(共22张PPT)
5.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
D
5
B
6
7
8
9
C
A
B
10
C
见习题
30°
A
见习题
11
12
见习题
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A
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．【2021·云南】如图，直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( )
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
B
2．【2021·河南】如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．90° B．100°
C．110° D．120°
D
3．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上．若∠2＝50°，求∠1的度数．
解：∵AB∥EF，∠2＝50°，∴∠A＝∠2＝50°.
又∵AC∥DF，∴∠1＝∠A＝50°.
4．【2021·恩施州】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝____．
30°
5．【2021·新疆】如图，直线DE过点A，且DE∥BC.若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
C
6．【2021·眉山】如图，将直角三角尺放置在长方形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为( )
A．42°
B．48°
C．52°
D．60°
A
7．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B.若∠1＝54°，则∠2等于( )
A．126° B．134°
C．136° D．144°
A
8．【2021·岳阳】将一副直角三角尺按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为( )
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
【点拨】如图，由题意知，∠ABC＝45°＋60°＝105°.∵a∥b，∴∠1＋∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°－∠ABC＝180°－105°＝75°，
故选C.
【答案】C
9．【2021·聊城】如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为( )
A．95° B．105°
C．110° D．115°
【点拨】∵AB∥CD，∠ABC＝130°，
∴∠BCD＝∠ABC＝130°.
∵∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝130°－55°＝75°.
∵CD∥EF，∴∠CEF＝180°－∠DCE＝180°－75°＝105°，故选B.
【答案】B
10．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，试说明：∠B＝∠D.
解：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠B＝∠D.
11．【2021·白银】如图，直线DE∥BF，直角三角形ABC的直角顶点B在BF上，若∠CBF＝20°，则∠ADE＝( )
A．70° B．60°
C．75° D．80°
【点拨】∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝70°.
∵DE∥BF，∴∠ADE＝∠ABF＝70°，
故选A.
A
解：∵EF∥GH，∴∠DBC＝∠FAC＝72°.
∵三角形的内角和为180°，
∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠ACD＝180°－72°－58°＝50°.
12．【中考·重庆】如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B.若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∠1＋∠2＝180°.
由折叠易得∠DEF＝∠D′EF，∴∠DEF＝∠D′EF＝60°.
∴∠1＝180°－∠DEF－∠D′EF＝60°.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝120°.
13．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，如图所示．若∠EFG＝60°，求∠1与∠2的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B.
∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F.
14．【2021·武汉】如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，试说明：∠DEF＝∠F.
15．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°.求∠BPC的度数．
解法一：过点P作PN∥AB，如图①所示．
∵AB∥CD，PN∥AB，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
解法二：过点P作PM∥AB，
如图②所示．
∵AB∥CD，PM∥AB，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.
∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
解法三：过点C作CE∥PB，交BA的反向延长线于点E，如图③所示．
∵CE∥PB，∴∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠3.
∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠3＝180°，
即∠E＋∠2＝180°－∠3.
∴∠BPC＝∠E＋∠2＝∠1＋∠2＝57°.(共20张PPT)
5.2 平行线及其判定
第2课时 用同位角、第三直线判定两直线平行
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
(1)平行；平行 (2)平行
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1
2
3
4
＝
5
平行
6
7
8
9
B
见习题
(1)a；b (2)b；c
10
见习题
见习题
B
见习题
11
12
见习题
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见习题
13
见习题
1．【教材P12思考改编】如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为____________．
平行
2．【2021·桂林】如图，直线a，b被直线c所截，当∠1______∠2时，a∥b.(用“>”“<”或“＝”填空)
＝
3．已知：如图，∠1＝120°，∠C＝60°，判断AB与CD是否平行，为什么？
解：AB∥CD.理由如下：
因为∠1＝120°，
所以∠2＝180°－∠1＝180°－120°＝60°.
因为∠C＝60°，所以∠2＝∠C.
所以AB∥CD.
4．(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线________ .简称为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线___________．
(2)平行线的传递性．简称为：平行于同一条直线的两条直线________．
平行
平行
平行
5．如图，AB∥CD，CD∥EF，则AB与EF的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．相交或平行
D．无法确定
B
6．【2020·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b.理由是( )
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B
7．如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＝∠2，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由如下：
因为∠1＝∠2(__________)，
所以AB∥EF(____________________________)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
已知
同位角相等，两直线平行
所以AB∥CD
(_______________________________________________)．
所以CD∥EF(___________________________________)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
8．如图，已知∠2是直角，再量出∠1或∠3就会知道两条铁轨是否平行．
方案一：若量得∠3＝90°，结合∠2的情况，说明两条铁轨是否平行．
方案二：若量得∠1＝90°，结合∠2的情况，说明两条铁轨是否平行．
解：方案一：如果量得∠3＝90°，而∠2＝90°，
所以两条铁轨都与枕木垂直．
那么两条铁轨平行(______________________________________________)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
方案二：如果量得∠1＝90°，而∠2＝90°，
所以∠1＝∠2.
那么两条铁轨平行(______________________________)．
同位角相等，两直线平行
9．如图，已知∠1＝68°，∠2＝68°，∠3＝112°.
(1)因为∠1＝68°，∠2＝68°，
所以∠1＝∠2.
所以________∥________
(同位角相等，两直线平行)．
b
a
(2)因为∠3＋∠4＝180°(平角的定义)，∠3＝112°，
所以∠4＝68°.
又因为∠2＝68°，所以∠2＝∠4.
所以________∥________(同位角相等，两直线平行)．
c
b
10．如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB.试说明BF∥AC.
解：因为BE平分∠DBF(________)，
所以______＝______(___________________)．
又因为∠1＝∠ACB(________)，
所以∠2＝∠ACB(____________)．
已知
∠1
∠2
角平分线的定义
已知
等量代换
同位角相等，两直线平行
所以BF∥AC(_______________________)．
11．用一副三角尺拼图如图所示，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.试说明CF∥AB.
解：因为CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
所以∠DCF＝ ∠DCE＝ ×90°＝45°.
因为∠ABC＝45°，
所以∠ABC＝∠DCF.
所以CF∥AB.
12．如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．
解：CE∥DF.理由如下：
因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
所以∠DBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB.
又因为∠ABC＝∠ACB，所以∠DBC＝∠ECB.
又因为∠DBF＝∠F，所以∠ECB＝∠F.
所以CE∥DF.
13．如图，已知直线l1，l2，l3被直线l所截，∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝72°.试说明l1∥l2∥l3.
解：如图所示．
因为∠1＝72°，所以∠4＝∠1＝72°.
因为∠3＝72°，所以∠4＝∠3. 所以l1∥l3.
因为∠2＝108°，
所以∠5＝180°－∠2＝180°－108°＝72°.
所以∠5＝∠3.所以l2∥l3. 所以l1∥l2∥l3.(共25张PPT)
5.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
A
5
相等；相等；互补
6
7
8
9
D
C
A
10
D
C
相等；相等；互补；平行；垂直
A
见习题
12
13
见习题
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见习题
11
见习题
1．若两直线平行，则同位角______，内错角________，同旁内角________．
相等
相等
互补
2．【2021·宜昌】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
A
3．【2021·济宁】如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是( )
A．72°28′ B．101°28′
C．107°32′ D．127°32′
C
4．同位角________或内错角________或同旁内角________或________(________)于第三条直线(在同一平面内)，符合上述条件之一，两直线平行．
相等
相等
互补
平行
垂直
5．【中考·恩施州】如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3
D．∠2＝∠4
D
6．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：
①AB∥CD；②AE∥DF；
③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND.
其中正确的有( )
A．①②④ B．②③④
C．③④ D．①②③④
A
7．【2021·金华】某同学的作业如下框，其中※处填的依据是( )
如图，已知直线l1，l2，l3，l4.若∠1＝∠2，则∠3＝∠4.
请完成下面的说理过程．
解：已知∠1＝∠2，
根据(内错角相等，两直线平行)，
得l1∥l2．
再根据(____※____)，得∠3＝∠4.
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
8．【2021·东营】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
【点拨】过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠GEF＋∠EFD＝180°.
∵EF⊥CD，∴∠EFD＝90°，
∴∠GEF＝180°－∠EFD＝90°.
∵∠BEF＝∠BEG＋∠GEF＝150°，
∴∠BEG＝∠BEF－∠GEF＝60°.
∵EG∥AB，∴∠ABE＝∠BEG＝60°.
故选D.
【答案】D
9．【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36° B．34°
C．32° D．30°
【点拨】过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°.
∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°.
A
10．如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠C＝∠D.
(1)判断BC与DE的位置关系，并说明理由；
解：BC∥DE.理由如下：
∵∠1＝80°，∠2＝100°，∴∠1＋∠2＝180°.
∴BD∥CE.∴∠D＝∠CEF.
∵∠C＝∠D，∴∠C＝∠CEF.
∴BC∥DE .
(2)若∠A＝35°，求∠F的度数．
解：由(1)知BC∥DE，∴∠A＝∠F.
∵∠A＝35°，∴∠F＝35°.
11．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试说明：CE∥GF；
解：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF.
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
解：∠AED＋∠D＝180°.理由如下：
∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD.
∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG.
∴AB∥CD.∴∠AED＋∠D＝180°.
(3)若∠D＝30°，求∠AED的度数．
解：∵∠AED＋∠D＝180°，∠D＝30°，
∴∠AED＝150°.
12．如图，已知∠1＝∠2，∠BAC＝20°，∠ACF＝80°.
(1)求∠2的度数．
解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝20°，∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，∴∠2＝80°.
(2)FC与AD平行吗？为什么？
平行．理由如下：
∵∠2＝∠ACF＝80°，∴FC∥AD.
(3)根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由．
解：∠ADB＝∠FCB.理由如下：
由(2)知FC∥AD，∴∠ADB＝∠FCB.
13．【探索】小明和小亮在研究一个数学问题：
已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
【发现】在图①中，小明和小亮都发现∠APC＝∠A＋∠C.
小明是这样解答的：过点P在∠APC的内部作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠A(_______________________)．
∵PQ∥AB，AB∥CD，
两直线平行，内错角相等
∴PQ∥CD(________________________________)．
∴∠CPQ＝∠C.
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C，
即∠APC＝∠A＋∠C.
小亮是这样解答的：过点P作PQ∥AB∥CD.
∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C.
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C，
即∠APC＝∠A＋∠C.
平行于同一条直线的两条直线平行
请在上面解答过程中的横线上填写依据．
两人的解答过程中，完全正确的是________．
【应用】在图②中，若∠A＝120°，∠C＝140°，则∠P的度数为________；
在图③中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为________．
小明
100°
40°
解：∠P＝∠A－∠C.理由如下：
过点P作PG∥AB，则∠APG＋∠A＝180°.
∴∠APG＝180°－∠A.
∵AB∥CD，PG∥AB，∴PG∥CD. ∴∠CPG＋∠C＝180°.
∴∠CPG＝180°－∠C.
∴∠APC＝∠CPG－∠APG＝180°－∠C－(180°－∠A)＝∠A－∠C.
【拓展】在图④中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．(共19张PPT)
素养集训
2．解相交线与平行线问题的八种思想方法
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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见习题
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见习题
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见习题
见习题
1．如图，AB∥CD，探讨∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
【点拨】过点P作直线与AB(或CD)平行，为说明角之间的数量关系创造条件．
解：∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
理由：如图，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE.
∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
2．若平行线EF，MN与相交线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
【点拨】从原图中分离出“三线”，分别计数后相加即可．
解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．
3．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m．绿化的面积为多少？
【点拨】把小路“平移”后，求绿化面积可转化为求长方形的面积．
解：如图，把小路分别平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分(四边形EFCG)是长方形．
∵ CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，
∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2)．
∴绿化的面积为540 m2.
4．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD.若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．
解：设∠COD＝x.
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，
∴∠COF＝ ∠BOC，∠EOD＝ ∠AOD.
∵∠EOF＝x＋∠COF＋∠EOD＝170°，
∴∠COF＋∠EOD＝170°－x.
又∵x＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°，
∴x＋2(170°－x)＋90°＝360°.
∴x＝70°，即∠COD＝70°.
5．【中考·武汉】如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF.求证∠E＝∠F.
【点拨】由∠A＝∠1可得AE∥BF.由AE∥BF无法直接证得∠E＝∠F，可以把∠2作为“桥梁”，问题得证．
证明：∵∠A＝∠1，∴AE∥BF.
∴∠E＝∠2.
∵CE∥DF，∴∠2＝∠F.∴∠E＝∠F.
6．【2020·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°
B．15°
C．18°
D．30°
B
证明：由对顶角相等，得∠CNF＝∠END.
∵∠CNF＋∠BMN＝180°，∴∠END＋∠BMN＝180°.
∴AB∥CD.∴∠EMB＝∠END.
又∵∠1＝∠2，
∴∠END＋∠2＝∠EMB＋∠1，即∠ENQ＝∠EMP.
∴MP∥NQ.
7．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.求证：AB∥CD，MP∥NQ.
8．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是线段CD上的一个动点．当点P在线段CD上运动时，探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
【点拨】解决动点问题时，常常需要分类讨论．本题中点P在线段CD上运动，应考虑到点P与点C，D重合的情况．
解：当点P在C，D之间时，过点P作PE∥AC，则PE∥BD，如图①所示．
∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1.
∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3.
∵∠2＝∠APE＋∠BPE，
∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点C重合时，∠1＝0°，如图②所示．
∵l1∥l2，∴∠2＝∠3.
∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点D重合时，∠3＝0°，如图③所示．
∵l1∥l2，∴∠2＝∠1.
∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.
综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.
9．如图，点O在直线AC上，OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC.
(1)若∠AOB＝120°，求∠EOF的度数；
解：∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝180°－120°＝60°.
∵OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOB＋∠BOF＝ ∠AOB＋ ∠BOC
＝ ×120°＋ ×60°＝90°.
解：OE⊥OF.理由如下：
∵∠EOF＝∠EOB＋∠BOF＝ ∠AOB＋ ∠BOC
＝ (∠AOB＋∠BOC)＝ ×180°＝90°，
∴OE⊥OF.
(2)若∠AOB的度数未知，判断OE与OF的位置关系，并说明理由．
【点拨】根据(1)的结果可猜想出OE与OF的位置关系，再利用平角和角平分线的定义说明．(共22张PPT)
5.2 平行线及其判定
第1课时 平行线及其基本事实
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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相交和平行
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8
9
(1)直线l (2)靠 (3)移 (4)画
直线外；一
平行；平行；b∥c
10
见习题
见习题
C
略
A
11
12
见习题
答案显示
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
平行线的定义包括三个方面：(1)_____________；(2)________________；(3)____________．
在同一平面内
不相交
都是直线
2．在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：____________________________．
相交和平行
3．【教材P17习题T11变式】观察如图所示的长方体，回答下列问题：
(1)用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1______AB，AA1________AB，A1D1__________C1D1，AD________BC.
(2)AB与B1C1所在的直线不相交，它们______平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在________内，两条不相交的直线才是平行线．
∥
⊥
⊥
∥
不是
同一平面
4．如果线段AB与线段CD没有交点，则( )
A．线段AB与线段CD一定平行
B．线段AB与线段CD一定不平行
C．线段AB与线段CD可能平行
D．以上说法都不正确
C
5．如图，经过点P画一条直线使它与直线l平行．
画法：(1)一落：把三角尺的一边落在______上；
(2)二______：紧靠三角尺的另一边放一直尺AB；
(3)三______：把三角尺沿直尺的边移到三角尺的第一边恰好经过点P的位置；
(4)四________：沿三角尺的这一边画直线l′.
l′就是所要作的过点P与直线l平行的直线．
直线l
靠
移
画
6．【教材P12练习变式】读下列语句，并画出图形：点P在直线AB外，直线CD经过点P，与直线AB垂直，直线MN也经过点P，与直线AB平行．
略
7．经过________一点，有且只有______条直线与这条直线平行．
直线外
一
8．如图，若MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是______________________________________________．
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
9．如果两条直线都与第三条直线________，那么这两条直线也互相________．
用数学符号表示为：如果b∥a，c∥a，那么______．
平行
平行
b∥c
10．【中考·吉林】曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
A
11．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A.
(1)判断a与c的位置关系，并说明理由；
解：a∥c.理由如下：
因为直线a∥b，b∥c，所以a∥c.
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
c与d相交．理由如下：
因为c∥a，直线d与a相交于点A，所以c与d相交．
12．完成推理并在括号内填上理由：
(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，
所以AB______EF
(_________________________________________________________)；
∥
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
(2)如图②，过点F可画EF∥AB
(________________________________________________)，
又因为AB∥CD，
所以EF______CD
(_______________________________________________________________)．
∥
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
13．如图，按要求画图．
①经过BC上一点P画AB的平行线，交AC于点T；
②过点C画MN∥AB .
直线PT，MN有什么关系？请说明理由．
解：如图所示．
直线PT∥MN.
理由：因为PT∥AB，MN∥AB，所以PT∥MN.
解：在同一条直线上．理由如下：
因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l平行，而经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
所以AB，BC为同一条直线．
所以A，B，C三点在同一条直线上．
14．在同一平面内，已知A，B，C是直线l同旁的三个点．
(1)若AB∥l，BC∥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？
解：在同一条直线上．理由如下：
因为AB，BC都经过点B，且都与直线l垂直，而在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以AB，BC为同一条直线．
所以A，B，C三点在同一条直线上．
(2)若AB⊥l，BC⊥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？
15．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线BE，与(1)中的平行线交于点E；
(4)用符号表示所作图形中的平行和垂直关系．
解：(1)(2)(3)如图所示．
AB∥CD，AE∥BC，BE⊥AB，BE⊥DC.
16．问题：两条直线可以将平面分成几部分？
解：如图a，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；
如图b，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
根据上述内容，解答下面的问题．
(1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想(填“转化”“分类”或“整体处理”)；
分类
(2)三条直线可以将平面分成几部分？
解：如图所示．
三条直线可以把平面分成四部分或六部分或七部分．(共26张PPT)
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
5.3 平行线的性质
第3课时 命题、定理、证明
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1
2
3
4
B
5
判断；题设；结论
6
7
8
9
真命题；假命题
C
经过推理证实的真命题
10
B
A
D
①②④
证明；反例
11
12
B
答案显示
C
13
C
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．命题的定义与结构：________一件事情的语句叫做命题，命题常写成“如果……那么……”的形式．“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是__________．
判断
题设
结论
2．【2020·雅安】下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
B
3．命题“对顶角相等”的“题设”是( )
A．两个角是对顶角
B．角是对顶角
C．对顶角
D．以上都不正确
A
4．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是( )
A．平行
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线平行于同一条直线
D
5．命题可分为__________和________．如果题设成立，那么结论一定成立的命题是真命题；命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题是假命题．
真命题
假命题
6．【中考·庆阳】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是____________(填写所有真命题的序号)．
①②④
7．下列命题中，是真命题的是( )
A．同位角相等
B．相等的角是直角
C．若|y|＝2，则y＝±2
D．若ab＝0，则a＝0
C
【点拨】相等的角不一定是对顶角，比如直角，故③是假命题；内错角相等的前提是两直线平行，故④是假命题．
8．给出以下命题：
①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③相等的角是对顶角；④内错角相等．其中假命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
9．_________________________叫做定理．
经过推理证实的真命题
10．证明与举反例：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做________；判断一个命题是假命题，只要举出一个________就可以了．
证明
反例
11．下列命题可以作为定理的有( )
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
12．【2021·荆州】阅读下列材料，①～④步中数学依据错误的是( )
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c.
证明：①∵a⊥b(已知)，
∴∠1＝90°(垂直的定义)．
②又∵b∥c(已知)，
∴∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).
③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．
④∴a⊥c(垂直的定义).
A.① B．② C．③ D．④
【答案】B
【点拨】①∵a⊥b(已知)，∴∠1＝90°(垂直的定义)．
②又∵b∥c(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．
④∴a⊥c(垂直的定义)．
①～④步中数学依据错误的是②，
故选B.
13．【2020·宜昌】能说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )
C
14．举反例说明下列命题是假命题：
(1)互补的两个角一个是钝角，一个是锐角；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
解：∠A＝90°，∠B＝90°，∠A与∠B互补，但∠A与∠B为两个直角．
|－3|＝|3|，但－3≠3.(答案不唯一)
(3)内错角相等；
(4)一个正数与一个负数之和是0.
解：如图，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2.
3与－5的和为－2，不为0.(答案不唯一)
15．(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB.求证FG⊥AB.
证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
∴CD∥FG.∴∠BFG＝∠CDB.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
∴∠BFG＝90°.∴FG⊥AB.
(2)若把(1)题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
解：是真命题．理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG.∴∠2＝∠3.
又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.∴DE∥BC.
(3)若把(1)题设中的“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
解：是真命题．理由如下：
同(2)可得∠2＝∠3.
∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.
16．推理填空：
如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证AB∥CD.
证明：∵∠1＝∠2(已知)，且∠1＝∠4(__________)，
∴∠2＝∠4(等量代换)．
∴CE∥BF(________________________)．
∴∠____＝∠3(________________________)．
又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠3＝∠B(等量代换)．
∴AB∥CD(________________________)．
对顶角相等
同位角相等，两直线平行
C
两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行
17．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为题设，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
(1)请按照“如果……，那么……”的形式，写出所有正确的命题；
解：①如果AB∥CD，AM∥EN，
那么∠BAM＝∠CEN.
②如果AB∥CD，∠BAM＝∠CEN，
那么AM∥EN.
③如果AM∥EN，∠BAM＝∠CEN，
那么AB∥CD.
(2)在(1)的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
证明：(选择命题①)∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CEA.
∵AM∥EN，∴∠3＝∠4.
∴∠BAE－∠3＝∠CEA－∠4，
即∠BAM＝∠CEN.(答案不唯一)(共26张PPT)
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
5.4 平移
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1
2
3
4
A
5
直线方向；平移；平移
6
7
8
9
见习题
12
A
10
D
D
D
3
方向；距离；方向和距离
11
12
A
答案显示
C
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．把一个图形整体沿着某一__________移动，会得到一个新的图形，这种移动叫做________．
______是运动的一种形式，是图形变换的一种．
直线方向
平移
平移
2．【2020·上海】如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，为平移重合图形的是( )
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正六边形 D．圆
A
3．以下现象：①水管里水的流动；②滑雪运动员在笔直的雪道上滑行；③射出的子弹；④火车在笔直的铁轨上行驶．其中是平移的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
D
4．在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是( )
D
5．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是________．连接各组对应点的线段_____________________________；新图形与原图形上的对应线段_____________________________，对应角_______．
对应点
平行(或在同一条直线上)且相等
平行(或在同一条直线上)且相等
相等
6．【2021·鞍山】如图，三角形ABC沿BC所在直线向右平移得到三角形DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为________．
3
7．【2020·青海】如图，将周长为8的三角形ABC沿BC边向右平移2个单位长度，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为________．
12
8．如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，则图中平行线共有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
D
9．如图，直径为4 cm的圆O1向右平移5 cm得到圆O2，则图中阴影部分的面积为( )
A．20 cm2 B．10 cm2
C．25 cm2 D．16 cm2
A
【点拨】把半圆形O2向左平移，与半圆形O1重合，则阴影部分转化为长方形，它的面积为5×4＝20(cm2)．
10．平移是由平移的_______和_______决定的，所以在平移作图时，要先明确图形原来的位置及平移的________________，再画图．
方向
距离
方向和距离
11．下列平移作图错误的是( )
C
··
12．如图，在10×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面平移步骤正确的是( )
A．先向左平移5个单位长度，再向下平移
2个单位长度
B．先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
A
13．如图，三角形ABC沿MN的方向平移一定距离后，成为三角形DEF.
(1)图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段？
解：相等的线段有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AD＝BE＝CF；
平行的线段有：AB∥DE，BC∥EF，
AC∥DF，AD∥BE∥CF.
(2)若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，直接写出∠DEF和∠DFE的度数．
解：∠DEF＝60°，∠DFE＝70°.
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，三角形ABC平移到三角形DEF的位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
解：平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度．
(2)求证AD＋BC＝BF.
证明：∵三角形ABC平移到三角形DEF的位置，∴CF＝AD.
∵CF＋BC＝BF，∴AD＋BC＝BF.
15．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF.已知BE＝5，EF＝8，CG＝3，求图中阴影部分的面积．
解：∵直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，
∴三角形ABC的面积与三角形DEF的面积相等，BC＝EF，BC∥BF.
∴三角形ABC的面积－三角形DBG的面积＝三角形DEF的面积－三角形DBG的面积，四边形GBEF为梯形．
∴阴影部分的面积与梯形GBEF的面积相等．
∵EF＝8，CG＝3，
∴BG＝BC－CG＝EF－CG＝5.
又∵BE＝5，∴阴影部分的面积＝(5＋8)×5× ＝32.5.
16．如图，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°.将三角板ECD沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在AB上，即点E′处，点P为AC与E′D′的交点．
(1)求∠CPD′的度数；
解：由平移的性质知DE∥D′E′，
∴∠CPD′＝∠CED＝60°.
(2)求证AB⊥E′D′.
证明：由平移的性质知CE∥C′E′，∠CED＝∠C′E′D′＝60°，
∴∠BE′C′＝∠A＝30°.∴∠BE′D′＝90°.
∴AB⊥E′D′.
17．【教材P31习题T6变式】如图，图形的操作过程(本题4个图形中的长方形均相同，长为a，宽为b)：在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2，得阴影部分A1A2B2B1，在图②中将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到B1B2B3，得阴影部分A1A2A3B3B2B1.
(1)在图③中，请你类似设计一个有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形；
解：如图．
ab－b
(2)请你分别写出三个图中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＝________，S2＝________，S3＝______；
ab－b
ab－b
(3)拓展运用：图④为一块长方形地，中间有一条小路(小路任何地方水平宽均是1个单位长度)，其余部分种草，求草地的面积，并说明理由．
解：S4＝ab－b.
理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”将左侧的草地向右平移一个单位长度，得到一个新长方形，它的长为(a－1)，宽为b，故其面积是(a－1)b＝ab－b.(共23张PPT)
5.2 平行线及其判定
第3课时 用内错角、同旁内角判定两直线平行
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
相等；∠2
6
7
8
9
∠1＋∠3＝180°
D
D
10
C
D
见习题
D
对顶角相等；已知；3；同旁内角互补，两直线平行
11
12
见习题
答案显示
垂直的定义；内错角相等，两直线平行
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．内错角________，两直线平行．
如图，若∠3＝________，
则a∥b.
相等
∠2
2．【中考·福州】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
B
3．【2021·铜仁】直线AB，BC，CD，EG如图，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD
B．∠EFB＝40°
C．∠FCG＋∠3＝∠2
D．EF>BE
D
4．如图，已知∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，∠1＝35°，判断AB与CD的位置关系．
解：∵∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝ ∠DAB＝35°.
又∵∠1＝35°，∴∠1＝∠CAB.∴AB∥CD.
5．【中考·南京】如图，用符号语言表达定理“同
旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵_______________，∴a∥b.
∠1＋∠3＝180°
6．【2020·梧州】如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是( )
A．∠2＝∠6
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠5＋∠6＝180°
【点拨】A.∠2和∠6是内错角，内错角相等两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
B．∠2＋∠3＝180°，∠2和∠3是同旁内角，同旁内角互补两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
C．由图可知∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠4，∠2和∠4是同位角，能判定a∥b，不符合题意；
D．∠5＋∠6＝180°，∠5和∠6是邻补角，和为180°，不能判定a∥b，符合题意；故选D.
【答案】D
7．【教材P15习题T2变式】如图，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，则另一侧铺设的角度为( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
D
8．【教材P36复习题T8(1)变式】如图，下列能判定AB∥CD的条件有( )
①∠B＋∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
9．【2020·郴州】如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5
D．∠1＝∠2
D
10．如图，∠1＋∠2＝180°，a与b平行吗？为什么？补全下面的说理过程．
解：a∥b.理由如下：
∵∠1＝∠3(____________)，
∠1＋∠2＝180°(________)，
∴∠________＋∠2＝180°(等量代换)，
∴a∥b(__________________________).
对顶角相等
已知
3
同旁内角互补，两直线平行
11．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，可得到BE∥CF.说明过程如下，请在括号里填上推理的依据．
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠BCD＝90°(_________________)．
∴∠ABC＝∠BCD.
又∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB.
∴BE∥CF(_______________________________)．
垂直的定义
内错角相等，两直线平行
12．如图，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°.
试说明：DE∥BC，DF∥AB.
根据图形，完成下面的推理：
解：∵∠1＝65°，∠2＝65°，∴∠1＝∠2.
∴______∥______(________________________)．
∵AB与DE相交，∴∠1＝∠4(________________)．
∴∠4＝65°.
又∵∠3＝115°，∴∠3＋∠4＝180°.
∴______∥______(__________________________)．
DE
BC
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
DF
AB
同旁内角互补，两直线平行
13．【中考·淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°.找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2.∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°.∴OA∥BC.
【点拨】两种方法分别用了同位角和内错角的关系说明这两条直线平行，方法虽不同，但实质是相同的，最后都通过平行线的判定方法得到所要说明的结果．
14．如图，已知∠B＝∠C，点A，B，D在一条直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线．试说明AE∥BC.
解法一：∵∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠DAC＝2∠B.
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAC＝2∠1.∴∠B＝∠1.∴AE∥BC.
解法二：∵∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠C.
∵AE是∠DAC的平分线，∴∠DAC＝2∠2.∴∠C＝∠2.
∴AE∥BC.
15．如图，MN⊥AB，∠B＝130°，∠FCB＝40°.判断直线MN，EF的位置关系，并说明理由．
【点拨】添加辅助线是解决说理问题和计算问题的重要方法，它架起已知与未知之间的桥梁．当题目中已有的图形不能够或不易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形来解决问题．
解：MN∥EF.理由如下：
(方法一)过点B作BG⊥AB，如图①所示．
∵AB⊥MN，BG⊥AB，
∴MN∥BG，∠ABG＝90°.
又∵∠ABC＝130°，∴∠GBC＝40°.
又∵∠FCB＝40°，∴∠GBC＝∠FCB.
∴BG∥EF.∴MN∥EF.
(方法二)反向延长射线BA交EF于点G，如图②所示．
∵∠ABC＝130°，
∴∠GBC＝180°－∠ABC＝50°.
又∵∠FCB＝40°，
∴∠BGC＝180°－∠GBC－∠FCB＝90°.
∴AG⊥EF.又∵AG⊥MN，
∴MN∥EF.
(方法三)延长CB交MN于点G，如图③所示．
∵MN⊥AB，∴∠1＝90°.
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABG＝180°－∠ABC＝50°.
∴∠NGB＝180°－∠ABG－∠1＝40°.
又∵∠FCB＝40°，
∴∠NGB＝∠FCB.∴MN∥EF.(共10张PPT)
素养集训
1．识别相交线中的几种角
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
②
5
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)请写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；
解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOE的对顶角是∠BOF，∠EOC的对顶角是∠DOF.
(2)若∠AOC＝50°，求∠BOD，∠BOC的度数．
解：因为∠AOC的对顶角是∠BOD，
∠AOC＝50°，所以∠BOD＝50°.
因为∠BOC是∠BOD的邻补角，
所以∠BOC＝180°－50°＝130°.
2．下列图形：
其中∠α与∠β互为邻补角的是__________(填序号)．
②
3．【教材P8习题T2变式】如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠BOD内部的一条射线．
(1)分别写出∠AOE和∠AOD的邻补角；
解：∠AOE的邻补角为∠BOE；∠AOD的邻补角为∠BOD和∠AOC.
对顶角有∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC.
(2)写出图中所有的对顶角．
4．如图，∠1和∠2，∠3和∠4分别是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么角？
解：题图①中，∠1和∠2是直线AB与CD被直线BD所截形成的内错角；∠3和∠4是直线AD与BC被直线BD所截形成的内错角．
题图②中，∠1和∠2是直线AB与CD被直线BC所截形成的同位角；∠3和∠4是直线AB与BC被直线AC所截形成的同旁内角．
5．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如：从起始角∠1跳到终点角∠3的路径有：
试一试：
(1)写出从起始角∠1跳到终点角∠8的一种路径；
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？能的话，写出其路径．
解：(答案不唯一)
从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8.其路径为：(共22张PPT)
5.1 相交线
第4课时 同位角、内错角、同旁内角
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
C
5
同一方；同
6
7
8
9
C
B
B
10
直线之间；同一旁
D
直线之间
C
A
11
12
见习题
答案显示
B
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角分别在两条直线的________，并且都在第三条直线的________侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
同一方
同
2．【中考·衢州】如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
C
3．【教材P7例2变式】如图，∠1和∠2是同位角的是( )
D
4．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条__________，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
直线之间
5．【教材P7例2变式】【2021·百色】如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2 B．∠3
C．∠4 D．∠5
C
6．下列各图中，∠1与∠2不是内错角的是( )
C
··
7．【中考·广州】如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2
B．∠2，∠6
C．∠5，∠4
D．∠2，∠4
B
8．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条____________，并且都在第三条直线的________，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
直线之间
同一旁
9．【2021·贺州】如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A．∠1与∠2
B．∠1与∠3
C．∠1与∠4
D．∠2与∠4
B
10．【2020·河池】如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
A
11．同学们可仿照如图用双手表示“三线八角”图形(两个大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下面三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
B
12．(1)【教材P9习题T11变式】如图，下列说法中不正确的是( )
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠1和∠ACE是内错角
C．∠B和∠4是同位角
D．∠3和∠1不是内错角
D
(2)【教材P9习题T11变式】如图，∠1和∠2，∠3和∠4，∠4和∠2各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？
解：∠1和∠2是直线AB，CD被直线BD所截形成的内错角；∠3和∠4是直线AB，CD被直线EF所截形成的同位角；∠4和∠2是直线EF，BD被直线AB所截形成的同旁内角．
13．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
(1)画出示意图；
(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2的度数．
解：如图所示．(画法不唯一)
因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，所以∠1＝4∠3.
又因为∠1＋∠3＝180°，所以4∠3＋∠3＝180°.
所以∠3＝36°. 所以∠2＝72°，∠1＝144°.
解：∠1与∠2是内错角，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠4是同位角．
14．如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1)∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么位置关系的角？
(2)∠1与∠5是内错角吗？为什么？
∠1与∠5不是内错角，因为内错角必须在两条被截直线之间．
(3)如果∠1＋∠3＝180°，那么∠1等于∠2吗？∠1和∠5互补吗？为什么？
解：∠1＝∠2，∠1和∠5互补．
理由：因为∠1＋∠3＝180°，∠3＋∠2＝180°，所以∠1＝∠2.
因为∠1和∠3互补，∠3＝∠5，
所以∠1和∠5也互补．
15．探究题：
(1)如图①，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对；
(2)如图②，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对；
4
2
2
12
6
6
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．(用含n的式子表示)
【点拨】本题中的规律也可以这样总结：当n条水平直线被一条竖直直线所截时，内错角和同旁内角各有n(n－1)对，而同位角的对数是内错角的对数的2倍，因此有2n(n－1)对．
2n(n－1)
n(n－1)
n(n－1)(共24张PPT)
5.1 相交线
第3课时 垂线段
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
C
5
见习题
6
7
8
9
垂线段最短
垂线段
C
10
C
垂线段；垂线段最短
C
见习题
见习题
11
12
见习题
答案显示
垂直的定义；∠2；∠2；同角的余角相等；∠B
13
见习题
14
见习题
1．垂线、垂直与垂线段的关系：
(1)区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的________关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段．
(2)联系：_____________________________________________________________________.
位置
垂线段所在的直线是已知直线的垂线，垂线段所在的直线与已知直线垂直
2．如图，下列说法不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是AB
B．点C到AB的垂线段是AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段
C
···
3．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短．简单说成：________________．
垂线段
垂线段最短
4．【2021·杭州】如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( )
A．PT≥2PQ
B．PT≤2PQ
C．PT≥PQ
D．PT≤PQ
C
5．【教材P5探究改编】【2020·吉林】如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_________________．
垂线段最短
6．如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
解：如图．
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
沿BA走；两点之间线段最短．
沿AC走；垂线段最短．
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
解：如图．
沿BD走；垂线段最短．
7．直线外一点到这条直线的__________的长度，叫做点到直线的距离．
垂线段
8．【中考·毕节】如图，三角形ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度
B．线段CM的长度
C．线段CD的长度
D．线段CB的长度
C
9．点P为直线l外一点，点A，B在直线l上，若PA＝5 cm，PB＝7 cm，则点P到直线l的距离( )
A．等于5 cm B．小于5 cm
C．不大于5 cm D．等于6 cm
【点拨】因为PA＜PB，所以点P到直线l的距离不大于PA的长度．
C
10．【教材P6练习变式】如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15.
(1)试写出点A到直线BC的距离及点B到直线AC的距离；
解：因为AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，
所以点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12.
(2)点C到直线AB的距离是多少？
【点拨】点C到直线AB的距离可用三角形面积相等(面积法)求出．
11．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，AB＝13 cm，过点C作CD⊥AB于点D.
(1)找出图中相等的锐角，并说明理由．
(2)求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．
解题过程如下，请补充完整．
解：(1)∠A＝∠2，∠1＝∠B.理由：
因为CD⊥AB(已知)，所以∠CDA＝90°(____________)．
因为∠A＋∠1＋∠ADC＝180°(三角形内角和定理)，
所以∠A＋∠1＝90°.
因为∠1＋____________＝90°，
所以∠A＝________(________________)．
同理可得∠1＝________．
垂直的定义
∠2
∠2
同角的余角相等
∠B
(2)点A到直线BC的距离为________cm，点C到直线AB的距离为线段________的长度．
S三角形ABC＝ ______×______＝ _____×_____ (填线段名称)．
将AC＝12 cm，BC＝5 cm，AB＝13 cm，代入上式，解得CD＝________cm.
所以点C到直线AB的距离为________cm.
12
CD
AC
BC
AB
AB
12．噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近，噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于公路AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题．
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
解：如图，根据“垂线段最短”，过点M作直线AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重．
···
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
解：如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．
13．如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
哪一种方案更省材料？为什么？
解：方案一更省材料．
理由：根据垂线段最短可知CE＜CP，DF＜DP，所以CE＋DF＜CP＋DP.
所以方案一更省材料．
解：因为点C与直线AB上点A，B的连线中，CA是垂线段，所以AC＜BC.
因为点B与直线AC上点A，C的连线中，AB是垂线段，所以AB＜BC.
故AB，AC，BC中，斜边BC是最长的边．
14．在如图所示的直角三角形ABC中，斜边为BC，两直角边分别为AB，AC，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)试用所学知识说明：斜边BC是最长的边；
(2)试化简|a－b|＋|c－a|＋|b＋c－a|.
解：因为BC＞AC，AB＜BC，AC＋AB＞BC，所以a＞b，c＜a，b＋c＞a，
所以a－b＞0，c－a＜0，b＋c－a＞0，
所以原式＝a－b－(c－a)＋b＋c－a＝a.(共21张PPT)
5.1 相交线
第2课时 垂线
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
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1
2
3
4
A
5
见习题
6
7
8
9
见习题
有且只有；上；存在；唯一
B
10
D
B
见习题
略
见习题
11
12
B
答案显示
见习题
13
A
14
见习题
1．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系为__________．
垂直定义的应用格式：
(1)因为∠AOC＝90°，
所以_________；
(2)因为AB⊥CD，
所以_______________________________________．
互相垂直
AB⊥CD
∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°
2．【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
A
3．【教材P8习题T5变式】【2020·乐山】如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB＝( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
B
4．【教材P35复习题T3变式】如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF和∠DOF的大小．
解：因为AB⊥CD，
所以∠BOD＝∠AOD＝90°.
因为∠DOE＝127°，所以∠BOE＝37°.
所以∠AOF＝37°.所以∠DOF＝53°.
5．过直线外(上)一点画直线的垂线，一方面要遵循“一靠二落三画”，其中一靠是___________________________________，
二落是____________________________，
三画是__________________________________；
另一方面要认清过哪个点画已知直线的垂线．
用三角尺的一条直角边靠在已知直线上
使已知点落在另一条直角边上
过已知点画出与已知直线垂直的直线
6．【教材P5练习T2变式】如图．
①过点P画AB的垂线；②过点P分别画OA，OB的垂线；③过点A画BC的垂线．
略
7．在同一平面内，过一点________________一条直线与已知直线垂直．其中，这个点既可以在已知直线_____，也可以在已知直线外；“有且只有”包含两层含义：“有”表示________，“只有”表示_______．
有且只有
上
存在
唯一
8．【2020·河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
D
9．【易错题】【教材P9习题T12改编】如图，已知ON⊥OL，OM⊥OL，所以OM与ON重合，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过已知直线上一点作该直线的垂线只能作一条
D．线段最短
B
10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
解：因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝∠1＋∠AOC＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠NOC＝∠2＋∠AOC＝90°.
所以∠NOD＝180°－∠NOC＝180°－90°＝90°.
解：因为OM⊥AB，
所以∠AOM＝∠BOM＝90°.
因为∠1＝ ∠BOC，所以∠BOC＝∠1＋90°＝3∠1，解得∠1＝45°.
所以∠AOC＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，
∠MOD＝180°－∠1＝180°－45°＝135°.
(2)若∠1＝ ∠BOC，求∠AOC与∠MOD的度数．
11．如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
解：因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠EOF＝ ∠AOE.
又因为∠DOE＝∠BOD，
所以∠FOD＝∠FOE＋∠EOD＝ ∠AOE＋ ∠EOB＝ (∠AOE＋∠EOB)＝ ∠AOB＝90°.所以OF⊥OD.
解：由∠AOC∶∠AOD＝1∶5，得∠AOD＝5∠AOC.
因为∠AOD＋∠AOC＝180°，
所以6∠AOC＝180°，即∠AOC＝30°.
所以∠EOD＝∠BOD＝∠AOC＝30°.
所以∠AOE＝180°－∠AOC－∠EOD＝180°－30°－30°＝120°. 所以∠EOF＝ ∠AOE＝60°.
(2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
12．如图，过点P作直线l的垂线和斜线，下列叙述正确的是( )
A．都能作且只能作一条
B．垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
C．垂线能作两条，斜线可作无数条
D．均可作无数条
B
13．下列说法中，正确的有( )
①两条直线相交，交点叫做垂足；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；
④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；
⑤过一点不能向一条射线或线段所在的直线作垂线；
⑥若l1⊥l2，则l1是l2的垂线，l2不是l1的垂线．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】①两条直线相交的交点不一定是垂足，错误；②正确；③在同一平面内，一条直线有无数条垂线，错误；④线段的垂线是指线段所在直线的垂线，有无数条，正确；⑤错误；⑥l2也是l1的垂线，错误．
【答案】A
解：AE⊥EF.理由如下：
由折叠可知∠1＋∠3＝∠2，又∠1＋∠2＋∠3＝180°，
所以∠2＝90°.所以AE⊥EF.
14．按如图的方法折纸，然后回答问题：
(1)AE与EF垂直吗？为什么？
(2)∠1与∠3有何关系？
解：由(1)知∠1＋∠3＝90°，
故∠1与∠3互余．
(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？
∠1与∠AEC互为邻补角，
∠3与∠BEF也互为邻补角．(共23张PPT)
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
5.3 平行线的性质
第4课时 相交线、平行线中角的计算的四种常见题型
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1
2
3
4
见习题
5
见习题
6
7
8
9
D
见习题
A
10
B
B
见习题
D
30°，45°，120°，135°
11
答案显示
见习题
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数．
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOC＝x°.
∴∠AOE＝2∠BOD＝2x°.
∴∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°.
∵∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°，
∴2x＋x＋2x＋30＝180，解得x＝30.
∴∠AOC＝30°.
2．如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD.
(1)若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
解：∵AB∥ON，∴∠O＝∠MCB，
∵∠O＝50°，∴∠MCB＝50°，
∵∠ACM＋∠MCB＝180°，
∴∠ACM＝180°－50°＝130°，
又∵CD平分∠ACM，∴∠DCM＝65°，
∴∠BCD＝∠DCM＋∠MCB＝65°＋50°＝115°；
(2)求证：CE平分∠OCA；
解：证明：∵CE⊥CD，∴∠DCE＝90°，
∴∠ACE＋∠DCA＝90°，
又∵∠MCO＝180°，∴∠ECO＋∠DCM＝90°，
∵∠DCA＝∠DCM，∴∠ACE＝∠ECO，
即CE平分∠OCA；
(3)当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1∶2两部分，并说明理由．
解：结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1∶2两部分，
①当∠O＝36°时，∵AB∥ON，
∴∠ACO＝∠O＝36°，∴∠ACM＝144°，
又∵CD平分∠ACM，∴∠ACD＝72°，
∴∠ACE＝90°－72°＝18°，
∵CE平分∠OCA，∴∠ACO＝36°，∴∠ACO＝ ∠ACD，
即CA分∠OCD成1∶2两部分．
①当∠O＝90°时，
同理可得：∠ACO＝∠O＝90°＝∠ACM，
∴∠ACD＝45°＝∠ACE，
∴∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝135°，
∴∠ACD＝ ∠ACO.
即CA分∠OCD成1∶2两部分．
3．【2020·孝感】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
B
4．已知OA⊥OB，OC⊥OD.
(1)如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；
解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－50°＝40°.
∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°＋90°＝130°.
(2)如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.
∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD
＝360°－90°－60°－90°＝120°.
(3)根据(1)(2)的结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系，并根据图①说明理由；
解：∠AOD与∠BOC互补．
理由如下：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－∠BOC.
∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.
∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°－∠BOC＋90°
＝180°－∠BOC.
∴∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD与∠BOC互补．
(4)如图②，若∠BOC∶∠AOD＝7∶29，求∠BOC和∠AOD的度数．
解：由(3)可知∠BOC＋∠AOD＝180°，
∴∠BOC＝ ×180°＝35°.
∴∠AOD＝180°－∠BOC＝145°.
5．【2020·荆州】将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( )
A．45° B．55°
C．65° D．75°
D
6．【2021·齐齐哈尔】一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为( )
A．43° B．47°
C．133° D．137°
【点拨】如图，
∵∠1＝47°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－47°＝43°.
∵∠3＋∠4＝180°，∴∠4＝180°－43°＝137°.
∵直尺的两条对边互相平行，∴∠2＝∠4＝137°.故选D.
D
7．【中考·重庆】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
解：∵在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
∴∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
∵GE平分∠FGD，∴∠EGF＝∠EGD＝55°.
∵AB∥CD，∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
又∵∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，
∴∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
8．【2020·常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为( )
A．70°
B．65°
C．35°
D．5°
B
9．【2021·随州】如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为( )
A．15°
B．25°
C．35°
D．45°
【点拨】过三角尺60°角的顶点F作EF∥AB，
∴∠EFG＝∠1＝45°.
∵∠EFG＋∠EFH＝60°，
∴∠EFH＝60°－∠EFG＝60°－45°＝15°.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠2＝∠EFH＝15°，故选A.
【答案】A
10．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)，若固定△ACD，改变△BCE的位置(其中点C位置始终不变)，且∠ACE＜150°，点E在直线AC的上方，当△ACD的一边与△BCE的某一边平行时，则∠ACE所有可能的度数为____________________________．
30°，45°，120°，135°
11．如图，已知AB∥DE，∠B＝80°，∠D＝140°，求∠BCD的度数．
解：过点C作GH∥DE.
∵GH∥DE，∴∠DCH＋∠D＝180°.
∵∠D＝140°，∴∠DCH＝180°－∠D＝40°.
又∵AB∥DE，GH∥DE.∴AB∥GH.
∴∠BCH＝∠B＝80°.
∴∠BCD＝∠BCH－∠DCH＝40°.
【答案】B
【点拨】①∵a⊥b(已知)，∴∠1＝90°(垂直的定义)．
②又∵b∥c(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．
④∴a⊥c(垂直的定义)．
①～④步中数学依据错误的是②，
故选B.(共11张PPT)
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1．判定两直线平行的六种常用方法
第五章 相交线与平行线
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见习题
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③；⑤
6
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见习题
见习题
见习题
1．如图，能相交的是______，一定平行的是______．(填序号)
③
⑤
2．如图，当∠BED与∠B，∠D满足条件____________时，可以判定AB∥CD.
(1)在横线处填上一个条件；
解： ∠BED＝∠B＋∠D
(2)证明你填写的条件的正确性．
证明：过点E在∠BED的内部作∠BEF＝∠B，∴AB∥EF.
又∵∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D，∴∠FED＝∠D.
∴EF∥CD.∴AB∥CD.
3．如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
(1)求证：AB∥CD.
【点拨】∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN.要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.
证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD.
解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN.
(2)BM与DN是否平行？为什么？
4．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F.试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
解：EC∥DF.理由如下：
∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠ECB.
又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴EC∥DF.
5．如图，已知∠AED＝60°，∠BDE＝30°，EF平分∠AED，可以判定EF∥BD吗？为什么？
解：可以判定EF∥BD.理由如下：
∵∠AED＝60°，EF平分∠AED，
∴∠FED＝30°.又∵∠BDE＝30°，
∴∠FED＝∠BDE.∴EF∥BD.
6．完成下面的解题过程：
已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°.求证AB∥CD.
证明：∵DE平分∠BDC(已知)，
∴∠BDC＝2∠1(________________)．
∵BE平分∠ABD(已知)，
∴∠ABD＝________(角平分线的定义)．
角平分线的定义
2∠2
∴∠BDC＋∠ABD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)(__________)．
∵∠1＋∠2＝90°(已知)，
∴∠ABD＋∠BDC＝________．
∴AB∥CD(___________________________)．
等式的性质
同旁内角互补，两直线平行
180°(共13张PPT)
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2.计算角度的三种方法
第五章 相交线与平行线
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1．【2020·南充】如图，两直线交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则∠1＝________度．
38
解：因为∠AOC＝50°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°，∠BOD＝∠AOC＝50°.
因为∠1＝20°，所以∠2＝∠BOD－∠1＝50°－20°＝30°.
2．【教材P8习题T2变式】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝50°，∠1＝20°，求∠AOD和∠2的度数．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，OF平分∠EOD.
(1)试说明：∠AOD＝2∠COE；
解：因为OE平分∠COB，
所以∠COE＝ ∠COB.
因为∠AOD＝∠COB，
所以∠AOD＝2∠COE.
(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；
解：因为∠AOC＝50°，
所以∠BOC＝180°－∠AOC＝130°，
所以∠EOC＝ ∠BOC＝65°，
所以∠DOE＝180°－∠EOC＝180°－65°＝115°.
因为OF平分∠DOE，
所以∠EOF＝ ∠DOE＝57.5°.
解：设∠AOC＝∠BOD＝α，则∠DOF＝α＋15°.
因为OF平分∠EOD，所以∠EOF＝∠DOF＝α＋15°，
所以∠EOB＝∠EOF＋∠BOF＝α＋30°，
所以∠COB＝2∠EOB＝2α＋60°.
因为∠COB＋∠BOD＝180°，
所以3α＋60°＝180°，解得α＝40°，即∠AOC＝40°.
(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
4．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD∶∠BOF＝1∶3，则∠AOF的度数为( )
A．138°
B．128°
C．117°
D．102°
【点拨】因为OE⊥CD，所以∠EOD＝90°.因为∠EOF＝142°，所以∠DOF＝∠EOF－∠EOD＝52°.因为∠BOD∶∠BOF＝1∶3，所以∠BOD＝ ∠DOF＝26°，所以∠BOF＝∠BOD＋∠DOF＝78°.因为∠AOF＋∠BOF＝180°，所以∠AOF＝180°－∠BOF＝102°.故选D.
【答案】D
5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O.
(1)若∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
解：因为EO⊥AB，所以∠BOE＝90°.
因为∠EOC＝35°，所以∠BOC＝∠BOE＋∠EOC＝90°＋35°＝125°，
所以∠AOD＝∠BOC＝125°.
(2)若∠BOC＝2∠AOC，求∠EOD的度数．
解：因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，
所以∠AOC＋2∠AOC＝180°，
所以∠AOC＝60°，所以∠BOD＝∠AOC＝60°，
所以∠EOD＝∠BOE＋∠BOD＝90°＋60°＝150°.
6．【教材P8习题T8变式】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE∶∠DOE＝2∶3.
(1)求∠BOE的度数．
解：设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x.
因为∠BOD＝∠AOC＝75°，
所以2x＋3x＝75°，解得x＝15°.
所以2x＝30°，即∠BOE＝30°.
(2)若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
因为∠BOE＝30°，
所以∠AOE＝180°－∠BOE＝150°.
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝ ∠AOE＝75°，所以∠AOC＝∠AOF.(共27张PPT)
第五章 相交线与平行线
人教版 七年级下
全章热门考点整合专训
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见习题
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见习题
1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°.求∠EOF的度数．
解：根据对顶角的性质，得∠AOC＝∠BOD＝60°.
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝ ∠AOC＝ ×60°＝30°.
∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝30°＋35°＝65°.
2．点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离( )
A．小于2 cm B．等于2 cm
C．不大于2 cm D．等于4 cm
C
3．看图填空：
(1)∠1与∠2是直线______和______被直线_____
所截得的______角；
(2)∠5与∠B是直线______和______被直线______所截得的_______角；
(3)∠D与∠DCB是直线______和______被直线______所截得的_______角．
AB
CD
AC
内错
AD
BC
AB
同位
AD
BC
CD
同旁内
4．如图，已知直线AB，CD，点P.按要求作平行线：
(1)过点P作AB的平行线EF；
(2)过点P作CD的平行线MN.
解：如图所示．
5．如图，四边形ABCD向右平移一段距离后得到四边形A′B′C′D′.
(1)找出图中存在的四条平行且相等的线段(即四条线段全部互相平行且相等)；
解：图中全部互相平行且相等的四条线段是AA′，BB′，CC′，DD′.
(3)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的形状、大小相同吗？为什么？
(2)找出图中存在的四组相等的角；
解：∠BAD＝∠B′A′D′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠CDA＝∠C′D′A′.
四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的形状、大小相同，因为平移不改变图形的形状和大小．
6．如图，有以下3个论断：BD∥EC；∠D＝∠C；∠A＝∠F.
(1)请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
解：能组成3个命题，分别为：如果BD∥EC，∠D＝∠C，那么∠A＝∠F；
如果BD∥EC，∠A＝∠F，那么∠D＝∠C；
如果∠A＝∠F，∠D＝∠C，那么BD∥EC.
(2)你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
解：如果BD∥EC，∠D＝∠C，那么∠A＝∠F，是真命题．证明如下：
∵BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.
∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠D.
∴AC∥DF.∴∠A＝∠F.
如果BD∥EC，∠A＝∠F，那么∠D＝∠C，是真命题．
证明如下：∵BD∥EC，∴∠ABD＝∠C.
∵∠A＝∠F，AC∥DF.
∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠C.
如果∠A＝∠F，∠D＝∠C，那么BD∥EC，是真命题．
证明如下：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF.∴∠D＝∠ABD.
∵∠D＝∠C，∴∠ABD＝∠C.∴BD∥EC.
(选择其中一个真命题证明即可)
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝________；
90°
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
解：ON⊥CD.理由如下：
∵OM⊥AB，∴∠1＋∠AOC＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠AOC＝90°.
∴∠CON＝90°.∴ON⊥CD.
(3)若∠1＝ ∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
解：∵∠1＝ ∠BOC，∴∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM＝3∠1.
易知∠BOM＝90°，∴∠1＝30°.
∴∠AOC＝90°－∠1＝60°，
∠MOD＝180°－∠1＝150°.
8．如图，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E.
(1)AD与BC平行吗？请说明理由．
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
注：补全本题第(1)(2)小题下面的解答过程，第(3)小题要写出证明过程．
解：(1)AD∥BC.理由如下：
∵∠ADE＋∠ADF＝180°(平角的定义)，
∠ADE＋∠BCF＝180°(已知)，
∴∠ADF＝∠________(_________________________)．
∴AD∥BC.
BCF
同角的补角相等
(2)AB与EF的位置关系是______．理由如下：
∵BE平分∠ABC(已知)，
∴∠ABE＝ ∠ABC(角平分线的定义)．
又∵∠ABC＝2∠E(已知)，即∠E＝ ∠ABC，
∴∠E＝∠________(____________)．
∴________∥________(_________________________)．
平行
ABE
等量代换
AB
EF
内错角相等，两直线平行
(3)若AF平分∠BAD，求证：
①∠BAD＝2∠F；
证明：∵AB∥EF，∴∠BAF＝∠F.
∵AF平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠BAF.
∴∠BAD＝2∠F.
证明：∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
∵∠OAB＝ ∠DAB，∠OBA＝ ∠CBA，
∴∠OAB＋∠OBA＝ (∠DAB＋∠CBA)＝ ×180°＝90°.
∵AB∥EF，∴∠F＝∠OAB.
又∵∠E＝∠OBA，
∴∠E＋∠F＝∠OBA＋∠OAB＝90°.
②∠E＋∠F＝90°.
9．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是( )
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条直线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B
10．如图，AD∥BE，AC与BC相交于点C，且∠1＝ ∠DAB，∠2＝ ∠EBA.若∠C＝45°，则n＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C
11．如图，已知∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°.
(1)求证MD∥NE；
【点拨】本题已知角的关系，欲证MD∥NE，需过拐点作平行线，构造“三线八角”模型，为解题创造条件．
证明：过点A作AF∥MD，∴∠MBA＋∠BAF＝180°.
∵∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°，
∴∠FAC＋∠NCA＝180°.∴AF∥NE.
∵AF∥MD，∴MD∥NE.
(2)若∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
解：过点P作PQ∥MD，则PQ∥NE.
∵BP平分∠ABD，∴∠DBP＝ ∠ABD＝35°.
同理，∠PCE＝ ∠ACE＝18°.
∵PQ∥MD，∴∠BPQ＝∠DBP＝35°.
∵PQ∥NE，∴∠CPQ＝∠PCE＝18°.
∴∠BPC＝∠BPQ＋∠CPQ＝53°.
12．如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3.判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
【点拨】当问题中角的数量关系出现倍数、比时，可根据其数量关系建立方程，通过解方程解决问题．
解：BA平分∠EBF.理由如下：
设∠1＝k，则∠2＝2k，∠3＝3k.
∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，
即2k＋3k＝180°，解得k＝36°.
∴∠1＝36°，∠2＝72°.
∴∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
∴∠2＝∠ABE，即BA平分∠EBF.
13．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°.求∠C的度数．
【点拨】本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为有关平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．
解：作BF∥AE交ED于点F.
∵BF∥AE，∠A＝107°，
∴∠ABF＝180°－107°＝73°.
又∵∠ABC＝121°，∴∠FBC＝121°－73°＝48°.
∵AE∥CD，BF∥AE，∴BF∥CD.
∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.(共12张PPT)
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3．平行线的性质和判定应用的四种常见类型
第五章 相交线与平行线
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1．【2020·武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.求证：AB∥CD.
证明：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN.
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠FEB＝∠EFC.∴AB∥CD.
2．已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G，且∠ADE＝∠CFG.求证DE∥AC.
证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠C＋∠CFG＝90°，∠BDE＋∠ADE＝90°.
∵∠ADE＝∠CFG，∴∠BDE＝∠C.
∴DE∥AC.
3．如图，AE∥CF，∠A＝∠C.
(1)若∠1＝35°，求∠2的度数；
解：∵AE∥CF，∴∠CDB＝∠1＝35°.
∴∠2＝180°－∠CDB＝145°.
(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由；
解：BC∥AD.理由如下：
∵AE∥CF，∴∠A＋∠ADC＝180°.
又∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠ADC＝180°.
∴BC∥AD.
(3)若DA平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.
证明：∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵DA平分∠BDF，∴∠ADB＝ ∠BDF.
∴∠DBC＝ ∠DBE.∴BC平分∠DBE.
4．已知：直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP与CP.
(1)如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数．
解：如图①，过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP.
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°.
(2)如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
解：∠AKC＝ ∠APC.理由如下：
如图②，过点K作KE∥AB.
∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD.
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK.
∴∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK.
过点P作PF∥AB.
同理可得∠APC＝∠BAP＋∠DCP.
∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，
(3)如图③，点P在CD下方，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
解：∠AKC＝ ∠APC.理由如下：
如图③，过点K作KE∥AB.
∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD.
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE.
∴∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK.
过点P作PF∥AB.
同理可得∠APC＝∠BAP－∠DCP.
∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，(共24张PPT)
5.1 相交线
第1课时 相交线
第五章 相交线与平行线
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(1)有公共顶点
(2)两个角的两边互为反向延长线；相等
C
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见习题
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见习题
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见习题
1．邻补角是成对出现的，其位置特征为：
(1)有公共________；
(2)有一条________；
(3)两角的另一边__________________．
其数量关系为____________．
顶点
公共边
互为反向延长线
和为180°
2．【中考·河池】如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C
3．【2021·益阳】如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝________度．
60
4．【教材P3例1变式】如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，且OE平分∠BOC.
(1)∠AOC与____________________互为邻补角．
∠BOC，∠AOD
(2)与∠EOA互为补角的是哪些角？试说明理由．
解：与∠EOA互为补角的角是∠EOB，∠COE.
理由：因为∠EOA＋∠EOB＝180°，
所以∠EOA与∠EOB互为补角．
因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝∠EOB，
所以∠EOA＋∠COE＝180°，
所以∠EOA与∠COE互为补角．
(3)若∠AOC＝42°，求∠BOE的度数．
解：因为∠AOC＝42°，而∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＝180°－42°＝138°.
又因为OE平分∠BOC，
所以∠BOE＝ ×138°＝69°.
5．对顶角是成对出现的，其位置关系为：
(1)________________；
(2)_________________________________________．
其数量关系为______________．
互为对顶角的两个角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
有公共顶点
两个角的两边互为反向延长线
相等
6．【教材P7习题T1变式】下图中，∠1与∠2不是对顶角的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
C
7．【2021·桂林】如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是( )
A．70° B．90°
C．110° D．130°
C
8．【教材P8习题T2变式】如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是________；
(2)∠AOD的邻补角是_________________；
∠BOC
(3)若∠AOD＝130°，求∠BOD与∠BOC的度数．
∠AOC，∠BOD
解：∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－130°＝50°，∠BOC＝∠AOD＝130°.
9．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
(1)图中∠BOD的邻补角为________，∠AOE的邻补角为________．
∠AOD
∠BOE
(2)①如果∠COD＝25°，求∠BOE的度数；
解：因为∠COD＝25°，
所以∠AOC＝2×25°＝50°.
所以∠BOC＝180°－50°＝130°.
所以∠BOE＝ ∠BOC＝65°.
②如果∠COD＝60°，求∠BOE的度数．
解：因为∠COD＝60°，所以∠AOC＝120°.
所以∠BOC＝180°－120°＝60°.
所以∠BOE＝ ∠BOC＝30°.
10．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°.
(1)求∠BOE的度数；
解：因为∠AOC＝65°，
所以∠BOD＝∠AOC＝65°.
又因为∠BOE＋∠BOD＋∠DOF＝180°，∠DOF＝50°，
所以∠BOE＝180°－65°－50°＝65°.
(2)通过求∠AOF的度数，你能发现射线OA有什么特殊性吗？
解：因为∠AOF＝∠BOE＝65°，且∠AOC＝65°，所以∠AOF＝∠AOC.
所以射线OA是∠COF的平分线．
11．【教材P8习题T2拓展】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝50°，求∠DOF，∠DOE和∠EOF的度数．
(2)当∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．
12．下列各图中的直线都相交于一点．
(1)请观察图形并填写下表：
图形编号 ① ② ③ …
直线条数 …
对顶角的对数 …
邻补角的对数 …
【点拨】在复杂图形中数对顶角或邻补角的对数时，我们一般先确定图形中包含几个两条直线相交的基本图形；
解：填表如下：
图形编号 ① ② ③ …
直线条数 2 3 4 …
对顶角的对数 2 6 12 …
邻补角的对数 4 12 24 …
(2)若n条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？共有多少对邻补角？
【点拨】在每个基本图形中有2对对顶角、4对邻补角，从而计算出所有对顶角、邻补角的对数．
解：对顶角共有n(n－1)对，邻补角共有2n (n－1)对．
