2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率教学设计
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 08:17:12 | ||
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文档简介
2.1.1倾斜角与斜率
课时教学内容：
倾斜角与斜率的定义以及斜率公式
课时目标：
理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握两点斜率公式及其应用。
通过数形结合的数学思想方法，提高学生的数学抽象能力
通过小组合作探究学习感受数学学习的乐趣，激发学习数学学习的信心。
教学重点与难点
教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念，两点斜率公式及其应用
教学难点：两点斜率公式的推导
（四）教学过程设计
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
（一）导入新课 问题一：点在平面直角坐标系中是怎样表示的？ 问题二：点是构成直线的基本元素，那我们应该在直角坐标系中如何表示直线呢？首先得在平面直角坐标中确定直线得几何要素，那么需要得几何要素有哪些呢？ 教师通过点在平面直角坐标系中的表示方法引导学生思考由无数个点构成的直线在平面直角坐标中的表示方法 学生通过复习点在平面直角坐标中表示需要的几何要素即表示方法，自主探究直线在平面直角坐标系中确定所需要的几何要素 1、复习旧知：复习点在平面直角坐标系的表示方法 2、将点在平面直角坐标中的表示方法思考直线在平面直角坐标系中的表示方法体将数学知识串联在一起 3、引导学生思考需要确定直线在平面直角坐标系中的几何要素，锻炼学生发现问题的能力和独立思考的好习惯
（二）探索新课 探究一（直线方向的确定的几何要素）： Q1：确定一条直线的几何要素是什么？（图2.1-1） A1：（1）两点确定一条直线（2）一点和一个方向也可以确定一条直线（3）发现两点确定一条直线可以归结为一个点和一个方向确定一条直线:设A、B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量 Q2：在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线,,,...,它们组成一个直线束（图2.1-2）这些直线的区别是什么？ A2：规定水平直线的方向向右，其它直线向上的方向为这条直线的方向。因此这些直线的区别是方向不同 Q3：怎样在平面直角坐标系中表示这些方向？ A3：这些直线与X轴的倾斜程度不同即与x轴所成的角不同，因此可以用这些角来表示这些方向 倾斜角的定义：当直线与x轴相交时，以x轴为基准。x轴方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 Q4：我们可以发现直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角，规定当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0，因此取值范围为？ A4:0180 Summary:在平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，倾斜程度不同故倾斜角不等。因此可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。 1、教师将问题一以小组讨论的方式让学生进行讨论总结。将确定一条直线的要素讲清；2、教师对问题二进行全班提问；引出问题三倾斜角的定义，通过对特殊直线的倾斜角的点播提问学生倾斜角的范围如何表示； 3、教师让学生同桌之间讨论总结平面直角坐标系中的直线倾斜角的特点 1、学生进行四人一组讨论后派小组代表总结小组所得出的确定一条直线的几何要素；2、学生仔细观察图像发现直线的区别；学生通过教师对直线倾斜角的取值的点拨后独立思考得出倾斜角的取值范围； 3、学生讨论总结倾斜角特点。 通过逐步引导从已掌握的知识点出发，使数学知识系统连贯的串联在一起，自然而然地引出倾斜角的概念
探究二（倾斜角）： 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为 Q1：已知直线l经过O(0,0)，P(，1) 请大家先动手将这条直线在本子上画出这条直线。再小组四人之间探究 Q2：通过你的探究验证下面例子。若直线l经过（-1，1），（，0）？将这条直线在平面直角坐标系中画出。验证你们的探究 Q3：一般地，要是我们设（，），（，）（其中）是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点，两点的坐标有什么内在联系吗？ A 1：对于问题一（如图）向量=(,1),且直线OP的倾斜角为，由正切函数的定义有tan== A2：对于问题二我们可以类似问题一的解决方法进行处理，同学独立思考后四人一小组对答案讨论。（如图） =(-1-,1-0)= (-1-,1)，平移向量到，则点P的坐标为(-1-,1)，且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义有tan==1- A3：对于问题三，一般地， （1）当的方向向上时，（如图）=(, ),平移向量到，则点P的坐标为(, ),且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义，有tan= （2）当的方向向上时，（如图）=(, ),也有tan= tan== Summary：因为规定的向量不同，故计算倾斜角是只需要规定的后一个点的纵坐标减去前一个点的横坐标即可 Q4：当直线与x轴平行或重合时，上述式子是否成立 A4:成立 Q5：（小练习）对于过两点A(,),与B(,)的直线l求这条直线的倾斜角；对于过两点A(,),与B(,) 求这条直线的倾斜角。 1、教师让学生在本子上画出问题的直线，并小组四人探究与O，P的坐标的关系 2、教师让学生在本子上画出问题的直线，先独立思考验证问题得到的结论是否正确？教师给予小组代表评价后进行再次推理演绎。 3、对于一般的情形让学生小组讨论出一般情形的公式，再进行一般情形的推理。并让学生将数学符号语言转化成文字语言（见summary） 4、对于问题四让学生独立思考后举手回答问题 5、让学生独立完成练习 1、小组代表举手回答，并询问其他小组是否存在不同的意见 2、学生小组讨论一般情形后举手回答再阅读教材 3、学生自主探究问题四 4、学生独立完成练习 1、教师将课堂回归到学生通过学生自主探究和小组合作交流的学习方式探究数学问题充分体现了学生的主体性地位。2、从特殊到一般归纳符合数学学习过程，学生讨论归纳出一般情形有助于学生对知识本质的理解。师生互动体现数学课堂的基本要求 3、让学生经历概念的形成过程
探究三（斜率）： 将tan给予更严格的定义：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan Q1：如果某条直线的倾斜角是90，那么这条直线斜率还存在吗？ A1：不存在，根据三角函数tan的定义域可知在90时函数值取不到 Q2：倾斜角=30时，这条直线的斜率？=120，这条直线的斜率？ A2：（教师画出tan的大致图像）根据正切函数的单调性，说明倾斜角不同的直线其斜率也不同。这说明倾斜角与斜率存在的是一一对应的关系，前面已经说明了可由倾斜角表示直线在平面直角坐标系中的方向那么由于这种一一对应的关系说明斜率也可表示直线的方向。因此由此刻得到k=tan= Q3：我们现在已经从哪几个方面刻画了直线相对于x轴的倾斜程度？ A3:形的角度：倾斜角，数的角度：斜率 Q4： （1）已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：=45，= （2）已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：k=0，k= 1、教师让学生独立思考问题一后，学生进行小组讨论并回答说明理由。 2、让学生口答后一起探究倾斜角和斜率存在的内在联系 3、让学生小组讨论思考总结探究一与探究二 1、学生自主探究 2、学生小组讨论刻画直线相对于x轴的倾斜程度 1、教师首先让学生独立思考后进行小组讨论使得数学课堂有意义。 2、教师给出一个新的定义后及时给予习题练手能够及时检查学生对定义的理解程度有多少。
探究四：（一些易错点和难点） Q1：已知直线上的两点（，），（，）运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A,B两点的顺序有关吗？ Q2：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗，为什么？ Q3: 直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，那么直线的方向向量的坐标为(, )，当直线与x轴不垂直时，，此时也是直线的方向向量，且坐标为(, ) =(1,)= (1,),其中k为直线的斜率,k= 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k= Q4：（1）例1（如图）已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？ （2）例2：经过A(0,2)，B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),求k的值 1、教师让学生分别运用A,B两点不同顺序进行计算自主探究出答案后同桌之间核对答案 2、学生小组讨论 3、教师让两位学生上黑板完成，其余学生在位置上完成 1、学生自主探究 2、学生小组讨论 3、学生独立完成习题 教师将倾斜角易错点和斜率的易错点整合突出强调难点
（三）巩固新课 练1： 已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角 （1）A(a, c),B(b, c) （2）C(a, b),D(a, c) （3）P(b, b+c),Q(a, c+a) 练2： 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角 （1）C(18,8),D(4,-4) （2）P(0,0),Q(-1,3)
（四）课堂小结 1、刻画一条直线在平面直角坐标系中的方向有两个维度“形”和“数”的维度 2、直线的倾斜角的求法和取值范围 3、直线的斜率的求法及斜率不存在的情况 教师让学生四人一小组讨论这节课所学的内容 能从此块内容中学习到什么数学学习思想方法，有什么感悟 学生小组讨论派代表上台回答后询问其他小组是否有所补充，从“知识技能，过程与方法，情感态度和价值观方面”体会 教师让学生小组讨论后总结，把课堂归还给学生。让学生经历总结的过程。
（五）作业布置 学案1-8题 根据学生的能力将作业分为必做题和选做题
（五）目标检测设计
目标检测题：
已知直线的倾斜角为,则关于x轴对称的直线的倾斜角是多少？
检测目标：理解直线的倾斜角与斜率的概念
M为何值时，经过两点A(m, 2),B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是60°
检测目标：掌握两点斜率公式及其应用
设计意图：通过不同问题的特点，进一步把握学习倾斜角与斜率的本质，熟练掌握两点斜率公式
课时教学内容：
倾斜角与斜率的定义以及斜率公式
课时目标：
理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握两点斜率公式及其应用。
通过数形结合的数学思想方法，提高学生的数学抽象能力
通过小组合作探究学习感受数学学习的乐趣，激发学习数学学习的信心。
教学重点与难点
教学重点：直线的倾斜角与斜率的概念，两点斜率公式及其应用
教学难点：两点斜率公式的推导
（四）教学过程设计
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
（一）导入新课 问题一：点在平面直角坐标系中是怎样表示的？ 问题二：点是构成直线的基本元素，那我们应该在直角坐标系中如何表示直线呢？首先得在平面直角坐标中确定直线得几何要素，那么需要得几何要素有哪些呢？ 教师通过点在平面直角坐标系中的表示方法引导学生思考由无数个点构成的直线在平面直角坐标中的表示方法 学生通过复习点在平面直角坐标中表示需要的几何要素即表示方法，自主探究直线在平面直角坐标系中确定所需要的几何要素 1、复习旧知：复习点在平面直角坐标系的表示方法 2、将点在平面直角坐标中的表示方法思考直线在平面直角坐标系中的表示方法体将数学知识串联在一起 3、引导学生思考需要确定直线在平面直角坐标系中的几何要素，锻炼学生发现问题的能力和独立思考的好习惯
（二）探索新课 探究一（直线方向的确定的几何要素）： Q1：确定一条直线的几何要素是什么？（图2.1-1） A1：（1）两点确定一条直线（2）一点和一个方向也可以确定一条直线（3）发现两点确定一条直线可以归结为一个点和一个方向确定一条直线:设A、B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量 Q2：在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线,,,...,它们组成一个直线束（图2.1-2）这些直线的区别是什么？ A2：规定水平直线的方向向右，其它直线向上的方向为这条直线的方向。因此这些直线的区别是方向不同 Q3：怎样在平面直角坐标系中表示这些方向？ A3：这些直线与X轴的倾斜程度不同即与x轴所成的角不同，因此可以用这些角来表示这些方向 倾斜角的定义：当直线与x轴相交时，以x轴为基准。x轴方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 Q4：我们可以发现直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角，规定当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0，因此取值范围为？ A4:0180 Summary:在平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，倾斜程度不同故倾斜角不等。因此可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。 1、教师将问题一以小组讨论的方式让学生进行讨论总结。将确定一条直线的要素讲清；2、教师对问题二进行全班提问；引出问题三倾斜角的定义，通过对特殊直线的倾斜角的点播提问学生倾斜角的范围如何表示； 3、教师让学生同桌之间讨论总结平面直角坐标系中的直线倾斜角的特点 1、学生进行四人一组讨论后派小组代表总结小组所得出的确定一条直线的几何要素；2、学生仔细观察图像发现直线的区别；学生通过教师对直线倾斜角的取值的点拨后独立思考得出倾斜角的取值范围； 3、学生讨论总结倾斜角特点。 通过逐步引导从已掌握的知识点出发，使数学知识系统连贯的串联在一起，自然而然地引出倾斜角的概念
探究二（倾斜角）： 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为 Q1：已知直线l经过O(0,0)，P(，1) 请大家先动手将这条直线在本子上画出这条直线。再小组四人之间探究 Q2：通过你的探究验证下面例子。若直线l经过（-1，1），（，0）？将这条直线在平面直角坐标系中画出。验证你们的探究 Q3：一般地，要是我们设（，），（，）（其中）是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点，两点的坐标有什么内在联系吗？ A 1：对于问题一（如图）向量=(,1),且直线OP的倾斜角为，由正切函数的定义有tan== A2：对于问题二我们可以类似问题一的解决方法进行处理，同学独立思考后四人一小组对答案讨论。（如图） =(-1-,1-0)= (-1-,1)，平移向量到，则点P的坐标为(-1-,1)，且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义有tan==1- A3：对于问题三，一般地， （1）当的方向向上时，（如图）=(, ),平移向量到，则点P的坐标为(, ),且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义，有tan= （2）当的方向向上时，（如图）=(, ),也有tan= tan== Summary：因为规定的向量不同，故计算倾斜角是只需要规定的后一个点的纵坐标减去前一个点的横坐标即可 Q4：当直线与x轴平行或重合时，上述式子是否成立 A4:成立 Q5：（小练习）对于过两点A(,),与B(,)的直线l求这条直线的倾斜角；对于过两点A(,),与B(,) 求这条直线的倾斜角。 1、教师让学生在本子上画出问题的直线，并小组四人探究与O，P的坐标的关系 2、教师让学生在本子上画出问题的直线，先独立思考验证问题得到的结论是否正确？教师给予小组代表评价后进行再次推理演绎。 3、对于一般的情形让学生小组讨论出一般情形的公式，再进行一般情形的推理。并让学生将数学符号语言转化成文字语言（见summary） 4、对于问题四让学生独立思考后举手回答问题 5、让学生独立完成练习 1、小组代表举手回答，并询问其他小组是否存在不同的意见 2、学生小组讨论一般情形后举手回答再阅读教材 3、学生自主探究问题四 4、学生独立完成练习 1、教师将课堂回归到学生通过学生自主探究和小组合作交流的学习方式探究数学问题充分体现了学生的主体性地位。2、从特殊到一般归纳符合数学学习过程，学生讨论归纳出一般情形有助于学生对知识本质的理解。师生互动体现数学课堂的基本要求 3、让学生经历概念的形成过程
探究三（斜率）： 将tan给予更严格的定义：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan Q1：如果某条直线的倾斜角是90，那么这条直线斜率还存在吗？ A1：不存在，根据三角函数tan的定义域可知在90时函数值取不到 Q2：倾斜角=30时，这条直线的斜率？=120，这条直线的斜率？ A2：（教师画出tan的大致图像）根据正切函数的单调性，说明倾斜角不同的直线其斜率也不同。这说明倾斜角与斜率存在的是一一对应的关系，前面已经说明了可由倾斜角表示直线在平面直角坐标系中的方向那么由于这种一一对应的关系说明斜率也可表示直线的方向。因此由此刻得到k=tan= Q3：我们现在已经从哪几个方面刻画了直线相对于x轴的倾斜程度？ A3:形的角度：倾斜角，数的角度：斜率 Q4： （1）已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：=45，= （2）已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：k=0，k= 1、教师让学生独立思考问题一后，学生进行小组讨论并回答说明理由。 2、让学生口答后一起探究倾斜角和斜率存在的内在联系 3、让学生小组讨论思考总结探究一与探究二 1、学生自主探究 2、学生小组讨论刻画直线相对于x轴的倾斜程度 1、教师首先让学生独立思考后进行小组讨论使得数学课堂有意义。 2、教师给出一个新的定义后及时给予习题练手能够及时检查学生对定义的理解程度有多少。
探究四：（一些易错点和难点） Q1：已知直线上的两点（，），（，）运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A,B两点的顺序有关吗？ Q2：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗，为什么？ Q3: 直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，那么直线的方向向量的坐标为(, )，当直线与x轴不垂直时，，此时也是直线的方向向量，且坐标为(, ) =(1,)= (1,),其中k为直线的斜率,k= 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k= Q4：（1）例1（如图）已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？ （2）例2：经过A(0,2)，B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),求k的值 1、教师让学生分别运用A,B两点不同顺序进行计算自主探究出答案后同桌之间核对答案 2、学生小组讨论 3、教师让两位学生上黑板完成，其余学生在位置上完成 1、学生自主探究 2、学生小组讨论 3、学生独立完成习题 教师将倾斜角易错点和斜率的易错点整合突出强调难点
（三）巩固新课 练1： 已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角 （1）A(a, c),B(b, c) （2）C(a, b),D(a, c) （3）P(b, b+c),Q(a, c+a) 练2： 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角 （1）C(18,8),D(4,-4) （2）P(0,0),Q(-1,3)
（四）课堂小结 1、刻画一条直线在平面直角坐标系中的方向有两个维度“形”和“数”的维度 2、直线的倾斜角的求法和取值范围 3、直线的斜率的求法及斜率不存在的情况 教师让学生四人一小组讨论这节课所学的内容 能从此块内容中学习到什么数学学习思想方法，有什么感悟 学生小组讨论派代表上台回答后询问其他小组是否有所补充，从“知识技能，过程与方法，情感态度和价值观方面”体会 教师让学生小组讨论后总结，把课堂归还给学生。让学生经历总结的过程。
（五）作业布置 学案1-8题 根据学生的能力将作业分为必做题和选做题
（五）目标检测设计
目标检测题：
已知直线的倾斜角为,则关于x轴对称的直线的倾斜角是多少？
检测目标：理解直线的倾斜角与斜率的概念
M为何值时，经过两点A(m, 2),B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是60°
检测目标：掌握两点斜率公式及其应用
设计意图：通过不同问题的特点，进一步把握学习倾斜角与斜率的本质，熟练掌握两点斜率公式