2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1椭圆 分类练习（Word含答案）

人教版（2019）椭圆的分类练习巩固
椭圆及其标准方程
椭圆的定义
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段
2．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一 个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
求椭圆方程
1．两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为___________.
2．已知定圆，动圆C满足与外切且与内切，则动圆圆心C的轨迹方程为__________.
3．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．
（2）椭圆经过和．
椭圆方程的判断
1．若，则方程表示（ ）
A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线
2．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.
椭圆焦点三角形周长问题
1．设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．8
2．椭圆的左右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则周长为_______.
椭圆的几何性质
椭圆焦点、焦距、长轴、短轴问题
1．已知椭圆方程为，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．
2．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
椭圆的对称性问题
1．设椭圆：的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于，两点，若，那么___________.
2．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ）
3．已知椭圆的左、右焦点分别为点，F，过原点O作直线l交C于A，B两点，若，，，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
椭圆的离心率问题
1．已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为，则椭圆C的方程为________.
2．如图，椭圆的中心在坐标原点，是椭圆的左焦点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率___________.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围为___________．
椭圆的最值问题
1．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则的取值范围______（答案用区间形式表示）
椭圆的性质综合（中点、面积、定点、定值问题）
1．已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
2．如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于 两点，求面积的最大值.
3．已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于两点且不过原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；
4．已知点皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为.
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线的右焦点为，过的直线与曲线交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.
巩固提升
一、单选题
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆：的长轴顶点为、，点是椭圆上除、外任意一点，直线、在轴上的截距分别为，，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆：上有一动点（异于顶点），点 分别在 轴上，使得为的中点，若轴上一点，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
6．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、多选题
7．若椭圆：的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为
8．如图椭圆I、II有公共的右焦点与右顶点，椭圆I、II的焦距分别是，长轴分别是， 以下正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆
C．若点分别为椭圆的左 右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为
D．若点分别为椭圆的左 右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为.
10．已知椭圆：的左 右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响 D．的最小值为
三、填空题
11．过椭圆的焦点弦中最短的弦长是___________
12．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标，且为锐角，的取值范围为______．
13．椭圆：的上 下顶点分别为，，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为___________.
14．如图，焦点在轴上的椭圆的左 右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为___________.
四、解答题
15．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点．
（1）若线段的中点为，求的值；
（2）若，求证：原点到直线的距离为定值．
16．设点，分别是椭圆的左 右焦点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，作，分别交直线于，两点，求四边形面积的最大值.
参考答案
椭圆及其标准方程
椭圆的定义
1．C
2．A
求椭圆方程
1．
2．
3．（1）；（2）
椭圆方程的判断
1．B
2．（答案不唯一）.
椭圆焦点三角形周长问题
1．D
2．24
椭圆的几何性质
椭圆焦点、焦距、长轴、短轴问题
1．
把椭圆方程化成标准方程为，所以，，，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
故答案为：；；；.
2．A
由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A，，即，A是“对偶椭圆”；
对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；
对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；
对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.
故选：A
3．D
由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，
对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，
故选项D正确，其他选项错误.
故选：D.
椭圆的对称性问题
1．
根据题意，直线过原点，由椭圆的对称性可知，，如图所示，已知，所以四边形是平行四边形，则，由椭圆的定义可知，，，所以.
故答案为：.
2．A
设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，
∴．
故选：A
3．D
解：如图所示，
连接，，
由椭圆以及直线的对称性知：四边形为平行四边形，
由，得，
故四边形为矩形，
，
，
又，
,
即，
解得：,
故,
，
，
,
C的方程为，
即.
故选：D.
椭圆的离心率问题
1．
根据题意：，，解得，，故椭圆方程为.
故答案为：
2．或
由题意，，，
所以，，
因为，则，
即，即，
所以，即，
解得或（舍）.
故答案为：
3．C
不妨设椭圆的方程为，则，，
因为为正三角形，所以，即为线段AB的中点，
根据椭圆的对称性知AB垂直与x轴，
设，则，，
所以，即，所以.
故选：C
4．
由已知可得，且四边形为矩形．
所以，
又因为，所以．
得离心率．
因为，所以，可得，
从而．
故答案为：
椭圆的最值问题
1．D
设点，则，得，
圆的圆心，半径为，
则
，
令，对称轴为，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
所以的最小值为，
故选：D
2．
解：点为椭圆上的任意一点，设，，，
依题意得左焦点，
，，
，
，
，
，
．
即．
故答案为：．
椭圆的性质综合（中点、面积、定点、定值问题）
1．
（1）；
（2）.
解：（1）
，又周长为，，
点轨迹，即曲线是以为焦点的椭圆（不包含椭圆与轴的交点），
设曲线方程为，，，解得：，，
，
曲线的方程为；
（2）
设，，则，，
，，
，即直线斜率，
直线方程为，即.
2．
（1）
（2）
解：（1）
由已知，则
由题意得：得，
所以的方程为
（2）
由已知可得的斜率必存在，设的方程为：，，，
直线与椭圆方程联立得：，整理得：，
由可得
所以
令，
所以，
当，即时，等号成立，
所以的最大值为
3．
（1）
（2）证明见解析；定点
解：（1）
由已知得：，，，，
椭圆标准方程为．
（2）
当直线斜率存在时，设直线方程：，设 ，
联立方程组得：，
则，解得：；
，，
由得：，，
化简得：，
则，化简得：，
即，解得：或，
当时，直线恒过点，不合题意，舍去；
，，直线过定点．
当直线斜率不存在且过时，，此时，
，符合题意．
综上所述：直线过定点
4．
（1）
（2）证明见解析
解：（1）
设为曲线上异于A,B的任意一点,因为
所以.
所以即.
所以
又皆为曲线上的点
所以曲线的方程为.
（2）
设直线的方程为
联立,得
所以,即①
因为焦点，所以
②
把①式代入②式得
直线与直线斜率之和为定值0
巩固提升
参考答案
1．B
解：由题意可得c＝，设右焦点为F′，
由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
所以∠PFF′＋∠OF′ P＝∠FPO＋∠OPF′，
由∠PFF′＋∠OF′P＋∠FPO＋∠OPF′＝180°知∠FPO＋∠OPF′＝90°，即 PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得，
由椭圆定义，得，从而 a＝6，得，
于是 ，
所以椭圆的方程为．
故选：B．
2．B
因为，为椭圆的两焦点，则，，
设，则，，
因为为钝角，
所以，
又∵，∴，
∴.
故选：B.
3．A
椭圆上、，设点，则，，即.
直线的方程为：，令，得，
直线的方程为：，令，得，
故.
故选：A.
4．D
如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，设圆半径为，
则，，.
故，，
故，，，
所以.
故选：D.
5．B
令且，则，又在椭圆上，
∴，则，
此时直线为，故，
由，即是垂直平分线，则.
综上，，
当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
故选：B
6．C
若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
若，则，即，所以，
由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，
不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；
综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或
故选：C.
7．AD
由已知可得，解得或(舍去)，
椭圆的方程为
∴， ，即，，
长轴长为，短轴长，离心率.
故选：AD.
8．BD
两个不同的椭圆的右焦点相同，右顶点相同，则，B正确，
，即，所以，A错误，
由图形知：，，设，
，所以，D正确，C错误．
故选：BD．
9．BCD
，且,解得离心率 ，选项A错误；
根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；
根据椭圆的定义，
所以的周长为，选项C正确；
根据题意，，设点 ，其中
所以，选项D正确.
故答案为：BCD.
10．AD
解：设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，所以A正确，B错误；
因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；
设，由题意得，则有，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，
，
所以，
所以D正确，
故选：AD.
11．6
解：由题意设，过焦点弦中垂直于轴的弦最短，
当时，，
所以最短的弦长是6.
故答案为：6.
12．
由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，,
所以该圆的方程为：，
由，消去y得：解得,
又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，
由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，
∴为使为锐角，的取值范围是
故答案为：.
13．6
解：根据题意可得，，设，，可得点，，，在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入结合，解得，
所以，短轴长为6.
故答案为：6.
14．
解：如图，的内切圆在边上的切点为
根据切线长定理可得，，
，
，
，
则，
即，，
又，
，则，
椭圆的离心率．
故答案为．
15．
（1）；
（2）证明见解析.
解：（1）
设，则，，
两式相减，得，即，
所以，即，
又因为线段的中点为，所以，即；
（2）
设斜率为的直线为，，
由，得，
所以，
，
因为，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，
原点到直线的距离为.
所以原点到直线的距离为定值.
16．
（1）
（2）2
（1）
解：因为，所以，
又因为，即，所以，
所以椭圆方程为；
（2）
解：联立，得，
直线和椭圆有且仅有一个公共点，，
即．
设，．
①当时，四边形为矩形，此时
②当时，过作的垂线，垂足为，则，
，
则，
，又，
，
同理：，
．
，，
，即．
综上所述，，，即S的最大值为2．