2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册1.5“全称量词与存在量词”单元-课时教学设计

1.5“全称量词与存在量词”单元-课时教学设计
一、内容及其解析
内容:全称量词与存在量词、全称量词命题和存在量词命题的否定
内容解析:
内容的本质:量词就是对变量的取值范围进行限定的短语;短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,含有全称量词的命题叫做全称量词命题;短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,含有存在量词的命题叫做存在量词命题.
蕴含的数学思想和方法:在用数学的语言表达和交流所研究的数学对象时,积累数学抽象的经验．全称量词与存在量词教学中蕴含着符号化思想、数学抽象思想和转化与化归思想.
知识的上下位关系:“全称量词与存在量词——全称量词命题和存在量词命题——全称量词命题和存在量词命题的否定”,其中,全称量词与存在量词是原始概念,“全称量词和存在量词”是全称量词命题与存在量词命题概念的外延,而“全称量词命题和存在量词命题的否定”是在全称量词命题与存在量词命题的基础上得到的与原命题真假相反的新的命题．
育人价值:就符号形式而言,它是一个全新的内容.就所表示的内容而言它是初中乃至高中课本大量数学命题的高度概括中的形式化,体现了从初中的数学知识较形象化向高中的数学知识较抽象化的进一步过度. 中学数学是由概念、定义、公理、定理及其应用等组成的逻辑体系.在理解数学概念、数学命题时,全称量词与特称量词和数学命题的形式化常伴其中,进行判断和推理时,必须理解清楚它们的含义遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误.掌握全称量词与特称量词的知识,对于深刻领会中学数学教学内容,提高学生的逻辑思维能力,有着重要的意义和作用.
教学重点:理解全称量词命题和存在量词命题的意义、掌握全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律．
二、教学目标及其解析
目标
通过学过的数学实例,理解全称量词的意义.掌握全称量词命题的含义、表示以及判定全称量词命题真假的方法;
通过学过的数学实例,理解存在量词的意义.掌握存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法;
理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”;
理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”.
目标解析
达成上述目标的标志是:
对一些含有变量的陈述句,能够认识全称量词和全称量词命题,能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法,即判断全称量词命题为真命题,需要对每一个变量,语句都成立;判断为假命题,只需要找到一个反例,使语句不成立;
对一些含有变量的陈述句,能够认识存在量词和存在量词命题,能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法,即判断存在量词命题为真命题,只需要找到一个或证明存在使语句成立的变量;判断为假命题,需要证明对每一个变量,语句都不成立;
通过分析典型的全称量词命题,能够写出全称量词命题的否定,理解全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”,体会两种命题之间的关系;
通过分析典型的存在量词命题,能够写出存在量词命题的否定,理解存在量词命题“”的否定是全称量词命题“” ,体会两种命题之间的关系.
三、教学问题诊断分析
问题诊断
学生在学习数学符号的过程中存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂性,要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来,用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于理解数学符号表述含义的困难,这个困难不仅是对量词概念的理解还包括命题中所含的其他数学符号的含义.教师引导学生辨析很有必要.教师引导学生获得对问题本质的认识是具有挑战性的教学活动.所以企图在一节中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中,不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们.教学中,教师要采取适当的方法,注意启发引导不要以自己的想法代替学生的想法,把全称量词命题特称命题的定义告诉学生.注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称量词命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学,而把中心放在练习强化上.要防止练习中知识的面太大产生负迁移而影响理解概念的本质.
全称量词命题和存在量词命题的否定是高中数学第一章第5节第二课时,学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上,理解起来可能不是很好理解.否定词是学生容易忽略的,应提醒学生.以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定,全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点,也是一个难点,在否定的过程中注意全称量词与存在量词之间的相互转化,重点是在意义上理解命题的否定.
教学难点:正确地判断全称量词命题和存在量词命题的真假、正确地对含有一个量词的命题进行否定
四、教学支持条件分析
1. 知识支持:在初中,学生已经无意识地接触过全称量词命题和存在量词命题,比如常见的数学结论:如同角或等角的补角相等;同角或等角的余角相等;同弧所对的圆周角是圆心角的一半等等,这些都为我们今天系统地学习全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示和命题的否定提供了知识上的支持.
2. 技术支持:利用网络平台（比如ipad 等）在课前检测、学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中,由教师给出问题或者测试题,让学生回答或者解答,再由教师给出评价.
五、课时教学设计
第1课时 1.5.1 全称量词与存在量词
（一）教学目标:
通过数学实例,理解全称量词的意义;
掌握全称量词命题的含义、表示以及判定全称量词命题真假的方法,提高逻辑思维能力;
通过类比的方法归纳并掌握存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法,发展类比思想;
掌握常见的全称量词和存在量词.
（二）教学重难点:
教学重点:
全称量词命题的含义、表示以及判定全称量词命题真假的方法;
存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法.
教学难点:
判断一个命题是否为含有量词的命题;
提炼语句中的量词,把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式;
正确区分全称量词命题和存在量词命题;
准确判断全称量词命题和存在量词命题的真假.
（三）教学过程设计:
师生活动:
教师复习命题的概念:可以判断真假的陈述句叫做命题;
2. 学生调整状态,跟随教师回忆命题的概念.
设计意图:复习导入命题,为本节课的新知识做铺垫.
【问题1】思考并问答下面的问题:
下列语句是命题吗 请同学们观察（1）和（3）、（2）和（4）,它们有什么不同？
（1）;
（2）是整数;
（3）对所有的;
（4）对任意一个是整数;
师生活动:
1. 学生经过思考,根据命题的定义得到结果:（1）、（2）不是命题,（3）、（4）是命题.他们之间的关系是:后者比前者多了一些量词,通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题.
2. 教师在同学们发言后总结关系:用短语“所有的”、“任意一个”对变量进行限定后,使原来不是命题的语句成为可以判断真假的语句.
设计意图:
复习所学知识,由命题引入,迈上本节课的“台阶”——量词.
【问题2】请同学们阅读课本24页的倒数第二段,这段文字有哪些概念词、符号和定义？请给它们不同的标记.
师生活动:
1. 学生安静地阅读课本,并动手标记.
2. 教师等待学生阅读教科书中的相关内容,后根据学生的回答板书全称量词的含义和符号、全称量词命题的含义.教师指明,短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
设计意图:
使学生对全称量词和全称量词命题的概念和符号有初步的了解.
【问题3】找出其中的量词？你还能举出一些常见的全称量词吗？
（1）任意实数的平方都是正数;
（2）0乘以任何数都等于0;
（3）正方形是矩形.
师生活动:
1. 学生经过思考,找到其中的（1）（2）的量词为“任意”、“任何”,对于（3）正方形是矩形,需要进一步的思考和提炼.学生结合已有的知识和课本中的提示列举“所有的”、“任意一个”、 “一切” 、“每一个”、 “任给”等量词.
2. 教师点名学生回答问题,并和同学们一起判断所给答案正误,将符合的全称量词补充在黑板上.对于（3）正方形是矩形,教师指明其隐含的全称量词为“所有的”.
设计意图:
让学生能够判断出命题中的全称量词,体会全称量词所表示的意义.
【问题4】初中,我们已经接触过一些含有全称量词的命题,你能列举一些全称量词命题的实例吗？并要求说明理由.
师生活动:
1. 学生经过思考,结合已有的知识,给出不同的答案.
2. 教师提示学生回忆初中常见的数学结论,如同角或等角的补角相等;同角或等角的余角相等;同弧所对的圆周角是圆心角的一半等等,发现常用数学结论和全称量词命题的关系紧密.教师带领学生一起判断同学们所给答案是否符合,并再次巩固全称量词命题的定义.
3. 课堂测试1:
判断下列是否为全称量词命题:
（1）所有的素数都是奇数;
（2）;
（3）对任意一个无理数,也是无理数;
设计意图:
使学生再次巩固全称量词命题的定义.
【问题5】请同学们阅读课本24页的倒数第一段,全称量词命题的数学符号语言是如何表示的？其数学意义是什么？
师生活动:
1. 学生安静地阅读课本并做标注.
2. 教师引导学生阅读教科书中相关内容,同时帮助学生理解符号意义,全称量词命题“对中的任意一个成立”可用符号简记为“”.
设计意图:
掌握全称量词命题的符号及其意义.
【问题6】判断下列命题的真假,并用符号表示:
（1）任何一个实数除以1,仍等于这个实数;
（2）每一个非零向量都有方向;
（3）一切分数都是有理数;
（4）每个指数都是单调函数.
师生活动:
1. 学生仿照（1）,分析（2）~（4）,判断命题的真假,将命题用符号表示.
2. 教师引导学生分析（1）任何一个实数除以1,仍等于这个实数,找出该命题的全称量词“任何”,数学符号写为“”, “一个实数”用数学符号表示为“”, “一个实数除以1,仍等于这个实数”用数学符号写为“”,所以该命题用符号完整表示为“”.并且对给定的集合,每一个元素都成立,所有该命题为真.教师指明,判断存在量词命题真假的方法为:全称量词命题为真,必须对给定的集合的每一个元素为真,但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合内找出一个,使为假.
设计意图:
通过举例子的方式引导学生完成对全称量词命题由自然语句向标准的全称量词命题形式的转化和判断存在量词命题的真假.
【问题7】
用类比法探究存在量词和存在量词命题的含义、符号表示、常见的存在量词、列举一些存在量词命题的实例、判断存在量词命题的方法.完成表格,以小组的形式讨论并汇报.
全称量词 存在量词 全称量词命题 存在量词命题
定义 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 含有全称量词的命题.
符号
符号数学意义 任意 对中的任意一个成立
举例 “所有的”、“任意一个”、“一切” 、“每一个”、“任给”等等. 同角或等角的补角相等;同角或等角的余角相等;同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
师生活动:
1. 学生以小组为单位完成表格,形成讨论结果后轮流上台汇报.
2. 教师预留足够的时间让学生自主探究并小组讨论,期间巡视课堂并做到个别辅导与答疑,并对学生的汇报结果进行以积极鼓励为主的评价.
设计意图:
使学生通过类比的方法归纳并掌握存在量词命题的含义、表示以及判定存在量词命题真假的方法,发展类比思想、自主学习能力以及合作意识.
【问题8】找出其中的量词？你还能举出一些常见的存在量词吗？
（1）至少有一个实数有相反数
（2）ABC的内角中有小于的角
师生活动:
1. 学生经过思考,找到其中的（1）（2）的量词为“至少”、“有”,学生结合已有的知识和课本中的提示列举“有些”、“有一个”、 “对某些” 、“有的”等量词.
2. 教师点名学生回答问题,并和同学们一起判断所给答案正误,将符合的存在量词补充在黑板上.
设计意图:
让学生能够判断出命题中的存在量词,体验全称量词和存在量词所表示的不同意义.
【问题9】判断下列是否为存在量词命题:
（1）有一个实数,使;
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
（3）有些平行四边形是菱形;
设计意图:
使学生再次巩固存在量词命题的定义.
【问题10】判断下列命题的真假,并用符号表示:
（1）存在一对实数,使得成立;
（2）有一个实数不能做除数;
（3）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;
（4）有些三角形是锐角三角形.
师生活动:
1. 学生仿照对全称量词命题的研究,判断存在量词命题的真假并用符号表示;
2. 教师指明判断存在量词命题真假的方法:存在性命题为真,只要在给定的集合中找出一个元素,使命题为真,否则为假.
设计意图:
通过类比和举例子的方式引导学生完成对存在量词命题由自然语句向标准的存在量词命题形式的转化,培养类比和逻辑能力.
【课堂小结】
1. 本节课学到了什么知识？
（1）全称量词、存在量词及全称量词命题和存在量词命题的定义;
（2）全称量词命题与存在量词命题真假的判断;
（3）全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化.
2. 对于本节课所学知识点和题目还有什么疑问？
【作业布置】
必做题:
1. 阅读课本,复习今天所学内容并整理笔记
2. 完成习题1.5第1.2.3题
选做题:
1. 练习册第15题
（五）目标检测设计
目标检测题:
1. 下列命题哪些是全称量词命题？哪些是存在量词命题？
（1）有的质数是偶数;
（2）与同一个平面所成的角相等的两条线平行;
（3）有的三角形三个内角成等差数列;
（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
（5）偶函数的图像关于y轴对称;
（6）存在实数大于等于;
（7）;
（8）.
2. 判断下列命题的真假:
（1）每个四边形的内角和都是;
（2）任何实数都有算数平方根;
（3）是无理数;
（4）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;
（5）至少有一个实数,使得为奇数;
（6）是无理数.
第2课时 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
（一）课时教学内容:
全称量词命题和存在量词命题的否定形式
（二）课时教学目标:
1. 通过探究数学中一些实例,归纳总结出全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律,发展数学抽象素养;
2. 通过对命题及其否定的形式变化,知道全称量词命题的否定是存在量词命题;存在量词命题的否定是全称量词命题;
3. 通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们否定形式的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定.
（三）教学重点与难点 :
1. 教学重点:通过探究,归纳总结出全称量词命题和存在量词命题的否定的变化规律.
2. 教学难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定.
（四）教学过程设计:
【问题1】给同学们5分钟的时间阅读本节课本,请同学们尝试对下面的命题进行否定:
1.7是63的因子;
2.空集是集合的真子集;
3.末位是0或5的数是5的倍数.
师生活动:
1. 学生经过思考,给出不同的答案;
2. 教师给出正确答案后导入命题的否定这一概念,一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.
设计意图:
初步接触简单命题的否定后给出其定义.
【问题2】 判断上面的命题和它们的否定的真假
师生活动:
1. 学生经过思考,给出答案后与同桌校对答案;
2. 教师在同学们校对完答案后请一名学生说出自己的答案,之后让该学生的同桌说是否同意该答案.
设计意图:
练习判断命题的真假的同时引导学生思考这些命题的真假之间是否有某种联系.
追问:观察一下这些命题与原命题的否定的真假有什么相同点,你能从中归纳出什么结论
师生活动:
1. 学生经过思考,给出一个命题和它的否定之间关于真假的一般性结论;
2. 教师通过师生的共同探索得出结论:一个命题和它的否定不能同时为真命题,也不能同时为假命题只能一真一假.
设计意图:
学生通过自己的观察和探索得出一个命题和它的否定之间关于真假的一般性结论,培养学生的总结概括能力.
【问题3】 写出下列命题的否定:
1.所有的矩形都是平行四边形;
2.每一个素数都是奇数;
3.
师生活动:
教师引导学生写出上述命题的否定并统一表述方式以便后面的探究
其中命题1的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说
“存在一个矩形不是平行四边形”;
命题2的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说
“存在一个素数不是奇数”;
命题3的否定是“并非所有的”,也就是说,
“”.
追问:它们与原命题在形式上有什么变化？
师生活动:
引导学生发现三个原命题都是全称量词命题,即具有“”的形式, 从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
设计意图:
通过探究数学中一些实例,归纳总结出存在量词命题的否定的变化规律,发展数学抽象素养.
追问:你能通过上面的例题归纳出一般来说如何对含有一个量词命题的全称量词命题进行否定吗？
师生活动:
1. 学生小组探究后发言展示讨论成果.
2. 教师根据学生的回答总结梳理出一般性的对含有一个量词命题的全称量词命题进行否定的方法.
设计意图:
一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“不成立”,通常,用符号“”表示“不成立”.
对含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:
它的否定:
也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
【问题4】 写出下列命题的否定:
1.所有能被3整除的数都是奇数;
2.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上;
3.对任意的个位数字不等于3.
师生活动:
1. 学生经过思考,给出答案后与同桌校对答案;
2. 教师在同学们校对完答案后请学生说出自己的答案,之后让该学生的同桌说是否同意该答案,可以多提问几位学生,当又出现有学生与同桌的答案不一样时,可以提出来让学生一起思考两种表述是否都正确.
设计意图:
使学生能够根据全称量词命题与它否定形式的变化规律,正确地对含有一个全称量词的全称量词命题进行否定.通过同桌互相对答案发现对一个命题的否定的表述形式可以是多样的.
【问题5】 写出下列命题的否定:
1.存在一个实数的绝对值是正数;
2.有些平行四边形是菱形;
3.
师生活动:
教师引导学生写出上述命题的否定并统一表述方式以便后面的探究
命题1的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
“所有实数的绝对值都不是正数”;
命题2的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,
“每一个平行四边形都不是菱形”;
命题3的否定是“不存在”,也就是说,
“”.
追问:它们与原命题在形式上有什么变化？
师生活动:
引导学生发现三个原命题都是存在量词命题,即具有“”的形式, 从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了全称量词命题.
设计意图:
通过探究数学中一些实例,归纳总结出存在量词命题的否定的变化规律,发展数学抽象素养.
追问:你能通过上面的例题归纳出一般来说如何对含有一个量词命题的存在量词命题进行否定吗？
师生活动:
学生类比含有一个量词命题的全称量词命题的否定得出含有一个量词命题的存在量词命题的否定的方法.
设计意图:
一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些” 等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“”, 则它的否定为“不存在,使成 立”,也就是"不成立”.
对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:
存在量词命题:
它的否定:
也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
【问题6】 写出下列命题的否定:
1.;
2.有的三角形是等边三角形;
3.有一个偶数是素数.
师生活动:
1. 学生经过思考,给出答案;
2. 教师通过提问方式订正答案.
设计意图:
使学生能够根据全称量词命题与它否定形式的变化规律,正确地对含有一个全称量词的全称量词命题进行否定.
【问题8】 你能根据全称量词和存在量词的含义,用语言表述含有一个量词的命题的否定吗？
师生活动:
学生依据所学知识,分别说出全称量词命题和存在量词命题的否定的一般方法
设计意图:
加深学生对命题的否定的理解与认识,并能够写出含有一个量词的命题的否定.
【课后作业】
作业 1:习题 1.5 第 3,4,5 题．
设计意图:
第3题前两问是全称量词命题的否定,后两问是存在量词命题的否定,第4题和第5题是综合运用.
作业2:习题1.5拓广探索第6题．
设计意图:
通过探索有些隐藏了全称量词的“若,则”形式的全称量词命题的否定加深对命题的否定的本质的理解.
（五）目标检测设计
目标检测题:
写出下列命题的否定,并判断真假:
任意两个等边三角形都相似.
检测目标:全称量词命题的否定.
;
检测目标:全称量词命题的否定.
设计意图:
根据含有一个量词的命题与它们否定形式的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定.