华东师大版2021-2022学年八年级数学上册第13章全等三角形 单元练习题(word解析版)
文档属性
| 名称 | 华东师大版2021-2022学年八年级数学上册第13章全等三角形 单元练习题(word解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 183.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-29 18:42:35 | ||
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文档简介
全等三角形
类型之一 命题与定理
1.[2019·北京] 用三个不等式a>b,ab>0,<中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2019·安徽] 命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
类型之二 全等三角形的判定
3.[2019·兴安盟] 如图1,已知AB=AC,点D,E分别在线段AB,AC上,BE与CD相交于点O,添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
图1
A.∠B=∠C B.AE=AD
C.BD=CE D.BE=CD
4.[2019·呼和浩特] 有下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的命题的序号为 .
5.[2020·河池] (1)如图2①,已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE;
(2)如图②,已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.
图2
类型之三 等腰三角形的性质及判定
6.[2019·山西] 如图3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E.若∠1=145°,则∠2的度数是( )
图3
A.30° B.35° C.40° D.45°
7.[2019·重庆] 如图4,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
图4
类型之四 尺规作图
8.[2019·潍坊] 如图5,已知∠AOB.按照以下步骤作图:
①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD;
②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE;
③连结OE交CD于点M.
下列结论中错误的是( )
图5
A.∠CEO=∠DEO B.CM=MD
C.∠OCD=∠ECD D.S四边形OCED=CD·OE
类型之五 角平分线与线段的垂直平分线
9.[2019·南充] 如图6,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
图6
A.8 B.11 C.16 D.17
10.[2019·永州] 如图7所示,已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于点F.若DE=2,则DF= .(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
图7
11.已知:在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.
(1)如图8①,∠B=∠C=30°,求∠EAF的度数.
(2)如图②,AB≠AC,且90°<∠BAC<180°.
①若∠BAC=140°,则∠EAF= °;若∠BAC=n°,则∠EAF= °.
②当∠BAC= °时,AE⊥AF.
③若BC=a,则△AEF的周长为 .
图8
类型之六 数学活动
12.八年级(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图9).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,分别在边OA,OB上取点M,N,使OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行 若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行 请说明理由.
图9
答案
1.D [解析] ①若a>b,ab>0,则<,真命题;
理由:∵a>b,ab>0,∴a>b>0或0>a>b,
∴<.
②若ab>0,<,则a>b,真命题;
理由:∵ab>0,∴a,b同号.∵<,∴a>b.
③若a>b,<,则ab>0,真命题;
理由:∵a>b,<,∴a,b同号,∴ab>0.
故组成真命题的个数为3.故选D.
2.如果a,b互为相反数,那么a+b=0
3.D [解析] A.当∠B=∠C时,利用A.S.A.可以判定△ABE≌△ACD;
B.当AE=AD时,利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;
C.当BD=CE时,可得到AD=AE,利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;
D.当BE=CD时,不能判定△ABE≌△ACD.
故选D.
4.①② [解析] ①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等,正确.
理由:已知:如图①②,在△ABC和△A'B'C'中,AB=AC,A'B'=A'C',BC=B'C',∠A=∠A'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠B=(180°-∠A)=90°-∠A.
同理∠B'=90°-∠A'.
∵∠A=∠A',∴∠B=∠B'.
又∵BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(A.A.S.).
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确.
理由:已知:如图③④.
在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴BD=BC,B'D'=B'C'.
∵BC=B'C',∴BD=B'D'.
又∵AB=A'B',AD=A'D',
∴△ABD≌△A'B'D'(S.S.S.),
∴∠B=∠B'.
又∵AB=AB',BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(S.A.S.)
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,不正确.
例如:两个直角三角形的斜边长都是10,斜边上的中线长都是5,而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°,另一个直角三角形的两锐角是40°和50°,此时这两个三角形不全等.故答案为①②.
5.解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,
∵AC=BC,∠1=∠2,CE=CE,
∴△ACE≌△BCE(S.A.S.).
(2)AE=BE.理由如下:
如图,在CE上截取CF=DE.
在△ADE和△BCF中,
∵AD=BC,∠3=∠4,DE=CF,
∴△ADE≌△BCF(S.A.S.),
∴AE=BF,∠AED=∠BFC.
∵∠AED+∠BEF=180°,∠BFC+∠EFB=180°,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF,∴AE=BE.
6.C [解析] ∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,
∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.故选C.
7.解:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵∠C=36°,∴∠ABC=36°.
∵BD=CD,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC.
∵EF∥BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE.
8.C [解析] 由作图步骤可得OE是∠AOB的平分线,OC=OD,∴OE垂直平分CD,∴CE=DE,CM=MD.∵CE=DE,OE⊥CD,∴∠CEO=∠DEO,但不能得出∠OCD=∠ECD.由OE⊥CD可得S四边形OCED=CD·OE.故选C.
9.B [解析] ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△ACE的周长为AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.
10.4 [解析] 过点D作DM⊥OB,垂足为M,如图所示.
∵OC是∠AOB的平分线,DE⊥OA,DM⊥OB,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,
∵∠OEF=90°,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,
即∠DFM=30°.在Rt△DMF中,∵∠DMF=90°,∠DFM=30°,∴DF=2DM=4.故答案为4.
11.解:(1)∵∠B=∠C=30°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE=30°,∠C=∠CAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
(2)①100 (2n-180)
[解析] ∵∠BAC=140°,
∴∠B+∠C=180°-140°=40°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=40°,
∴∠EAF=140°-40°=100°.
∵∠BAC=n°,
∴∠B+∠C=180°-n°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°,
∴∠EAF=n°-180°+n°=(2n-180)°.
故答案为100,(2n-180).
②135 [解析] ∵AE⊥AF,
∴∠EAF=90°,
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAF=90°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=45°,
∴∠BAC=45°+90°=135°.
故答案为135.
③a [解析] ∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴△AEF的周长为AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a.
故答案为a.
12.解:(1)方案(Ⅰ)不可行.理由:缺少证明三角形全等的条件.
方案(Ⅱ)可行.
证明:在△OPM和△OPN中,
∵OM=ON,PM=PN,OP=OP,
∴△OPM≌△OPN(S.S.S.),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等),
故射线OP是∠AOB的平分线.
(2)当∠AOB是直角时,此方案可行.
理由:∵PM⊥OA,PN⊥OB,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
又∵四边形的内角和为360°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,
∴射线OP为∠AOB的平分线(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).
当∠AOB不是直角时,此方案不可行.理由:∠AOB必为90°,如果不是90°,那么就不能找到同时使PM⊥OA,PN⊥OB的点P的位置.
类型之一 命题与定理
1.[2019·北京] 用三个不等式a>b,ab>0,<中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2019·安徽] 命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
类型之二 全等三角形的判定
3.[2019·兴安盟] 如图1,已知AB=AC,点D,E分别在线段AB,AC上,BE与CD相交于点O,添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
图1
A.∠B=∠C B.AE=AD
C.BD=CE D.BE=CD
4.[2019·呼和浩特] 有下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的命题的序号为 .
5.[2020·河池] (1)如图2①,已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE;
(2)如图②,已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.
图2
类型之三 等腰三角形的性质及判定
6.[2019·山西] 如图3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E.若∠1=145°,则∠2的度数是( )
图3
A.30° B.35° C.40° D.45°
7.[2019·重庆] 如图4,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
图4
类型之四 尺规作图
8.[2019·潍坊] 如图5,已知∠AOB.按照以下步骤作图:
①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD;
②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE;
③连结OE交CD于点M.
下列结论中错误的是( )
图5
A.∠CEO=∠DEO B.CM=MD
C.∠OCD=∠ECD D.S四边形OCED=CD·OE
类型之五 角平分线与线段的垂直平分线
9.[2019·南充] 如图6,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
图6
A.8 B.11 C.16 D.17
10.[2019·永州] 如图7所示,已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于点F.若DE=2,则DF= .(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
图7
11.已知:在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.
(1)如图8①,∠B=∠C=30°,求∠EAF的度数.
(2)如图②,AB≠AC,且90°<∠BAC<180°.
①若∠BAC=140°,则∠EAF= °;若∠BAC=n°,则∠EAF= °.
②当∠BAC= °时,AE⊥AF.
③若BC=a,则△AEF的周长为 .
图8
类型之六 数学活动
12.八年级(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图9).设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,分别在边OA,OB上取点M,N,使OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行 若可行,请证明;若不可行,请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行 请说明理由.
图9
答案
1.D [解析] ①若a>b,ab>0,则<,真命题;
理由:∵a>b,ab>0,∴a>b>0或0>a>b,
∴<.
②若ab>0,<,则a>b,真命题;
理由:∵ab>0,∴a,b同号.∵<,∴a>b.
③若a>b,<,则ab>0,真命题;
理由:∵a>b,<,∴a,b同号,∴ab>0.
故组成真命题的个数为3.故选D.
2.如果a,b互为相反数,那么a+b=0
3.D [解析] A.当∠B=∠C时,利用A.S.A.可以判定△ABE≌△ACD;
B.当AE=AD时,利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;
C.当BD=CE时,可得到AD=AE,利用S.A.S.可以判定△ABE≌△ACD;
D.当BE=CD时,不能判定△ABE≌△ACD.
故选D.
4.①② [解析] ①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等,正确.
理由:已知:如图①②,在△ABC和△A'B'C'中,AB=AC,A'B'=A'C',BC=B'C',∠A=∠A'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠B=(180°-∠A)=90°-∠A.
同理∠B'=90°-∠A'.
∵∠A=∠A',∴∠B=∠B'.
又∵BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(A.A.S.).
②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等,正确.
理由:已知:如图③④.
在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴BD=BC,B'D'=B'C'.
∵BC=B'C',∴BD=B'D'.
又∵AB=A'B',AD=A'D',
∴△ABD≌△A'B'D'(S.S.S.),
∴∠B=∠B'.
又∵AB=AB',BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(S.A.S.)
③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,不正确.
例如:两个直角三角形的斜边长都是10,斜边上的中线长都是5,而其中一个直角三角形的两锐角是30°和60°,另一个直角三角形的两锐角是40°和50°,此时这两个三角形不全等.故答案为①②.
5.解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,
∵AC=BC,∠1=∠2,CE=CE,
∴△ACE≌△BCE(S.A.S.).
(2)AE=BE.理由如下:
如图,在CE上截取CF=DE.
在△ADE和△BCF中,
∵AD=BC,∠3=∠4,DE=CF,
∴△ADE≌△BCF(S.A.S.),
∴AE=BF,∠AED=∠BFC.
∵∠AED+∠BEF=180°,∠BFC+∠EFB=180°,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF,∴AE=BE.
6.C [解析] ∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,
∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=115°-75°=40°.故选C.
7.解:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵∠C=36°,∴∠ABC=36°.
∵BD=CD,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC.
∵EF∥BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE.
8.C [解析] 由作图步骤可得OE是∠AOB的平分线,OC=OD,∴OE垂直平分CD,∴CE=DE,CM=MD.∵CE=DE,OE⊥CD,∴∠CEO=∠DEO,但不能得出∠OCD=∠ECD.由OE⊥CD可得S四边形OCED=CD·OE.故选C.
9.B [解析] ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△ACE的周长为AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.
10.4 [解析] 过点D作DM⊥OB,垂足为M,如图所示.
∵OC是∠AOB的平分线,DE⊥OA,DM⊥OB,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,
∵∠OEF=90°,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,
即∠DFM=30°.在Rt△DMF中,∵∠DMF=90°,∠DFM=30°,∴DF=2DM=4.故答案为4.
11.解:(1)∵∠B=∠C=30°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE=30°,∠C=∠CAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
(2)①100 (2n-180)
[解析] ∵∠BAC=140°,
∴∠B+∠C=180°-140°=40°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=40°,
∴∠EAF=140°-40°=100°.
∵∠BAC=n°,
∴∠B+∠C=180°-n°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°,
∴∠EAF=n°-180°+n°=(2n-180)°.
故答案为100,(2n-180).
②135 [解析] ∵AE⊥AF,
∴∠EAF=90°,
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAF=90°.
∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAF,
∴∠BAE+∠CAF=45°,
∴∠BAC=45°+90°=135°.
故答案为135.
③a [解析] ∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,
∴AE=BE,AF=CF,
∴△AEF的周长为AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a.
故答案为a.
12.解:(1)方案(Ⅰ)不可行.理由:缺少证明三角形全等的条件.
方案(Ⅱ)可行.
证明:在△OPM和△OPN中,
∵OM=ON,PM=PN,OP=OP,
∴△OPM≌△OPN(S.S.S.),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等),
故射线OP是∠AOB的平分线.
(2)当∠AOB是直角时,此方案可行.
理由:∵PM⊥OA,PN⊥OB,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
又∵四边形的内角和为360°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,
∴射线OP为∠AOB的平分线(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).
当∠AOB不是直角时,此方案不可行.理由:∠AOB必为90°,如果不是90°,那么就不能找到同时使PM⊥OA,PN⊥OB的点P的位置.