2021-2022学年数学 人教A版（2019）必修第一册第五章“三角函数”单元-章首课教学设计

第五章“三角函数”单元-章首课教学设计
一、内容及其解析
1.内容：任意角和弧度制；三角函数的概念；诱导公式；三角函数的图象与性质；三角恒等变换；函数；三角函数的应用.
2.内容解析：
内容的本质：三角函数是继函数学习之后的一类特殊函数，它沟通了代数与几何，是学生第一个学习的多对一的函数，但同时与其他幂指对初等函数一样，是刻画现实世界中运动变化现象的典型模型，也在高等数学中有较为广泛的应用，例如它是欧拉公式的基础，是高中数学教学中的重要内容.
蕴含的数学思想和方法：学习三角函数的过程中对学生的数学语言、数学眼光以及数学思维发展具有促进作用，例如本单元中较为典型的数学建模、恒等变换、数形结合等数学思想方法均是发展学生数学思维能力的良好思想或方法.数形结合思想主要体现在结合单位圆的性质发现诱导公式、性质从函数图像及函数解析式两个角度探讨等方面；逻辑推理主要是三角恒等变换应用与化简三角公式时，数学运算主要在求三角函数值的过程中渗透。实际上，三角恒等变换渗透了一个数学的重要思想——变换思想（只变其形，不变其质），这是数学公式学习的一个重要方法，更能帮助学生灵活应用公式进行运算，该部分在教材导引与章节小结中均有所提及。因此在该单元的教学中教师要鼓励学生应用数学结合思想解决问题，结合变形思想帮助学生建构知识结构框架，发展学生辨别知识本质的能力.
知识的上下位关系：基于对教材与课标的分析，三角函数单元包含的教学内容有任意角与弧度制、三角函数概念、诱导公式、三角函数的图像及性质、同角三角函数的基本关系式、函数的性质及图象，两角和与差公式与简单的恒等变换.
其中，“任意角”与“弧度制”是建立三角函数概念的基础；“诱导公式一”反应的是“周而复始的现象”；其他诱导公式则是“单位圆几何性质——对称性”的代数表示；“同角三角函数的基本关系”是三角函数下正弦函数、余弦函数以及正切函数之间的“关联”体现，是三角函数得到的研究对象，因此属于三角函数在数学方面的应用；“两角和与差的余弦公式”与“简单的恒等变换公式”是从“三角函数概念”出发得到的运算性质，但从单位圆视角看该代数关系反应的是“圆的旋转不变性”。基于以上分析，为了便于构建三角函数单元的教学主线，将三角函数单元内容进一步划分为三角函数的背景、三角函数的概念、三角函数的性质、三角函数的关联内容（“关联内容”指的是与核心研究对象具有包含关系、被包含关系以及并列关系的内容）、三角函数的运算以及三角函数的应用，可得到三角函数的单元知识结构图如下：
育人价值：教科书在内容的编排上参照了知识的发生发展过程，利用“观察”“思考”“探究”等栏目自然地提出问题，引导学生层层深入地进行思考.通过推广、特殊化等方式环环相扣地给出了一条观察事物（情境）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.
教学重点：
由前面三角函数单元的教学内容分析可知，“任意角”与“弧度制”是建立三角函数概念的基础，“诱导公式”与“同角三角函数的基本关系”是三角函数概念出发推导出的简单性质，“函数的图象”可看作三角函数经过四则运算或复合运算得到的研究对象，因此属于三角函数在数学方面的应用，“两角和与差的余弦公式”与“简单的恒等变换公式”是从“三角函数概念”出发得到的运算性质。基于以上分析，三角函数的概念是本单元教学内容的中心，因此本单元的教学重点为“借助单位圆理解三角函数概念”.
二、教学目标及其解析
1.单元目标
本单元是在学习函数概念、一般性质以及幂指对函数的基础上，学习三角函数。掌握三角函数的概念及性质，感受三角函数是刻画现实世界中周期现象和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合、数学建模等思想。单元教学目标具体如下：
（1）背景要求：了解三角函数的实际背景，感受三角函数在刻画现实世界中周期现象的应用，能体会到在“周而复始”的变化现象中匀速圆周运动的代表性.
（2）预备知识要求：了解三角函数单元下的任意角和弧度制，能实现弧度制与任意角的相互转化；感受到引入弧度制的必要性.
（3）概念与简单性质要求：经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解三角函数的定义，发展数学抽象核心素养；借助单位圆能画出正弦函数的图像和推导出诱导公式；借助单位圆与三角函数图像理解函数性质（周期性、奇偶性和最值)；理解同角三角函数的基本关系式、
（4）运算性质要求：掌握（正弦、余弦及正切）两角和与差的公式和二倍角公式，知道公式间的内在逻辑联系；能应用公式开展简单的恒等变换（包括和积互化公式以及半角公式），体会变换思想，发展数学运算和逻辑推理素养；
（5）对函数图像产生的影响；结合具体实例了解在实际中的意义，知道参数变化对函数图象产生的影响；能用复合三角函数处理简单的实际问题，感受三角函绘周期变化的典型数学模型，进一步体会建模思想.
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
学生能理解三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题上的作用；
引导学生充分利用生活经验和其它学科的知识，为三角函数的学习提供丰富充实的背景支撑，以信息技术为媒介感受三角函数在刻画周期变化中的重要作用；
充分利用章首课，引导学生从“刻画一类周期现象的重要数学模型”的角度来认识三角函数.
3.本章知识结构图
（1）教材内容安排
单元教学思路图
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
学生在学习三角函数之前已经学习了锐角三角函数以及函数的相关知识。依据前面比较锐角三角函数与任意角三角函数的结果可知，锐角三角函数的有些知识会促进任意角三角函数相关结论的发现，例如锐角三角函数中已有的相关结论（例如同角三角函数间的关系）可引导学生推导任意角中同角三角函数的关系，又例如“初中所学角的内容”利于学生构建“任意角的学习主线”；有些知识会造成任意角三角函数学习的困难。例如，锐角三角函数是从纯几何的角度用线段长度来定义，而任意角三角函数是从解析的角度用点的坐标来定义，造成学生难以理解任意角三角函数的定义方式。学生通过对函数相关内容的学习，掌握了函数的知识以及积累了一定的函数研究方法，但在探究三角函数的相关性质时仍存在一定的难度，需要教师给予引导或提示。三角函数单元中在解决问题的过程中所涉及的数形结合思想、推理（逻辑推理与合情推理）、特殊到一般等常见数学思想方法有一定的理解，但是对函数与方程思想、恒等变换等数学思想方法较为薄弱.
2.教学难点：
“函数的图象”是最简单的三角函数复合运算和四则运算得来的，相对于最简单的三角函数更为抽象，结合前面调查结果，多数学生难以建立“函数”与“函数”之间的联系，无论是从解析式的角度还是从图象角度，学生即使在学习完三角函数后仍存在较大困难，而“函数”又是刻画现实世界中周期现象的基本模型凸显了其不可或缺的地位，因此本单元将“认识参数、、对函数图象的影响，会求函数的图象与性质，体会函数与函数之间的内在关系”作为本单元的单元教学难点.
四、教学方式分析
三角函数是高中阶段学习的最后一个函数，学生已经有了研究函数、幂函数、指数函数以及对数函数的学习经验，在研究思路以及研究方法上学生已经有一定的基础。基于此，本单元的教学更为侧重“引导发现方式”与“活动交流方式”，例如“三角函数的概念”，教师帮助学生经历“周期现象——圆周运动——单位圆上点的运动”的过程，学生调动已有的“函数概念”，在教师引导下建立三角函数的概念；又例如，“诱导公式”的本质是“点周而复始运动”（诱导公式 1）和“单位圆对称性”的体现，后者是单位圆的几何性质，教师可以引导学生用刚学习的三角函数来表示该几何性质，即将几何性质代数表示，经历“定性到定量”的过程。由于恒等变换公式间具有较强的内在联系，教师可以与学生对所有公式进行整理分析后，再采取“活动交流方式”进行教学.
本单元涉及的函数图像较多，为降低学生学习的难度，将图形直观化是一个有效的途径，因此结合计算机辅助教学在三角函数图像的研究过程中具有较大的作用.
五、章首课教学设计
章首课 周期现象
（一）课时教学内容：
“三角函数单元起始课”的知识点主要包含呈现生活中与其他学科中的周期现象，指出三角函数是刻画周期现象的典型模型，形成三角函数单元的研究主线。在对典型的三角函数模型进行抽象的过程中，蕴含了数学抽象和数学建模思想。该部分内容在教材中主要分布在三角函数章引言与章头图.本节课是三角函数单元的教学起点，既帮助学生感受到三角函数的广泛应用来提升学生学习的兴趣，也对三角函数的本质特点进行了暗示.
学生在小学阶段与初中阶段都在学习“找规律”，在“找规律”的教学中就涉及了周期现象的解释，因此高中阶段的学生对“周期现象是什么”是能判断的，但对于“周期现象的概念及特点”还需要教师引导学生进行归纳补充。对“周期现象”进行抽象得到较为简单与本质的模型过程需要学生的抽象思维能力，学生在函数与几何图形的学习过程中有一定的基础，教学中需要教师引导；学生在学习函数与幂指对函数时积累了一定的函数研究经验，对提出三角函数单元的研究内容有一定的帮助.
（二）课时教学目标：
基于对教学内容与学情分析的分析结果及对三角函数的内容要求，设置了如下的教学目标：
对现实生活中以及物理中周期运动的展现，归纳分析出周期现象的概念及特点；
（2）明确三角函数是刻画周期现象的典型模型之后，感受三角函数在刻画现实世界中周期现象的广泛应用，并体会到匀速圆周运动在“周而复始”的变化现象中的代表性，体会数学抽象与数学建模思想;
（3）结合已有的函数学习经验，初步提出三角函数的研究内容，再形成单元研究主
线，发展提出问题的能力.
（三）教学重点与难点
1.教学重点：感受三角函数在周期现象中的广泛应用，体会到匀速圆周运动的代表性；结合已有的学习经验提出三角函数的研究路线.
2.教学难点：从周期现象中抽象出“在单位圆上点以匀速速率做圆周运动”.
（四）教学过程设计
【问题1】生活中或其他学科学习中我们遇见过或了解过哪些周期现象？
师生活动：
1.学生结合生活情况进行列举，预设回答：昼夜更替是由地球自转引起的周期现象、海水涨潮等生活例子；匀速圆周运动、交流电的变化等物理现象；生物学科中的细胞分裂；
2.教师引导学生进行总结.
设计意图
通过学生自己提出自己认为的周期现象，不仅能提升数学课堂的积极氛围，也能展现他们是否真的能判断周期现象？为后面抽象周期现象的概念奠定直观基础.
【问题2】请大家参照你们刚才所提出的周期现象例子，归纳出“周期现象”的特点或概念.
师生活动：
1.学生尝试表达自己感受到的特点；
2.教师在部分学生回答后进行引导，逐渐明晰概念，指出“间隔一段时间后会出现相同的现象”.
设计意图
周期现象大部分学生会依靠感觉猜测，对其本质特征并不明晰。经历“归纳特点”的过程也是发展数学抽象思维的关键过程，锻炼学生辨析本质特征的能力.
【问题3】大家列举了生活中以及其他学科中的周期现象，也提炼出了周期现象的本质特征。函数是刻画事物运动变化的典型模型，那是否存在刻画客观世界中的周期性变化规律的模型呢？本单元要学习的三角函数就有此妙用。那现在请学生们先回顾我们目前已经学习了哪些函数内容？
师生活动：
1.学生尝试回忆之前所学过的函数内容；
2.教师通过追问引导学生回忆函数的概念，函数的性质（奇偶性、单调性以及最值），复合函数，幂指对函数，一次函数等.
追问1：幂指对函数进一步学了哪些内容呢？
追问2：与函数有关的内容目前有哪些呢？
追问3：请尝试将我们所提出的内容概括为一条主线？
设计意图
通过上述问题引导过程，学生先将头脑中的知识先展开，再简化为一条主线“概念—图像—性质—典型函数类型—应用”，该主线就是提出三角函数单元教学内容的起点，是三角函数单元复习时知识框架建构的基础。该过程不仅回顾了所学的有关函数的知识，更重要的是回顾学习函数的学习过程，即唤醒学生学习函数的活动经验以及涉及的数学思想方法，因为记忆 “过程”远比只记忆“结果”更容易，可避免学生的浅层学习.
【问题4】本单元要学习三角函数，请你发挥你的好奇心提出三角函数单元需要研究的问题？
师生活动：
1.学生尝试提出本单元需要研究的问题；
2.教师通过追问引导学生.
追问：结合刚才提出的问题，以及类比函数的学习内容提出三角函数需要研究的内容.
设计意图
通过对某一陌生事物的好奇心，提出学生想要了解的问题，也许有些问题没有意义，也有有些问题不在本单元的研讨范围之内，但只有经历过提出问题，才能提升提出问题的能力以及逐渐从数学角度提出问题。学生所提出的单元教学主线显然并不完善，因为他们不能想到任意角与弧度制，该部分在后续学习的过程中完善即可。同时，他们对主线下的内容也并不知道是什么，但是对该单元的宏观认识以及好奇心会促进他们利用已有的学习经验主动探究知识.
【问题5】摩天轮”旋转运动是我们生活中常见的周期现象，抽象可得到摩天轮模型（幻灯片展现摩天轮图片及摩天轮模型）。设 P 点为摩天轮上一点，如何确定 P 点的位置？
师生活动：
1.学生尝试引入直角坐标系得到 P 点的坐标；
2.教师进一步强调，以水平方向为参照方向，某一条半径与水平方向的夹角和旋转方向可确定 P 点的坐标；半径所对应的弧长与旋转方向也可以确定 P 点的坐标.
追问1：情况二中，用一个角和旋转方向来确定 P 点坐标时，如果 P 点按逆时针旋转超过360°后，我们所学的角已经不能继续表示或者表示比较困难，因此我们需将角的概念进行扩充，这也是我们第二课时需要学习的预备知识—任意角.
追问2：在情况三中在旋转方向与旋转起点相同的情况下，“弧长”与“所对应的夹角”是一一对应的，所以是否可以用“实数来刻画角的大小呢”？我们将在第三课时为大家揭晓谜底.
设计意图
通过从“摩天轮”模型中抽象出“点在单元上以匀速速率进行圆周运动”是一个抽象的过程，学生能体会到从众多属性中找出自己所需要的属性（数学属性），只保留本质特征，这就是数学建模的第一步。学生的回答可能多种多样，但是上面三条可分别作为“任意角三角函数的概念”、“任意角”以及“弧度制”课题的引入.
通过两次追问，结合学生所提出的三种情况，分别为后面待学习的内容奠定引入的基础，也可以完善三角函数单元的研究主线.
【问题6】请学生们回想本节课的学习过程，涉及了哪些知识点以及用到的数学思想方法？你认为哪些内容是本节课的重点内容？
师生活动：
1.学生尝试进行总结；
2.教师引导进行精炼表述.
设计意图
该总结改变了以往总结的方式，以往总结一般是回忆本节课的学了哪些知识点与数学思想方法，不关注知识是否连贯，也不注意数学思想方法用于何处。该总结通过回忆学习过程，重新回顾知识的探究过程进一步加深对知识的理解，以及感悟所使用的数学思想方法，积累单元起始的学习经验.
（五）作业布置
1.再次回顾教学过程，提炼出本节课的重点内容.
2.对今天所提出的单元教学主线中的某环节进行思考，可以是细化，也可以是对你感兴趣的内容自己进行先探究，再结合教材予以解答.
六、教学反思
本节课的教学评价可通过听课教师与听课学生进行反馈，可采用访谈、测试等方式进行调查.
对教师的访谈侧重教学目标是否实现？学生的整体表现是怎样的？以及教学改进的建议.
对学生的访谈了解学生知识点以及数学思想方法的掌握情况？能否结合“学习主线”回顾“教学流程”，了解知识点的来弄去末以及明确知识生成过程中涉及的数学方法或数学思想.