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3.1 椭圆
高二数学 选择性必修1 第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质
3.1.2
椭圆的简单几何性质
椭圆的定义 图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系 焦点位置的判断 F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
c
a
b
焦点在x轴上
焦点在y轴上
复习引入
一般方程：
椭圆 的简单几何性质
1.范围：
x
≤
≤
≤
≤
,
≤1,
≤1得：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
对称性
椭圆关于y轴对称
椭圆关于x轴对称
椭圆关于原点对称
2、对称性：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
如何从方程来分析这些对称性呢？
已知点P(3，6)在 上,则( )
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B)点(3,-6)不在椭圆上
(C) 点(-3,6)在椭圆上
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
C
课堂练习
3、椭圆的顶点
椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1(-a,0)
A2(a,0)
令x=0,得y=？说明椭圆
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
长轴：线段A1A2；
长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2；
短轴长 |B1B2|=2b
焦 距 |F1F2| =2c
①a和b分别叫做椭圆的
长半轴长和短半轴长；
③焦点必在长轴上；
② a2=b2+c2，
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
A2
(a, 0)
A1
(-a, 0)
b
a
c
椭圆的简单几何性质
a
F2
F1
|B2F2|=a；
注意
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的
点，就可以得到较正确的图形.
小 结 ：
说出下列椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
课堂练习
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
2.根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
（2）
A1
B1
A2
B2
B2
A2
B1
A1
4、椭圆的离心率
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0[2]离心率对椭圆形状的影响：
1)c越接近a，e就越接近1，b就越小，椭圆就越扁
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？椭圆的形状有何变化
2)c越接近0，e就越接近0，b就越大，椭圆就越圆
3)c=0(即两个焦点重合），e =0，则 b=a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
离心率是反映椭圆扁平程度的一个量:
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
椭圆的离心率．
,叫做
离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆
比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
根据：离心率e越大，椭圆越扁；
离心率e越小，椭圆越圆
课堂练习
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点
焦距 对称性 对称轴__________，对称中心____ 离心率 (0＜e＜1) 椭圆的简单几何性质
2b
2a
x轴、y轴
原点
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0,－b)，B2(0,b)
A1(0,－a)，A2(0,a) B1(－b,0)，B2(b,0)
2c
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
一、已知椭圆方程求几何性质
（范围、顶点、长短轴、对称性、离心率）
二、根据椭圆的性质求标准方程
（几何法、待定系数法）
例4 已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
10
8
6
80
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
a=5 b=4 c=3
o
x
y
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
一、已知椭圆方程求几何性质
(±a,0)
a
(0, ±b)
b
(-a,0)
a+c
(a,0)
a-c
o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
课堂练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)两点；
(2)长轴长等于20，离心率等于3/5
二、根据椭圆的性质求标准方程
(1)解法一：
由椭圆性质知：A(－3，0)、B(0，－2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，
∴
又∵长轴在x轴上，
∴椭圆的方程为：
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)两点；
(2)长轴长等于20，离心率等于3/5
二、根据椭圆的性质求标准方程
(1)解法二：设椭圆的标准方程为 ：
∴
∴椭圆的方程为：
∴
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点P(－3，0)、Q(0，－2)两点；
(2)长轴长等于20，离心率等于3/5
二、根据椭圆的性质求标准方程
(2)解：∵长轴长等于20 即2a=20
∴a=10
又∵离心率e=c/a=3/5
∴c=6
又∵b2=a2-c2=102-62=64
∴椭圆的标准方程为
补例1、 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
椭圆的标准方程为： ；
椭圆的标准方程为： ；
解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
（2）当 为短轴端点时， , ，
综上所述，椭圆的标准方程是 或
二、根据椭圆的性质求标准方程
根据椭圆的性质求标准方程解法：
① 几何法（利用几何性质的方法）
②待定系数法
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在x轴上，a=6，e=1/3
(2)焦点在y轴上，c=3，e=3/5
课堂练习
课本P112 练习第3题
例5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.
已知BC⊥F1F2,|F1B |=2.8cm,| F1F2 |=4.5cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm).
例题精讲
例6.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线
的距离的比等于常数 ，求M点的轨迹。
右焦点
椭圆的第二定义
P113
例题讲解
归纳:
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1 图 形 定义 2
平面内与
解：由方程组
消去y，得
方程①的根的判别式
判断直线与椭圆的交点个数
例题讲解
判断直线与椭圆的交点个数
例题讲解
判断直线与椭圆个数的方法
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法.
<0，
=0，
>0
（1）联立方程组
（2）消元，得到一元二次方程
（3）判断
方法小结
1、求下列直线与椭圆的交点
课堂练习
课本P114 练习
2、经过椭圆 的左焦点F1作倾斜角为60。的
直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求线段AB的长。
其中k为直线斜率，(x1,y1)、(x2,y2)为直线与曲线的两交点
课本P114 练习 答案解析
课堂练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。
3、若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。
课堂练习
2.曲线 与 曲线(m<9)一定有( )
(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距
(C)相等的离心率 (D)相同的准线
B
3.椭圆 与 椭圆有 ( )
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率
(C)相同的准线 (D)以上都不对
B
F1
F2
O
P
e=cos∠OF2P
课堂练习
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长 短轴长＝____，长轴长＝____ 焦点
焦距 对称性 对称轴__________，对称中心____ 离心率 (0＜e＜1) 椭圆的简单几何性质
2b
2a
x轴、y轴
原点
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0,－b)，B2(0,b)
A1(0,－a)，A2(0,a) B1(－b,0)，B2(b,0)
2c
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
课堂小结
1.课本P115 习题3.1 第3、4、7、8题
一、必做题
二、选做题
布置作业
1．若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为( )。
2.做练习册：《椭圆的简单几何性质》
2.椭圆 与椭圆 有( )
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率
(C)相同的准线 (D)以上都不对
B
