3.2.1 几类不同增长的函数模型 课后作业（Word版，含答案）

3.2.1 几类不同增长的函数模型
基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
3．如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是(　　)
A．x＞0 B．x＞2 C．x＜2 D．0＜x＜2
4．有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ D．v＝2t－2
5．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
6.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：
①前5 min温度增加越来越快；②前5 min温度增加越来越慢；③5 min后温度保持匀速增加；④5 min后温度保持不变．其中说法正确的是(　　)
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
二、填空题
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型.
8．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中正确信息的序号是________．
三、解答题
9．对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)？
10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.
能力提升
一、选择题
1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
2．下列函数中在某个区间(x0，＋∞)内随x增大而增大速度最快的是(　　)
A．y＝2 007lnx B．y＝x2 007 C．y＝ D．y＝2 007·2x
3．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
二、填空题
4．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2000ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
三、解答题
6．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54,58.为了预测以后各月的患 病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
答案
基础巩固
一、选择题
1．[答案]　B
[解析]　由函数的特征可知，对数函数y＝log6x增长速度最慢．
2．[答案]　D
[解析]　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；
对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
3．[答案]　D
[解析]　由函数图象可知，当04．[答案]　C
[解析]　A中，当t＝1.99时，v＝log21.99＜1，当t＝4时，v＝log24，显然A不满足；
B中v＝logt，当t＝1.99，3.0,4.0,5.1,6.12时v＜0，故B不满足；
D显然也不满足，故选C.
5．[答案]　D
[解析]　显然四个函数中，指数函数是增长最快的，
故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
6.[答案]　C
[解析]　前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；
5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以②③正确，故选C.
二、填空题
7．[答案]　甲
8．[答案]　①②③
[解析]　看时间轴易知①正确；
骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；
两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，
④错误．
三、解答题
9．[解析]　设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：
连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.
则＝.
∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴>1，即M>N.
因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．
10．[解析]　由题意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝，
设再过t分钟水桶甲中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，
所以()＝(e－5n)＝e－n(t＋5)＝＝()3，
∴＝3，∴t＝10.
∴再过10分钟水桶甲中的水只有.
能力提升
一、选择题
1．[答案]　A
[解析]　由散点图可知，与指数函数似合的最贴切，故选A.
2．[答案]　C
[解析]　由于当自变量x大于某个数x0时，指数的增长是“爆炸式”的，且底数越大，增长越快，又e>2，故函数y＝随x增大而增大的速度最快．
3．[答案]　A
[解析]　依题意，当0＜x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；
当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝×(1＋)×1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋.
二、填空题
4．[答案]　2ln2,1024
[解析]　∵当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.
当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.
5．[答案]　e6－1
[解析]　设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.
三、解答题
6．[解析]　依题意：
得即解得
∴甲：y1＝x2－x＋52，
又
①－②，得p·q2－p·q1＝2　④
②－③，得p·q3－p·q2＝4　⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④式，得p＝1，
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50，
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
7．[解析]　(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，
∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10，
∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝()t－a，得a＝0.1，
综上可知y＝
(2)令y＝0.25，解得t1＝0.025，t2＝0.6，
∴从药物释放开始，至少需要0.6小时后，学生才能回到教室．
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