函数的解析式求法的思维导图讲解及针对性测试题

函数的解析式求法的思维导图讲解及针对性测试题
把两个变量之间的函数关系用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式用解析式表示函数的优点是函数关系清楚，易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。求函数的解析式常用的方法有：
一、若已知函数的类型时，可用待定系数法求解。
待定系数法：在解决问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一
些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这种思维方法叫做待定系数法。
例1：已知函数为一次函数，且，求的解析式。
思维导图：第一步：设第二步：求
第三步:令第四步：列方程求解第五
步：写出的解析式。
解：为一次函数，设，
则，
由已知得，比较系数得
，解得或
或
　 例2.已知是二次函数，若，且，求。
思维导图：第一步:由已知设第二步：求
第三步:令
第四步：列方程求解第五步：写出的解析式。
解：因为是二次函数，且，故设，
则，
， 又 ，
， ，。
小结：待定系数法求函数解析式的步骤如下：
第一步：设出所求函数含有待定系数的解析式，如一次函数解析式设为
，反比例函数解析式设为，二次函数的解
析式设为；
第二部：把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；
第三部：解方程或方程组，求出待定系数的值；
第四部：将所求待定系数的值代回原式。
二、已知，求时，可用换元法或配凑法：
配凑法：以配凑的方式把函数式的一边变换成所给变量的函数形式，然后用变量替 换。
换元法：若已知的解析式，求的解析式，可用此法，具体步骤是：令，由求出，即用表示，代入中，得出，即可得到的解析式。
例1：已知，求。
法一（换元法）:思维导图：第一步：设第二部：用表示，即
第三步：把代入，整理第四步：把换成，
既得。
解：令，则有，
代入中，可得，
即，。
法二（配凑法）:思维导图：第一步：由配凑出第二步：用
代换，既得。
解：
又，
，。
三、方程组法：将函数中的自变量适当地置换为别的自变量，得到一个新的函数方程， 从而两个函数方程组成的方程组中，通过消元，得到所求函数的解析式。
例1：已知函数满足，求的表达式。
思维导图：第一步：令，则有第二步：把两式联
立起来，解方程组，求得。
解： （1）
令，则有 （2）
联立（1）、（2）式消去得，
例2：已知是偶函数，是奇函数，且，求和。
思维导图：第一步：令，则有第二步：利用
奇偶性方程可化为第三步：把两式联立起
来，解方程组，求得、。
解： （1）
令，则有
又是偶函数，是奇函数，
（2）
联立（1）、（2）式解得，
。
四、利用函数的奇偶性求解析式
例1：设是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的 解析式。
思维导图：第一步：设，则第二步：把代入，
第三步：利用奇偶性转化求出第四步：求出，并写出。
解：当时，则，由已知得
, 即，
又是定义在R上的奇函数，，
，
又，。
。
小结：此类问题的一般步骤是：
第一步：“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，求设在哪个区间；
第二步：把代入已知区间的解析式；
第三步：利用的奇偶性写出或，
第四部：求出。
五、针对性测试题：
1.已知, 求的解析式。
2.已知，求的解析式。
3.已知，求的解析式。
4.已知，求的解析式。
5.已知为二次函数，，求的解析式。
6.已知为偶函数，且当时，，求的解析式。
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