、提公因式)，其次考虑一三分组(存在某三项可以组成完全平方式)；当多项式的项数超过四项时应多尝试不同的分组方法．
1．把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2)
B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
B
2．将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式正确的是( )
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b)
B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2)
D．(a－3b)(a＋3b＋2)
D
3．【2021·马鞍山期末节选】分解因式：ab－a－b＋1＝______________．
(a－1)(b－1)
4．把多项式a2－2ab＋b2－1分解因式，分组正确的是( )
A．(a2－2ab)＋(b2－1)
B．(a2－2ab＋b2)－1
C．a2＋(－2ab＋b2－1)
D．(a2－1)＋(b2－2ab)
B
5．【易错题】把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是( )
A．(x＋y＋1)(x－y－1) B．(x＋y－1)(x－y－1)
C．(x＋y－1)(x＋y＋1) D．(x－y＋1)(x＋y＋1)
A
6．【合肥长丰期中】下列因式分解错误的是( )
A．15a2＋5a＝5a(3a＋1)
B．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
C．ax＋x＋ay＋y＝(a＋1)(x＋y)
D．a2－bc－ab＋ac＝(a－b)(a＋c)
B
7．把下列各式分解因式：
(1)ab－b2－bc＋ac；
解：ab－b2－bc＋ac
＝ab＋ac－b2－bc
＝a(b＋c)－b(b＋c)
＝(a－b)(b＋c)．
(2)49x2＋14x＋2y－y2；
49x2＋14x＋2y－y2
＝(49x2－y2)＋(14x＋2y)
＝(7x＋y)(7x－y)＋2(7x＋y)
＝(7x＋y)(7x－y＋2)．
(3)a3－a2＋a－1；
(4)9x2－y2＋a2－4b2＋6ax－4by.
解：a3－a2＋a－1
＝(a3－a2)＋(a－1)
＝a2(a－1)＋(a－1)
＝(a－1)(a2＋1)．
9x2－y2＋a2－4b2＋6ax－4by
＝(9x2＋6ax＋a2)－(y2＋4by＋4b2)
＝(3x＋a)2－(y＋2b)2
＝(3x＋a＋y＋2b)(3x＋a－y－2b)．
8．已知：a＝－226x＋2 020，b＝－226x＋2 021，c＝－226x＋2 022，请你求代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．
解：因为a＝－226x＋2 020，b＝－226x＋2 021，c＝－226x＋2 022，
所以a－b＝－1，b－c＝－1，a－c＝－2，(共25张PPT)
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8.1 幂的运算
第2课时 幂的乘方
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
a9
5
C
A
D
相乘
6
7
8
9
C
见习题
见习题
10
D
11
12
13
14
见习题
C
答案显示
D
15
16
见习题
见习题
见习题
17
见习题
18
见习题
B
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数________．用式子表示为(am)n＝amn(m，n都是正整数)．注意：底数a可以是一个单项式或一个多项式．
相乘
1．计算(a2)4的结果正确的是( )
A．a5 B．a6
C．a8 D．a9
C
2．【合肥包河区期末】下列式子中，计算结果是a8的是( )
A．a2＋a6 B．a10－a2
C．a2·a6 D．(a2)3
C
3．【淮北期中】化简(－x2 )3的结果是( )
A．x5 B．x6
C．－x5 D．－x6
D
4．为了保证农作物不受旱灾，李洼生产队决定修建正方体蓄水池，其棱长为a3 m，则该蓄水池最多能蓄水________m3.
a9
5．【中考·河北】若k为正整数，则(k＋k＋…＋k)k ＝( )
A．k2k B．k2k＋1 C．2kk D．k2＋k
A
6．【中考·青岛】计算(a2) 3－5a3·a3的结果是( )
A．a5－5a6 B．a6－5a9
C．－4a6 D．4a6
C
7．计算：
(1)－(23)2＝_____________；
(2)(－a4)3＝________；
(3)(x2m)2n＝______________；
(4)【2021·芜湖月考】已知x2n＝2，则(x3n)2－(x2)2n的值为________．
－26(或－64)
－a12
x4mn
4
8．计算：
(1)－22×(23)2－(22)4；
解：原式＝－22×26－28＝－28－28＝－28×2＝－29.
(2)(m2)3·m2＋(m2)4＋(m2)2·m4.
原式＝m6·m2＋m8＋m4·m4＝m8＋m8＋m8＝3m8.
9．【合肥长丰期中】当m为正整数时，下列等式成立的有( )
①a2m＝(am)2；②a2m＝(a2)m；
③a2m＝(－am)2；④a2m＝(－a2)m.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
B
10．【2021·广东】已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝( )
A．1 B．6 C．7 D．12
D
11．【中考·北京】若5x＝125y，3y＝9z，则x∶y∶z等于( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶3∶6 D．6∶2∶1
D
12．如果a＝355，b＝444，c＝533，那么a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【点拨】a＝355＝(35)11＝24311，b＝444＝(44)11＝25611，
c＝533＝(53)11＝12511，
因为256＞243＞125，所以b＞a＞c.
C
13．计算：
(1)[(a－b)3]2－[(b－a)2]3；
解：原式＝(a－b)6－(a－b)6＝0.
(2)(a2)9＋(a4·a2)3＋[(a3)2]3.
原式＝a18＋a18＋a18＝3a18.
14．已知2x＋3y－4＝0，求4x·8y的值．
解：因为2x＋3y－4＝0，
所以2x＋3y＝4，
所以4x·8y＝22x·23y＝22x＋3y＝24＝16.
15.【2021·安徽模拟改编】若x，y均为实数，43x＝2 021，47y＝2 021，求43xy·47xy(用含x，y的代数式表示)．
解：因为43x＝2 021，47y＝2 021，
所以(43x)y＝ 2 021y，(47y)x＝2 021x，
所以43xy·47xy＝(43x)y×(47y)x＝2 021y× 2 021x＝2 021x＋y.
16．若a＝ ＋1，b＝ ，求代数式3[(a－b)2]3＋2[(a－b)3]2＋2(a－b)3·(a－b)3的值．
解：因为a－b＝ ＋1－ ＝1，
所以原式＝3(a－b)6＋2(a－b)6＋2(a－b)6＝7(a－b)6＝7×1＝7.
17．(1)已知9n＋1－32n＝72，求n的值；
解：因为9n＋1－32n＝72，
所以32n＋2－32n＝72，所以32n×32－32n ＝72，
即9×32n－32n＝72，
所以8×32n＝72，
所以32n＝9，所以n＝1.
(2)已知272＝a6＝9b，求2a2＋2ab的值．
解：由272＝a6，得36＝a6，所以a＝±3.
由272＝9b，得36＝32b，所以2b＝6，
解得b＝3.当a＝3，b＝3时，
2a2＋2ab＝2×32＋2×3×3＝36；
当a＝－3，b＝3时，
2a2＋2ab＝2×(－3)2＋2×(－3)×3＝18－18＝0.
所以2a2＋2ab的值为36或0.
18．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.
例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：
(3，27)＝______，(5，5)＝______，(2，32)＝______．
3
1
5
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n.
所以3x＝4，即(3，4)＝x，
所以(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：
(3，4)＋(3，5)＝(3，20)．
解：设(3，4)＝x，(3，5)＝y，
则3x＝4，3y＝5，
所以3x＋y＝3x·3y＝20，
所以(3，20)＝x＋y，
所以(3，4)＋(3，5)＝(3，20)．(共26张PPT)
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8.1 幂的运算
第1课时 同底数幂的乘法
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
A
B
5
D
A
A
相加；am＋n
6
7
8
9
D
a10
见习题
10
A
11
12
13
14
见习题
B
答案显示
C
15
16
见习题
见习题
xy＝z
17
见习题
18
见习题
19
见习题
见习题
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数_______．用式子表示为am·an＝_______(m，n都是正整数)．注意：①必须是底数相同的幂的乘法；②多个同底数幂相乘同样适用；③字母a可以是一个单项式或一个多项式．
相加
am＋n
1．【2021·安徽】计算x2·(－x)3 的结果是( )
A．x6 B．－x6 C．x5 D．－x5
D
2．化简a2·a＋a·a2－5a3的结果是( )
A．－3a3 B．－2a3
C．－a3 D．3a3
A
3．若m为偶数，且a≠b，则(a－b)m·(b－a)n的结果与(b－a)m＋n( )
A．相等
B．互为相反数
C．相等或互为相反数
D．以上说法都不对
A
4．下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是( )
A．(x＋y)2·(x－y)3
B．(－x－y)·(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)3
D．－(x－y)2·(－x－y)3
B
5．【合肥模拟】若整数n满足2n·2n·2n＝8，则n的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A
6．计算103×10 000×102的结果是( )
A．106 B．107 C．108 D．109
【点拨】原式＝103×104×102＝103＋4＋2＝109.
D
7．一个长方体的长、宽、高分别为a5，a，a4(a>1)，则这个长方体的体积是________．
【点拨】根据长方体的体积公式可得这个长方体的体积为a5·a·a4＝a5＋1＋4＝a10.
a10
8．【中考·安徽】按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中连续的三个数，猜想x，y，z满足的关系式是__________．
xy＝z
【点拨】因为21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，所以x，y，z满足的关系式是xy＝z.
9. 计算：
(1)【原创题】(－2)2·(－2)n·(－2)3n(n是正整数)；
解：原式＝(－2)4n＋2＝24n＋2.
(2)－x2·x3＋4x3·(－x)2－2x·x4；
(3)(a－b)·(b－a)3·(b－a)4.
原式＝－x5＋4x3·x2－2x5＝－x5＋4x5－2x5＝x5.
原式＝－(a－b)·(a－b)3·(a－b)4＝－(a－b)8.
10．当a<0，n为正整数时，(－a)5·(－a)2n的值为( )
A．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
A
C
12．【2021·芜湖期末】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B．某视频文件的大小约为2 GB，则2 GB等于( )
A．232 B B．231 B C．230 B D．430 B
B
13．求下列各式中x的值：
(1)32x＋1＝81×243；
解：因为32x＋1＝81×243＝34×35＝39，
所以2x＋1＝9，所以x＝4.
(2)43x－1×16＝64×4.
解：因为43x－1×16＝64×4，所以43x－1×42＝43×41，
即43x＋1＝44，所以3x＋1＝4，所以x＝1.
14．大型计算机的性能与运算速度对高科技起着关键性的作用，某种计算机的峰值运算速度达到每秒3.386×1012次．如果按这个速度工作5×1012秒，那么它能运算多少次？
解：3.386×1012×5×1012＝1.693×1025(次)．故它能运算1.693×1025次．
15.【马鞍山含山期末】已知(x＋y)x·(y＋x)y＝(x＋y)5，且(x－y)x＋5·(x－y)5－y＝(x－y)9，能否求出(x－y)x＋y的值？若能，请求出其值；若不能，请说明理由．
解：能．由题意得x＋y＝5，x＋5＋5－y＝9，所以x－y＝－1，故(x－y)x＋y＝(－1)5＝－1.
16．(1)已知8·22m－1·23m＝217，求m的值；
(2)已知ma＋b·ma－b＝m12 ，求a的值．
解：由题意，得23·22m－1·23m＝217，
由同底数幂的乘法，得23＋2m－1＋3m＝217，
即5m＋2＝17，解得m＝3.
解：因为ma＋b·ma－b＝m(a＋b)＋ (a－b)＝m12，
所以(a＋b)＋(a－b)＝12，
即2a＝12，所以a＝6.
17．已知3n＋m能被13整除，试说明：3n＋3＋m也能被13整除．
解：3n＋3＋m＝3n×33＋m＝27×3n＋m＝26×3n＋(3n＋m)，
因为26×3n和3n＋m都能被13整除，
所以26×3n＋(3n＋m)也能被13整除，
即3n＋3＋m也能被13整除．
18．【2021·安徽月考改编】我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an＝am＋n(其中a≠0，m，n为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h(m＋n)＝h(m)·h(n)，比如h(2)＝5，h(4)＝h(2＋2)＝5×5＝25，若h(3)＝k(k≠0)，求h(3b)·h(27)(其中b为正整数)的结果．
解：因为h(3)＝k(k≠0)，h(m＋n)＝h(m)·h(n)，
所以h(3b)·h(27)
＝h( )·h( )
＝ ·
＝kb·k9
＝kb＋9.
19．阅读下列材料，并解决后面的问题．
我们知道，n个a相乘记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28＝3)．
一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．
(1)计算以下各对数的值：log24＝________；log216＝________；log264＝________．
2
4
6
(2)观察4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？
解：4、16、64之间满足的关系式是4×16＝64，log24、log216、log264之间满足的关系式是log24＋log216＝log264.
(3)由(2)题猜想，logaM＋logaN＝________(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
logaMN
解：设logaM＝m，logaN＝n，
所以M＝am，N＝an，
所以MN＝am＋n，
所以logaMN＝m＋n，
所以logaM＋logaN＝logaMN.
(4)根据幂的运算法则：am·an＝am＋n以及对数的定义说明(3)中结论的正确性．(共17张PPT)
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8.2 整式乘法
第2课时 单项式除以单项式
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
C
A
5
B
－4xy2
相除
500
6
7
8
9
见习题
A
C
10
见习题
11
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见习题
见习题
单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别________，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
相除
1．【中考·金华】计算(－a)3÷a的结果正确的是( )
A．a2 B．－a2 C．－a3 D．－a4
B
2．【合肥包河区模拟】下列运算正确的是( )
A．a2＋a2＝a4 B．a4－a2＝a2
C．2a2·a＝2a3 D．2a2÷a2＝2a
C
3．【2021·合肥期末】计算：8x2y4÷(－2xy2)＝________．
－4xy2
4．若28a3bm÷28anb2＝b2，则m，n的值分别为( )
A．4，3 B．4，1
C．1，3 D．2，3
A
5．光的速度约为3×105 km/s，地球与太阳的距离约是1.5×108 km，则太阳光射到地球上需要的时间约是________s.
500
6．计算(－abx2)3÷(－abx)3的结果是( )
A．x2 B．－x2 C．x3 D．－x3
C
7．下列计算27a8÷ a3÷9a2的顺序不正确的是( )
A
8．计算：
(1)－12x5y3z÷3x4y；
解：原式＝(－12÷3)·(x5÷x4)·(y3÷y)·z＝－4xy2z.
9．先化简，再求值：
(1)(－3x2y)2·6xy3÷9x3y4，其中x＝ ，y＝－9；
解：原式＝9x4y2·6xy3÷9x3y4
＝54x5y5÷9x3y4
＝6x2y.
(2)(3a3n)2÷(27a4n)，其中n为正整数，且a2n＝3.
10．星星中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划购买宽为x米、长为10x米的塑料扣板，已知这间陈列室的长为5ax米、宽为3ax米，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当a＝4时，求出至少购买的塑料扣板的块数．
11．已知－3xm yn＋1÷2x2y2的结果为一个常数，求mn.
解：因为－3xmyn＋1÷2x2y2的结果为一个常数，
所以m＝2，n＝1，
所以mn＝2.(共25张PPT)
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8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
1
2
3
4
A
D
5
A
B
a2－b2
6
7
8
9
见习题
B
10
见习题
11
12
13
14
见习题
a＋6
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C
15
16
见习题
见习题
D
见习题
－6
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________.平方差公式用语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
a2－b2
1．【宿州期中】下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A．(x－y)(－x＋y) B．(－x＋y)(－x－y)
C．(－x－y)(x－y) D．(2x＋y)(－2x＋y)
A
2．【2021·合肥期末】计算(2m－3n)(－2m－3n)的结果是( )
A．－4m2＋9n2 B．－4m2－9n2
C．4m2－9n2 D．4m2＋9n2
A
3．下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A．(x＋5y)(－x＋5y)
B．(x－5y)(x＋5y)
C．(x＋5y)(－x－5y)
D．(x－5y)(5y－x)
B
4．下列计算正确的是( )
A．(3a＋2)(3b－2)＝9ab－4
B．(3x－1)(3x－1)＝9x2－1
C．(3a＋2)(3a－2)＝3a2－4
D．(3－2a)(－3－2a)＝4a2－9
D
5．【中考·包头】计算：
6．运用平方差公式计算：
原式＝a－2a2＋2(a2－1)＝a－2a2＋2a2－2＝a－2.
(2)【中考·兰州】a(1－2a)＋2(a＋1)(a－1)．
7．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
B
8．若三角形的一边长为2a＋1，这边上的高为2a－1，则此三角形的面积为( )
A．4a2－1 B．4a2－4a＋1
C．4a2＋4a＋1 D．2a2－
D
9．【2021·广安】若x，y满足 则代数式x2－4y2的值为________．
－6
10．计算：
(1)(2x＋3y－1)(1＋2x＋3y)；
解：原式＝[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1]
＝(2x＋3y)2－1
＝(2x)2＋2·2x·3y＋(3y)2－1
＝4x2＋12xy＋9y2－1.
(2)(3m＋n－2)(3m－n＋2)．
解：原式＝[3m＋(n－2)][3m－(n－2)]
＝(3m)2－(n－2)2
＝9m2－(n2－4n＋4)
＝9m2－n2＋4n－4.
11．【易错题】如果(2a＋2b－3)(2a＋2b＋3)＝40，则a＋b的值为( )
C
【点拨】因为(2a＋2b－3)(2a＋2b＋3)＝40，
所以(2a＋2b)2－32＝40，所以4(a＋b)2＝49，
12．如图，从边长为a＋3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，其中一边长为a，则拼成的长方形的另一边长是________．
【点拨】拼成的长方形的面积
S＝(a＋3)2－32＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)．
因为拼成的长方形一边长为a，
所以另一边长是a＋6.故答案为a＋6.
a＋6
13．运用平方差公式简便计算：
解：原式＝2 0212－(2 021＋1)×(2 021－1)
＝2 0212－2 0212＋1
＝1.
(2)2 0212－2 022×2 020.
14.先化简，再求值：
(1)【2021·长沙】(x－3)2＋(x＋3)(x－3)＋2x(2－x)，其中x＝－
(2)【合肥庐江期中】2(x－y)2－(y－x)2－(x＋y)(y－x)，其中x＝3，y＝－2.
解：原式＝2(x－y)2－(x－y)2－(y＋x)(y－x)
＝(x－y)2－(y2－x2)
＝x2－2xy＋y2 －y2＋x2
＝2x2－2xy.
当x＝3，y＝－2时，原式＝2×9－2×3×(－2)＝18＋12＝30.
15．【中考·北京】已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：原式＝9x2－4＋x2－2x＝10x2－2x－4.
因为5x2－x－1＝0，
所以5x2－x＝1，
所以原式＝2(5x2－x)－4＝2×1－4＝－2.
16．【中考·百色】(1)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
…
可得到(a－b)(a2 020＋a2 019b＋…＋ab2 019＋b2 020)＝____________；
a2 021－b2 021
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2)；
an－bn
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.(共10张PPT)
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专题技能训练(五)
1.活用乘法公式进行计算的常用技巧
第8章 整式乘法与因式分解
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
5
见习题
见习题
1．已知实数a满足(a－2 020)2＋(2 021－a)2＝15，求(a－2 020)(2 021－a)的值．
解：令a－2 020＝m，2 021－a＝n，则m＋n＝1.
因为(a－2 020)2＋(2 021－a)2＝15，
所以m2＋n2＝15，
所以(a－2 020)(2 021－a)
＝mn
2．计算：
(1)1982；
解：原式＝(200－2)2＝2002－800＋4＝39 204.
(2)2 0042；
原式＝(2 000＋4)2＝2 0002＋16 000＋16＝4 016 016.
(3)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.
解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(4＋3)×(4－3)＋(2＋1)×(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝ ＝5 050.
解：原式＝[a＋(b－c)][a－(b－c)]
＝a2－(b－c)2
＝a2－(b2－2bc＋c2)
＝a2－b2＋2bc－c2.
3．计算：
(1)(a＋b－c)2；
解：原式＝[(a＋b)－c]2
＝(a＋b)2－2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2.
(2)(a＋b－c)(a－b＋c)．
4．计算：
5．老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律但不同于上面算式的算式；
解：132－52＝8×18，172－92＝8×26.(答案不唯一)
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
任意两个不同的奇数的平方差是8的倍数．
解：设m，n为不同的整数，则2m＋1，2n＋1为奇数，得(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1).
当m，n同时是奇数或偶数时，(m－n)是偶数，
所以4(m－n)是8的倍数；
当m，n一个是奇数一个是偶数时，(m＋n＋1)是偶数，
所以4(m＋n＋1)是8的倍数．
所以任意两个不同的奇数的平方差都是8的倍数．
(3)请说明这个规律的正确性．(共21张PPT)
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8.1 幂的运算
第4课时 同底数幂的除法
第8章 整式乘法与因式分解
1
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核心必知
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a2
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C
C
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相减
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C
C
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10
B
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－x6y3；n－m
答案显示
C
15
16
4
见习题
见习题
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数________，用式子表示为am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．底数a可以是一个单项式或一个多项式(单项式和多项式的值不能为0)．
相减
1．【2021·台州】下列运算中，正确的是( )
A．a2＋a＝a3 B．(－ab)2＝－ab2
C．a5÷a2＝a3 D．a5·a2＝a10
C
2．【中考·常州】计算：a3÷a＝________.
a2
3．若a9÷an＝a5，则n＝________.
4
4．若a>0，且am＝15，an＝5，则am－n＝________.
3
5．【合肥包河区模拟】计算(a2)3÷(a2·a3)的结果是( )
A．0 B．1 C．a D．a3
C
6．已知长方形的面积为(x－y)3，宽为(x－y)，则其长为( )
A．x＋y B．x－y
C. (x－y)2 D．x2－y2
C
7．计算(－a)5·(a2)3÷(－a)4的结果正确的是( )
A．a7 B．－a6 C．－a7 D．a6
C
8．已知2x＝3，2y＝5，则22x－y－1的值是________.
9．计算：
(1)x8÷(x7÷x6) ；
原式＝2×103＝2 000.
解：原式＝x8÷x＝x7.
(2)(6×108)÷(3×105).
10．【2021·合肥期末改编】若27m÷9n＝ ，则2n－3m的值是( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
B
11. 【蚌埠期中】已知xa＝3，xb＝5，则x2a－b＝( )
C
12．(－x2y)5÷(－x2y)2＝__________，－(m－n)5÷(n－m)4＝____________．
－x6y3
n－m
13．【2021·合肥月考】如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c，例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.若(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，m)＝2a－b，则m＝________．
14．化简：
(1)(－2ab2)4÷(－2ab2)；
解：原式＝(－2ab2)4－1
＝(－2ab2)3
＝－8a3b6.
(2)(2a－b)8÷(b－2a)3.
解：原式＝(b－2a)8÷(b－2a)3
＝(b－2a)5.
15．已知am＝2，an＝4，ak＝32.
(1)求a3m＋2n－k的值；
解：因为am＝2，an＝4，ak＝32，
所以a3m＋2n－k＝(am)3×(an)2÷ak＝23×42÷32＝23×24÷25＝23＋4－5＝4.
(2)当a＝2时，求2k－m－4n的值．
解：因为am＝2，an＝4，ak＝32，所以a2k－m－4n＝(ak)2÷am÷(an)4＝322÷2÷44＝210÷2÷28＝210－1－8＝2.又因为a＝2，所以2k－m－4n＝1.
16．若5x－3y－2＝0，则25x÷ 8y＝________．
4
【点拨】因为5x－3y－2＝0，
所以5x－3y＝2，所以25x÷8y＝25x÷23y＝25x－3y＝22＝4.(共13张PPT)
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专题技能训练(四)
运用幂的运算法则巧计算的五种常见类型
第8章 整式乘法与因式分解
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4
见习题
A
a＞c＞b
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见习题
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见习题
见习题
10
见习题
见习题
见习题
2．【2021·合肥月考】若an＋1·am＋n＝a6，且m－2n＝1，求mn的值．
解：由an＋1·am＋n＝a6可得am＋2n＋1＝a6，
则有m＋2n＋1＝6，
因为m－2n＝1，
所以mn＝3.
3．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．ac>a
【点拨】因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以3124>3123>3122，即a>b>c.
A
4．已知a＝2－555，b＝3－444，c＝6－222，用“>”号把它们按从大到小的顺序连接起来为______________．
a＞c＞b
5．已知273×94＝3x，求x的值．
解：因为273×94＝(33)3×(32)4＝39×38＝317＝3x，
所以x＝17.
6．已知10m＝3，10n＝5，10p＝7，请把315写成底数是10且含有m，n及p的幂的形式．
解：因为10m＝3，10n＝5，10p＝7，
所以315＝32×5×7
＝(10m)2×10n×10p
＝102m＋n＋p.
7．用简便方法计算：
(1)－0.2514×230；
解：原式＝－(0.25×2)14×216
＝－ ×216
＝－4.
8．已知(x－1)x2÷(x－1)＝1，求x的值．
解：由题意得(x－1)x2－1＝1，分三种情况：
(1)当x2－1＝0且x－1≠0时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝－1；
(2)当x－1＝1时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝2；
(3)当x－1＝－1且x2－1为偶数时，(x－1)x2－1＝1，此种情况无解．
综上所述，x的值为－1或2.
9．若|an|＝ ，|b|n＝3，求(ab)4n的值．
10．计算：
(1)(－x)3·x2n－1＋x2n·(－x)2；
解：原式＝－x3·x2n－1＋x2n·x2＝－x2n＋2＋x2n＋2＝0.
(2)(－4am＋1)3÷[2(2am)2·a]．
原式＝－64a3m＋3÷8a2m＋1＝－8am＋2.
