2021-2022学年安徽省合肥五十中西校九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年安徽省合肥五十中西校九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x2+ C．y＝ax2+bx+c D．y＝x2
2．二次函数y＝（x+1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2﹣2 B．y＝x2+2
C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
4．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
6．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的最大值是﹣7
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧
7．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣1或2或1
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知两点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c上（a≠0），若|x1+2|≤|x2+2|，并且当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1≤y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①b＝﹣a；②9a﹣3b+c＝0；③a﹣2b+c＞0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），其中正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 　 　．
12．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：　 　（化简为一般式）．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行 　 　秒才能停下来．
14．平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 　 　两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
16．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 　 　 3 　 　 　 　 0 …
（2）若A（﹣，y1），B（2，y2），C（，y3）是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 　；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　 　；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　 　．
18．如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h＝2m，k＝2n，且开口方向相同，则称y1是y2的“同倍二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“同倍二次函数”　 　；
（2）已知关于x的二次函数y1＝（x﹣）2﹣和二次函数y2＝2x2﹣ax+1，若函数y1恰是y2的“同倍二次函数”，求a的值．
20．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；
（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．
六、（本大题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），直接写出m的取值范围；
（3）若点P为抛物线上一动点，求使S△ABP＝S△AOB时点P的坐标．
七.（本大题满分12分)
22．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DE∥x轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；
②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．
八、（本大题满分14分）
23．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）关于时间t（单位：天）的函数关系式为：m＝﹣2t+100，这20天中，该产品每天的价格y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系式为；y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）设日销售利润为W（元），直接写出W关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现、这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝x2+ C．y＝ax2+bx+c D．y＝x2
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、函数关系式不是整式，故此选项不符合题意；
C、a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．二次函数y＝（x+1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据二次函数的解析式，利用二次函数的性质可找出二次函数图象的顶点坐标．
解：二次函数y＝（x+1）2+3图象的顶点坐标为（﹣1，3）．
故选：B．
3．将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（　　）
A．y＝x2﹣2 B．y＝x2+2
C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．
解：将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为y＝﹣（x+2）2，
故选：C．
4．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25”由﹣0.24更接近于0即可得出结论．
解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∵﹣0.24更接近于0，
∴方程的一个近似根为1.4．
故选：B．
5．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝2.4（1+x）2．
故选：C．
6．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（　　）
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的最大值是﹣7
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点的两侧
【分析】由二次项系数a＞0得到开口向上，有最小值，然后计算得到对称轴得到函数的增减性，在通过根与系数的关系求得函数图象与x的交点情况．
解：A、由y＝x2﹣4x﹣3得，开口向上，故选项A错误，不符合题意；
B、∵对称轴为直线x＝﹣＝2，开口向上，
∴该函数有最小值，故选项B错误，不符合题意；
C、∵对称轴为直线x＝2＞0，开口向上，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
D、当y＝0时，x2﹣4x﹣3＝0，
解得：x＝2+或x＝2﹣，
∴函数图象与x轴的交点坐标为（2+，0），（2﹣，0），故选项D正确，符合题意．
故选：D．
7．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．﹣1或2或1
【分析】讨论：当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当a﹣1≠0时，利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×2a＝0，然后解两个关于a的方程即可．
解：当a﹣1＝0，即a＝1，函数为一次函数y＝﹣4x+2，它与x轴有一个交点；
当a﹣1≠0时，根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×2a＝0，解得a＝﹣1或a＝2，
综上所述，a的值为﹣1或2或1．
故选：D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．
解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
9．已知两点A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c上（a≠0），若|x1+2|≤|x2+2|，并且当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1≤y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
【分析】先求抛物线的对称轴得x＝﹣2，再根据当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，说明在对称轴右边，y随x的增大而减小，则可根据二次函数的图象与性质知，抛物线的开口方向，进而根据|x1+2|≤|x2+2|（即A点比B点离对称轴近）和二次函数的图象与性质，确定结果．
解：∵y＝﹣ax2﹣4ax+c＝﹣a（x+2）2+4a+c，
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣2，
∵当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，
又﹣2＜﹣1＜0，
∴抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c开口向下，
∴离抛物线对称轴越近的点的纵坐标就越大，
∵|x1+2|≤|x2+2|，A（x1，y1）、B（x2，y2），
∴A点离x＝﹣2不比B点离x＝﹣2远，
∴y1≥y2，
故选：D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①b＝﹣a；②9a﹣3b+c＝0；③a﹣2b+c＞0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），其中正确的命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的对称轴方程得到﹣＝﹣1，则可对①进行判断；
②根据抛物线以及抛物线的对称轴方程得到y＝0时，x＝1或﹣3，将（﹣3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），则可对②进行判断；
③利用b＝2a，a＞0，c＜0，可对③进行判断；
④根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对④进行判断．
解：∵抛物线的对称轴x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，故①错误，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），（1，0），
∴x＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，故②正确，
∵b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，故③错误，
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），故④正确，
所以正确的结论有②④，共2个．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 　4　．
【分析】先令y＝0，求得x的值，得到点A与点B的坐标，然后求得结果．
解：令y＝0，则x2﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝﹣2，
∴A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4．
12．如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为：　y＝x2﹣8x+15　（化简为一般式）．
【分析】通过平移将空白区域转化为长为（5﹣x）cm，宽为（3﹣x）cm的长方形的面积即可．
解：由题意得，
y＝（5﹣x）（3﹣x）＝x2﹣8x+15，
故答案为：y＝x2﹣8x+15．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，无人机着陆后滑行 　20　秒才能停下来．
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
解：由题意得，
s＝10t﹣0.25t2
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
14．平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．
（1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的 　A，C　两点；
（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 　　．
【分析】（1）利用待定系数法确定a，b的值；
（2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式；根据抛物线解析式与一元二次方程的关系求得答案．
解：（1）∵B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，
把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．
解得；
把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．
解得（不合题意，舍去）；
∴该抛物线经过A，B，C中的A，C两点；
故答案为：A，C；
（3）由（1）知，a＝﹣1，b＝2；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
【分析】将函数与x轴的交点转化为方程的解，然后利用根式判别式进行证明．
【解答】证明：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0，
∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴方程x2+mx+m﹣2＝0一定有两个不同的实数解，
∴抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
16．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m．
（1）请将下表填写完整，并在网格中画出该二次函数图象；
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 　0　 3 　4　 　3　 0 …
（2）若A（﹣，y1），B（2，y2），C（，y3）是该函数图象上的三点，请比较y1，y2，y3之间的大小关系（直接写出结果）．
【分析】（1）将（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+m求出m的值，然后将表格补全，根据五点法画出图象．
（2）根据开口方向及对称轴可得原来对称轴的点的y值小，从而求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+m得3＝﹣1+m，
解得m＝4，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4．
把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝0，
把x＝1代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝4，
把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+4得y＝3，
故答案为：0，4，3．
作图如下：
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，且﹣1＞1﹣（﹣）＞2﹣1，
∴y3＞y1＞y2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　x＜1或x＞3　；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　x＞2　；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　k＜2　．
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，
则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3，
故答案为：1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
故答案为:x＜1或x＞3；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＞2．
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
故答案为：k＜2．
18．如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多少．
【分析】根据货车的宽度可求出当x＝1时y的值，用其减去0.5即可求出结论．
解：当x＝1时，y＝﹣+4＝3.75，
∴3.75﹣0.5＝3.25（米）．
答：货车的限高应是3.25米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为（h，k），（m，n），若h＝2m，k＝2n，且开口方向相同，则称y1是y2的“同倍二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x+2的一个“同倍二次函数”　y＝（x﹣2）2+2　；
（2）已知关于x的二次函数y1＝（x﹣）2﹣和二次函数y2＝2x2﹣ax+1，若函数y1恰是y2的“同倍二次函数”，求a的值．
【分析】（1）先将y＝x2﹣2x+2配方求出顶点坐标，然后根据题干中“同倍二次函数”定义求解．
（2）由y1＝（x﹣）2﹣可得顶点为（，﹣），根据“同倍二次函数”定义可得y2＝2x2﹣ax+1的顶点坐标为（，﹣）或（a，﹣a），将顶点坐标代入y2＝2x2﹣ax+1求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴图象顶点坐标为（1，1），
∴y＝x2﹣2x+2的“同倍二次函数”可以是y＝（x﹣2）2+2，
故答案为：y＝（x﹣2）2+2．
（2）∵图象y1＝（x﹣）2﹣的顶点为（，﹣），
∴y2＝2x2﹣ax+1的顶点坐标为（，﹣），
把（，﹣）代入y2＝2x2﹣ax+1得﹣＝2（）2﹣a+1，
解得a＝﹣2或a＝4．
20．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，其余部分均使用，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE＝x，用含有x的式子表示BE的长；
（2）求矩形ABCD的面积y关于x的解析式，并直接写出当面积取得最大值时，AE的长．
【分析】（1）根据面积之间的关系得到线段之间的关系，设未知数，代入并整理即可；
（2）利用矩形的面积公式得到y关于x的函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
解：（1）∵S2＝S3＝S4，
∴NC＝2BH＝2HN，
设EG＝b，则EF＝4b，
∵S2＝S1，
∴BE b＝x 4b，
∴BE＝4x（0＜x＜5）；
（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5x+4x+4x+5x＝18x，
∴BC＝＝45﹣9x，
∴y＝5x（45﹣9x）＝﹣45x2+225x＝﹣45（x ）2+，
∵﹣45＜0，
∴当x＝时，y有最大值，此时最大值为m2．
答：当面积有最大值时，AE＝m．
六、（本大题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA，若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），直接写出m的取值范围；
（3）若点P为抛物线上一动点，求使S△ABP＝S△AOB时点P的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标（﹣2，4）代入y＝﹣x2﹣2x+c中，直接得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数解析式即可得出顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围；
（3）根据AB∥x轴得S△ABC＝S△ABG＝S△AOB，再令y＝﹣x2﹣2x+4＝0即可求得点P．
解：（1）把点A的坐标（﹣2，4）代入y＝﹣x2﹣2x+c中，
﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+c＝4，
∴c＝4；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，5）
如图，过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F，
∵AB的中点E的坐标是（﹣1，4），OA的中点F的坐标是（﹣1，2），
∴m的取值范围是：1＜m＜3；
（3）如图，设抛物线交x轴于C，G，连接AC、BC、AG、BG，
∵AB∥x轴，
∴S△ABC＝S△ABG＝S△AOB，
∴若点P为抛物线上一动点，使S△ABP＝S△AOB，则点C或G即为点P，
令y＝﹣x2﹣2x+4＝0，
解得x＝﹣1+或﹣1﹣，
∴P的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．
七.（本大题满分12分)
22．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）．
（1）求直线l的表达式；
（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DE∥x轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m．
①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；
②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求出点A、B、C的坐标，然后用待定系数法求直线l的解析式；
（2）①当点D运动到使得点E与点C重合时，C的纵坐标与D的纵坐标相等，将D的纵坐标代入抛物线的解析式中求出点D的坐标即可；
②用含m的式子表示点D的纵坐标，再将D的纵坐标代入直线l的解析式中求出点E的横坐标，即可得到ED的长，再利用二次函数的顶点式求出ED的最大值．
解：（1）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
当y＝0时，y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x＝﹣或x＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，0），B（4，0），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
将点B（4，0），C（0，2）代入，
得：，
解得：，
∴直线l的表达式为y＝﹣x+2；
（2）①∵C（0，2），点D运动到使得点E与点C重合，
∴E（0，2），
∵DE∥x轴，
∴D的纵坐标为2，
令y＝﹣x2+x+2＝2，
解得x＝0或﹣，
∴D（﹣，2）；
②设P（m，﹣m2+m+2），
∵DE∥x轴，
∴点E和点D的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝2m2﹣7m，
∴ED＝m﹣（2m2﹣7m）＝﹣2m2+8m，
∵DE＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴m＝2时，线段PE的最大值是8．
八、（本大题满分14分）
23．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）关于时间t（单位：天）的函数关系式为：m＝﹣2t+100，这20天中，该产品每天的价格y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系式为；y＝t+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）设日销售利润为W（元），直接写出W关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现、这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据日销售利润＝日销量×每日的价格列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中解析式，由函数的性质求函数最值：
（3）根据销售利润减去捐赠数等于单件利润乘以销售量列出解析式，并结合二次函数的性质和a＜4即可求解．
解：（1）设日销售利润为W元，根据题意，得
W＝ym＝（t+25﹣20）（﹣2t+100）＝﹣t2+15t+500，
∴W关于t的函数关系式为W＝﹣t2+15t+500；
（2）由（1）知，W＝﹣t2+15t+500＝﹣（t﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴当t＝15时，w有最大值为612.5，
答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元；
（3）根据题意，得
w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100）
＝﹣t2+（15+2a）t+100（5﹣a），
∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a，
要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，
必须15+2a≥（19+20）×0.5，
∴a≥2.25，
又a＜4，
∴2.25≤a＜4，
答：a的取值范围是2.25≤a＜4．