2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.5.函数的应用（二）课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
在数学的发展史上，方程的求解一直都是数学发展、数学教育和数学研究的最核心环节之一.
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题. 约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法…
前面我们学习了函数的知识，那么函数和方程有什么关系呢？面对一个实际问题，我们又该选择什么函数模型来加以解决呢？这正是函数的应用(二)所要解决的问题！让我们先从下面的问题开始吧！
4.5 函数的应用（二）
4.5.1函数的零点与方程的解
问题1：下列方程有实数根吗？
一.生成概念
(1) x2-2x-3=0
(2) x2-2x+1=0
(3) x2-2x+3=0
追问 还有其它方法判断方程
x2-2x-3=0有实数根吗？
f(x)=x2-2x-3
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数解
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
3
.
y
x
0
2
1
1
2
y= x2－2x+3
方程的实数解就是对应函数图象与x轴交点的横坐标。
结 论:
思考：这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c 的图象
ax2+bx+c=0 的根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x
y
0
函数的图象
与 x 轴的交点
两个交点(x1,0) , (x2,0)
无交点
两个相等的实数根x1 = x2
无实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横坐标。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数
y= ax2+bx+c(a>0)的图象:
x1=x2
一个交点(x1,0)
1.函数的零点
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
注意:(1) 零点是一个实数
零点是一个点吗
推广到更一般的情况:
归纳:
1.代数法：函数零点就是相应方程的实数根，可解相应方程求函数的零点．
2.几何法：作出函数y＝f(x)的图象，确定图象与x轴的交点的横坐标，求函数的零点．
1. 函数f(x)=(x － 1)(x +2)的零点是（ ）
A.(1,0)，(－ 2,0)， B. 1， － 2
C.(0,1)，(0, － 2)， D. － 1， 2
练习1
2. (1)f(x)＝ 2x－1的零点是________.
B
0
(2)函数f(x)=
的零点是________.
观察1 函数f(x)= x2-2x-3在其零点附近函数值的变化情况.
(1).f(-2)f(1)__0 (>或<),
<
(2).f(2)f(4)__0 (>或<),
<
二.发现定理
f(x)=x2-2x-3
f(x)在开区间(-2,1)内___ (有/无)零点
f(x)在开区间(2,4)内___ (有/无)零点
有
有
观察2 函数y=f(x)在其零点附近的函数值的变化情况.
(1)f(a)f(b)__0(>或<),
<
f(x)在开区间(a,b)内___ (有/无)零点；
<
<
有
(2)f(b)f(c)__0(>或<),
f(x)在开区间(b,c)内___ (有/无)零点；
有
(3)f(c)f(d)__0(>或<),
f(x)在开区间(c,d)内___ (有/无)零点.
有
问题2 你发现了什么？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上
有f(a)f(b)﹤0，那么函 数y=f(x)在(a,b)内有零点，即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
的图象是连续不断的一条曲线，并且
猜想：
2.函数零点存在性定理
观察函数图象（如右图）并思考：
O
-1
1
-1
1
函数f(x)满足了f(-1)f(1)<0,它在区间
(-1,1)上有没有零点？
至少有一个，
可以有多个.
注意: (1)两个前提条件缺一不可.
(2)“有零点”是指有几个零点呢？
只有一个吗？
（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？
x
y
0
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)﹤0，并且是单调函数，那么函 数y=f(x)在(a,b)内有且仅有一个零点.
x
y
0
x
y
0
反之不成立！
(5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。
(4) 若函数y= f(x)在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
例1.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( 　)
A.(－1，0) 　B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
归纳: 判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论．
B
练习2.
1.函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D. (4，5)
B
2.方程lg x＋x＝0的根所在的区间可能是(　　)
A.(－∞，0)　B.(0.1，1) C.(1，2) D.(2，4)
B
解：要使lg x有意义，必须x>0.
令f(x)＝lg x＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，
又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1，1)内有零点．
3.根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（ ）
A.(－1，0) 　B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
C
ex－x－2 －0.63 －1 －0.28 3.39 15.09
练习2.
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
解析　由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．
练习3.
B
函数f(x)＝lg x－1的零点个数是(　　)
A. 0 　B.　1　　C.　2　　D．3
例2
归纳: 判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断.
(2)结合函数的图象进行判断.
1.函数f(x)=1/x－2的零点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知函数f(x)=
则函数g(x)=f(x)-1的零点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
B
C
4. 函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数是（ ）
A. 0 　B.　1　　C.　2　　D．3
练习3.
3．已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是______．
[0，1)
例 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
分析：函数f(x)=lnx+2x-6 (x>0) 是否有零点？有几个？
条件1：函数f(x)在(0,+∞)上的图象是连续不断的
条件2：f( )>0，f( )<0
解：∵f(x)在(0,+∞)上的图象是连续不断的
∴函数f(x)在区间(1,3)内有零点
又∵函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增
∴函数f(x)=lnx+2x-6(x>0)只有一个零点
又∵f(1)=-4<0，f(3)=ln3>0
∴f(1)·f(3)<0
函数y=lnx+2x-6零点的个数
数形结合
两个函数 的交点的个数
方程lnx=6-2x 根的个数
两个函数 的交点的个数
函数y=lnx+2x-6与x轴交点的个数
方程lnx+2x-6=0根的个数
x
y
0
1
6
3
归纳:确定函数零点个数的主要方法
1.解相应的方程，确定方程的实根个数．
2.能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，
数形结合求解．
1．方程ex ＋x -2＝0的根的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
练习4
x
y
0
1
2
2
解析：作出函数g(x)＝ ex和h(x)＝2－x的图象，
B
2. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．a＞b＞c D．c＞a＞b
解:　f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B.
三.课堂小结
一个关系：函数零点与方程根的关系
方程 的根
函数 的零点
函数 的图象与x轴交点的横坐标
1.
2.一个定理：零点的存在性定理
函数与方程
数形结合
四.作业
五.课后思考:
1.若方程log3 x＋x－3=0的解所在的区间为(k，k＋1)，
则整数k的值为______．
2
1.第155页第2题
2.已知函数 和g(x)＝ 2x ,
设h(x)= f(x) － g(x) ,试通过图象确定h(x) 的零点个数？
f(x)=