2021-2022学年数学 人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质”章首课—单元教学设计

“函数的概念与性质”单元-章首课教学设计
设计者：
指导教师：
一、内容及其解析
1.内容：函数的概念及其表示；函数的基本性质；幂函数；函数的应用（一）.
2.内容解析：
内容的本质：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.定义抽象、符号抽象、具体函数类型多且复杂（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（代数运算、几何直观、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点.特别地，引入具有一般性的抽象函数符号，使学生能通过建立函数模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质来认识、把握和解释它的运动变化规律，这是学习函数的重要意义所在.
蕴含的数学思想和方法：首先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受用函数建立数学模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想和方法解决问题.
知识的上下位关系：作为中学阶段数学课程的一条主线，函数内容的安排体现了数学抽象的层次性，是与学生的认识水平相适应的。初中阶段对函数的学习是从变量之间依赖关系的角度入手，引导学生对简单实例中的数量关系和变化规律进行概括，得到函数的概念以及三种表示法，并通过对一次函数、二次函数和反比例函数这些特殊函数，向学生介绍研究一类函数的基本内容与方法。特别是通过二次函数，让学生学习定性刻画函数单调性的方法，以及函数的对称性、最大（小）值（顶点坐标）等性质。
本章以初中所学函数知识与“预备知识”中的二次函数知识为基础，通过四个具体实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合-对应说”，并用抽象符号表示函数，对后续研究指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数打下基础。
育人价值：通过加强实践环节，帮助学生建立理解概念所需的背景支撑，使学生深层的理解概念.主要做法包括：引导学生分析丰富的、真实的应用问题，增加概括概念、发现性质所需的素材；安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”.
教学重点：
.（1）会用集合的语言表述函数的概念，培养学生的数学抽象素养；
（2）能判断函数的单调性、奇偶性，利用函数的增减性求函数的最值；
（3）会用定义法证明函数的单调性；
（4）掌握五个幂函数的图象与性质。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素;
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用;
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用;
（4）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义；
（5）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
（6）通过具体实例，结合，，，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；
（7）体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；
（8）收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）在初中用变量来定义函数的基础上，从集合的角度出发，用集合语言和对应关系来刻画函数，建立完整的函数概念，了解函数的三要素，能判断两个函数是否为同一函数；
（2）会求具体函数、抽象函数和实际问题中函数的定义域；
（3）掌握求函数解析式的四种方法：待定系数法、换元法、方程组法和配凑法；
（4）能根据实际问题，选择适合的函数表示方法，如解析法、列表法和图象法；
（5）会用符号语言来描述函数的单调性、奇偶性以及最值的概念，通过图象研究函数的基本性质，体会数形结合的思想；
（6）借助五个幂函数的图象，了解幂函数的相关性质；
（7）通过研究幂函数，了解研究一类函数的基本方法和思路；
（8）体会函数与实际生活的联系，能综合应用函数的基本性质去解决一些数学问题，让学生感受数学来源于生活并应用于生活，感受数学之美.
3.本章知识结构图
（1）教材内容安排
函数的概念与性质单元教学中所对应的数学核心素养[1]
单元的课时分配
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
对于函数的研究，其大致框架是：函数的事实-函数概念的定义与表示-函数的性质-基本初等函数.本章要完成从事实到概念（定义与表示）再到性质的学习，使学生构建函数的一般概念，了解函数的研究内容和基本方法.
应调动学生已有的函数学习经验，同时要防止负迁移；
概念内涵、函数要素的发现等，对于大多数学生而言是困难的，特别是用集合语言和对应关系表述概念，是非常数学化的，在确保学生具有领会定义实质、面对具体问题能应用的水平时，可引导学生进行适当的自主探究发现，以深化了解.
2.教学难点：
（1）能从不同情境中找出函数的三要素，抽象概括出函数的概念；
（2）理解实数集合间一对多、多对一的对应关系；
（3）通过五个幂函数的图象概括出它们的共性，利用性质比大小和求参数的取值范围；
（4）应用函数的单调性和奇偶性解决一些综合性问题。.
四、教学方式分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数，对函数的内容已经有了简单的认识。在此基础上学习本单元内容，更有助于教师开展单元教学。单元教学强调教学内容的整体性，教师要从整体的视角出发，对教学内容进行整体规划，帮助学生建立整体性思维。在函数概念的教学中，教师要注重问题情境的创设，引导学生从具体实例中发现函数的对应关系，抽象概括出函数的概念。从实际问题出发，加强学生对函数概念的理解，感受数学的应用价值。在探究函数基本性质的过程中，鼓励学生积极探索，通过观察函数图象来研究函数的性质。当学生在探究中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，不要代替他们思考，不要过早的给出答案。在探究过程中，适当加入小组讨论环节，教师有目的地做出指导，引导学生向正确的方向探索。通过自主探究与合作交流的方式学习并掌握函数的基本性质，并能利用函数单调性、奇偶性等性质解决一些数学问题。
在整个教学过程中，采用多媒体辅助教学，将整个单元的知识框架呈现在学生面前，使学生对本单元内容有了整体认识，有助于单元教学的进行。在多媒体课件的演示下，使书本的知识“动”起来，增强数学的直观性，使学生更好地理解数形结合思想，激发学生的求知欲。采用教师主导、学生主体、思维主线的三主教学法，结合“以学生为本”的教学原则和实际情况，确定教学模式为：质疑—合作—探究式。教学过程中，充分尊重学生的主体地位，培养学生整体性思维，提升学生数学学科核心素养。
五、章首课教学设计
章首课 函数的概念与表示
（一）课时教学内容：
本节课的内容选自普通高中教科书数学必修第一册第三章的第一节。本节是“函数概念与性质”单元的第一节，有着特殊的地位。它是在学生学习了初中函数的基础上提出来的，是对函数概念的进一步深化和提升。初中是从变量的角度来定义函数，而本节要学习的函数概念是从集合的角度，利用集合间元素的对应关系来刻画函数。从函数概念中提炼出函数的三要素，引出函数的三种表示法。在本节学习中渗透的函数思想，是学习函数单调性、最大（小）值、函数奇偶性的基础，为后面学习基本初等函数奠定理论基础.
由于初中的数学主要是以形象、通俗的语言进行表达。而此阶段的学生，刚刚进入高中，他们受初中数学学习影响较大。在接触到抽象的集合符号语言和函数符号语言时，学生会感到困难，所以在教学中教师要注意这方面的讲解。此外，本阶段的高中生已经能撇开具体事物，运用抽象概念进行逻辑思维，对事物之间的内在联系已有基本的了解，已经初步形成了分析问题、解决问题的能力，有较好的合作意识，他们思维活跃，有较强的求知欲，动手能力强，这对本课的学习很有帮助，有利于教师开展单元教学。在知识经验方面，学生在初中就已学习过函数的相关内容，对函数的知识已有了解，在此基础上学习本节内容，多数学生可以顺利完成.
（二）课时教学目标：
1.理解函数的概念，了解函数的三要素;
2.通过探究、交流、反思等活动，体会函数概念的形成过程，提高学生分析、解决问题的能力;
3.从具体实例中抽象概括出函数的概念，培养学生的数学抽象素养.
（三）教学重点与难点
1.教学重点：理解函数的概念，掌握函数的三要素.
2.教学难点：能从不同问题中抽象出函数概念，准确找出函数的三要素，即定义域、值域和对应关系，培养学生的数学抽象素养.
（四）教学过程设计
【问题1】观察章头图，你有什么发现？
师生活动：
1.学生观察章头图，分析其中有哪些图片、图片中透露出什么信息；
2.教师对学生介绍天宫二号所表现出的运动与变化
设计意图
通过对学生介绍天宫二号所表现出的运动与变化，激发学生对未知领域的好奇心与学习兴趣，并由此体会函数在现实中的广泛运用，从而使学生感受到进一步学习函数的必要性.
追问：请阅读章引言，结合章头图思考，学习函数有什么重要意义？
师生活动：
1.学生阅读章引言，将其进行归纳后分别进行阐述；
2.教师将学生的发言进一步归纳，以确保语言的精炼和准确.
设计意图
学习函数主要有三方面主要意义：一是客观世界中各种运动变化现象可以用函数模型刻画；二是函数概念及其反映的思想方法不仅是进一步学习数学的基础，也是学习其他学科的重要基础，更是解决问题的重要工具；三是本章的学习内容、过程与方法.
【问题2】在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？对函数概念是如何定义的？
师生活动：
1.学生回答
2.教师板书三种函数的表达式 .
设计意图
通过复习初中学过的几种函数类型，回顾函数的定义来引入，巩固旧知，建立新旧知识间的联系，降低了学生的认识难度，使新课内容更易学生接受，便于接下来的课堂教学.
【问题3】观察书上的这几个实例，思考它们有什么共同特征？
实例1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.
实例2.如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
实例3.国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
师生活动：
1.学生观察书上的实例分组讨论，举手发言；
2.教师进行归纳.
设计意图
引导学生通过观察具体实例来抽象出函数概念，培养学生逻辑推理和数学抽象素养.
【追问】你能从集合中元素对应关系的角度，抽象概括出函数的概念吗？一个函数由哪几部分构成？
师生活动：
1.学生讨论发言；
2.教师总结归纳，给出函数的概念，并引导学生从函数概念中提炼出函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
设计意图
1.从集合的角度定义函数的概念；函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
2.在探究函数概念的过程中，通过小组讨论，合作交流，锻炼学生的协作能力，调动学生的学习积极性.在师生一问一答的过程中，将新知逐渐渗透给学生，符合学生的认知基础，有利于核心素养的培养.
【例1】下列图象中表示函数图象的是(　　)
设计意图
通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）目标检测设计
1.集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（　　）
A． B．f：x→y=2﹣x C． D．
2.变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：
x 1 2 3 1 5 6
y –1 –2 –3 –4 –1 –6
w 2 0 1 2 4 8
z 0 0 0 0 0 0
下列说法正确的是
A．y是关于x的函数 B．w不是关于x的函数
C．z是关于x的函数 D．z不是关于x的函数