2.2.3幂函数

(共26张PPT)
高中数学老师欧阳文丰
2010.10 .15
我国著名数学家华罗庚教授在其《数学的用场与发展》中指出:
“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
w 元
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
____是____的函数
a
a
V是a的函数
t km/s
v是t 的函数
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_________
a是S的函数
以上问题中的函数具有什么共同特征
P
w
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
____是____的函数
S
a
问题提出
上述这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？
(1)都是函数；
(2) 指数为常数.
(3) 均是以自变量为底的幂；
知识探究(一)
一般地，函数　　　 叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量，　为常数。
你能说出幂函数与指数函数的区别吗
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，　　　　　 　　　　其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．
指数函数：解析式 ，底数为常数a，a>0，a≠1，指数为自变量x；
幂函数：解析式 ，底数为自变量x，指数为常数α， α∈R；
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -x2
(5) y=2x2
(6) y=x3+2
练一练
下面研究幂函数
在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究: y=x
知识探究(二)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -27 -8 -1 0 1 8 27 …
… \ \ \ 0 1 …
… -1/3 -1/2 -1 \ 1 1/2 1/3 …
y=x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
x 0 1 2 4
0 1 2
x -3 -2 -1 1/2 1 2 3
y=1/x -1/3 -1/2 -1 2 1 1/3
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点
在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降。
图象都经过点（1，1）
K>0时,图象还都过点(0,0)点
y=x y=x2
y=x3
y=x y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增，
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
　(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1);
　(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
　(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的性质
1.判断正误:
1.函数f(x)=x+ 为奇函数.
2.函数f(x)=x2,x [-1,1)为偶函数.
3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(- ,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ )上也是递增的.
4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(- ,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ )上也是递减的.
练一练
思考4：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数 在第一象限的图象特征吗？（0x
y
o
a<0
a=1
a>1
0例1.如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解:依题意,得
解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为
符合题意.当m=-1时,函数为
不合题意,舍去.所以m=2
理论迁移
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
1）
2）
3）
4）
＜
＜
＞
≤
练一练
2.判断下列各值的大小
练习3.如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C1
C3
1
1
1,1,2 ,
2
-
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论.
例3
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明:幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
即
所以
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
知识结构:
课堂小结：
三维题目. P79习题