对数函数与指数函数的关系

(共15张PPT)
函数
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3.2.3指数函数与对数函数的关系
问题1：
指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1)有什么关系
称这两个函数互为反函数
对应法则互逆
y=ax
x=loga y
y=loga x
指数换对数
交换x,y
指数函数y=ax(a>0,a≠1)
对数函数y=logax(a>0,a≠1)
反函数
指数函数y=ax是对数函数y=loga x(a>0,a≠1)的反函数
问题2：
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间的关系.
函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称
(1,0)
(0,1)
O
x
y
y=log2x
y=2x
y=x
P(b,a)
Q(a,b)
函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称
1．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。
3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表示。
注意：y＝f－1(x) 读作：“f逆x”
表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx;
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是
它的反函数是指数函数
10
y=10x
(2)对数函数
它的底数是
它的反函数是指数函数
例2 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5
它的反函数是对数函数 y=log5x;
(2)指数函数 ,它的底数是 ,
它的反函数是对数函数
　例3　求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。
解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得
所以ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）的反函数是
（ｘ∈R ）
ｙ＝3ｘ－2　经过两点（0，－2）， （2/3，0）
　经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ）
0
x
y
ｙ＝3ｘ－2
ｙ＝ｘ
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
　的图象之间有什么关系？
求函数反函数的步骤:
3 求原函数的值域
1 反解
2 x与y互换
4 写出反函数及它的定义域
b＝f(a)
a＝f－1(b)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
(1,0)
(0,1)
O
x
y
y=log2x
y=2x
y=x
P(b,a)
Q(a,b)
结论:
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得
b＝f(a)
a＝f－1(b)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
a＝f－1(b)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
理论迁移
例4 已知函数 .
（1）求函数f(x)的定义域和值域；
（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线
y=x对称.
小结
反函数的概念
定义域和值域互换
对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)
互为反函数