2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式 教学设计

“基本不等式”单元-课时教学设计
一．内容和内容解析
1.内容：重要不等式，基本不等式，基本不等式的应用
2.内容解析：
内容的本质：基本不等式的本质上是反映了两个正数的算术平均数和几何平均数这两类平均数之间的大小规律，用基本不等式解决问题，也就是两个正数和与积的转换过程。
蕴含的数学思想和方法：函数思想，化归思想，数形结合方法，渗透着数学结论的严谨性。
知识的上下位关系：以不等式的性质为基础研究基本不等式并用基本不等式解决实际问题，基本不等式是进一步了解不等式性质的不可缺少的一部分，并为之后的函数最值问题奠定基础，在整个知识体系当中起着承上启下的作用。
育人价值：《普通高中数学课程标准》规定基本不等式是作为学习高中数学的一个预备知识，为高中数学课程做好学习心理，学习方式和知识技能等方面的准备。从探究基本不等式的过程来看，需要学生观察，猜想，分析和归纳。有利于提高学生的思维能力，是培养学生数形结合意识的重要载体，也是学生发展四基四能的重要载体。
单元教学重点：了解重要不等式和基本不等式并能灵活应用。
二．目标和目标解析
1.目标：
（1）掌握基本不等式。
（2）了解基本不等式的几何背景。
（3）探究基本不等式的证明过程，体验数形结合的思想方法。
（4）理解基本不等式的几何解释并能解决简单的最值问题，体验数学的应用价值。
（5）应用重要不等式及基本不等式解决实际问题。
2.目标解析：
（1）学生能在具体的几何问题情景中通过观察、分析基本不等式的推导过程，并能用自己的语言概括基本不等式。
（2）进一步探究几何图形，给出基本不等式的几何解释。
（3）通过几何图形的动态过程，学生可以直观地了解基本不等式。
（4）通过具有共同特征的例题进行类比归纳基本不等式解决实际问题的一般步骤。
（4）通过应用问题的解决，明确基本不等式的解题过程。引导学生试用基本不等式解决最值问题，并体验基本不等式的本质，和与积的转换过程并在错误中领会“一正、二定、三相等”的解题规则。
问题诊断：
在学生的认知上，学生前面已经学习了不等式性质与等式性质，并能根据不等式的性质比较数的大小，但是如何从平面几何中抽象出基本不等式对于学生来说是一个难点。如果教师不加以引导，学生就不能自觉地概括出图形的相等关系与不等关系，也不能进一步概括出重要不等式。
教师尽可能引导学生充分理解基本不等式等号成立的充要条件，学生在用不等式解决最值问题时，时往往会忽视基本不等式使用的前提是。因此在教学中，要借助例题让学生理解基本不等式的简单应用。概括出基本不等式的解题规则也是一个难点，两个正数和一定，当且仅当这两个数相等时，它们的“积”取得最大值；当两个正数的积一定，当且仅当这两个数相等时，它们的“和”取得最小值，要让学生进一步理解基本不等式的本质，进而概括出“一正、二定、三相等”的解题规则。
四．教学支持条件：
为了更好地帮助学生理解基本不等式，了解基本不等式的几何背景，感受数形结合的数学方法，几何画板是一个非常好用的工具，可以借助软件演示动画帮助学生验证不等式等号取到的情况，增强教学效果。
借用PPT展示例题，减少不必要的板书时间，让教学更顺利地进行。
五．课时教学设计
第1课时 基本不等式
一．课时教学内容：
基本不等式
二．课时教学目标：
1．学生学会了解基本不等式，理解基本不等式的推导过程，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；能够应用基本不等式解决实际问题。
2．学生在自主探究，小组讨论基本不等式的推导过程中，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
3．通过对基本不等式的探索，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
三．教学重难点
教学重点：学生了解基本不等式的概念，能够应用基本不等式解决实际问题。
教学难点：基本不等式的推导过程。
（四）教学过程设计
1.复习导入
教师活动：在前面的学习中，我们学习了完全平方公式，并且利用完全平方公式得出了一类重要不等式，提出问题：什么是完全平方公式？根据完全平方公式得出的重要不等式是什么？
学生活动：就老师的问题展开独立思考或者讨论回答问题。
设计意图：通过复习导入，不仅能够测验学生对已学过知识的掌握，还能够建立新旧知识的练习，为接下来所要学习的新内容做铺垫。
二、新课讲授
活动一
重要不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
提出问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
师生活动：教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。学生根据教师的指导解决问题。
设计意图：通过图片展示，提高学生的兴趣，引入课题
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
设计意图：通过图片展示，提高学生的兴趣，激发学生对问题的思考与探究。
你能给出它的证明吗？给予学生一定的时间思考，教师进行巡视指导。
学生活动：独立思考或者小组讨论探究问题。
师生活动：在给予一定时间给学生思考后，教师与学生一起探究问题。
证明：
追问2.当直角三角形变为等腰直角三角形，不等式会有什么变化？给予一定时间让学生自己画出变化后的图形，再让学生独立思考或者小组讨论，一定时间后找学生代表回答问题，对学生的回答结果给予评价。
学生活动：学生动手画出变化后的图形，通过自主探索和小组讨论得出重要不等式
一般的，如果。
师生活动：老师和学生一起再次对问题进行梳理和解决。
活动二
提问：当我们用可以得到什么式子？
可得
追问1.该式子要成立满足什么条件呢？
教师归纳：一正二定三相等
追问2.你能给出它的证明吗？
学生活动：四人为一小组讨论探究问题。
教师提示：应用重要不等式进行推导
师生活动：教师在巡视过程中指导学生，在给予一定时间给学生思考后，教师与学生一起探究问题。
用分析法证明：
要证（1）
只要证（2）
要证（2），只要证（3）
要证（3），只要证（4）
要证（4），只要证
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
活动三
教师活动：指导学生阅读教材45页的探究，让学生回答下列问题。
学生活动：阅读教材45页的探究，回答问题。
师生活动：共同探究问题，得出基本不等式的几何意义。
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
教师组织学生在方格纸上画出右图，并度量AB,DC的长度
追问1.你能用a,b表示DC吗？、
追问2.你能发现什么？
猜想
教师通过利用几何画板画出图一，并演示图形的动态过程。
师生总结归纳：
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么
即
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
设计意图：通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并进一步的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题的探究，提高了学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问题的能力奠定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。
三．课堂练习
1：已知x、y都是正数，求证：
（1）；
（2）（
分析：在运用定理：时，注意条件a．b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数
（1）
（2）
∴
即
2.书上45页例题1和例题2
设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也能使学生思维能够有效提高，能好地将知识学以致用。
四．课时小结
本节课，我们学习了重要不等式；两正数a．b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a．b都是实数，而后者要求a．b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：
五．课后作业
必做题：p46.练习题1.2.3.4
选做题：p46.练习题5
六．板书设计
基本不等式的应用
1.重要不等式 推导过程 练习：
2.基本不等式 注意：一正二定三相等 作业布置：
第2课时 2.2.2基本不等式的应用
一．教学目标：通过例题和练习，掌握两个不等式成立的前提条件:“一正二定三相等”体会数学是从生活中来到生活中去的数学思想。
二．教学重难点
重点：重要不等式和基本不等式在求最值问题的应用
难点：两个不等式成立的成立的前提条件：“一正二定三相等”
三.教学方法
讲授法，讨论法，练习法
四．教学过程
（一）复习导入：引出新课
问题1：什么是重要不等式？
问题2:上节课学习了基本不等式，你知道什么基本不等式吗？
如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）
教师活动：组织学生与同桌交流，再请学生回答，并提问，是否与同桌的结果一致，最后表扬学生。学习了重要不等式和基本不等式，来看看它们在数学中有什么应用呢？下面我们来学习基本不等式的应用。
设计意图：通过复习导入，使得前后知识联系，巩固上节课所学的知识。
（二）讲授新知
例1.（1）已知三角形的两直角边长度之和为20cm,求面积最大时斜边的长，最大面积为多少？
分析：求面积最大，即求两直角边之积最大。
解：设直角三角形两条直角边分别为x,y(x>0,y>0)，
则x+y=20,20=x+y≥2，xy≥100，=50
当x=y=10时，取“=”，
即面积最大时斜边的长为，最大面积为50
例2：(1) 用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
(2)用--段长为36m的篱笆围成--个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
分析: (1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
(2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
解:（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym,篱笆的长度为2(x+y)m.(1)由己知得xy=100.
由
可得
所以
当且仅当x=y=10时，上式等号成立，因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短。最短篱笆的长度为40m.
(2)解法一:设矩形菜园的宽为xm， 则长为(36-2x)m,中0面积
当且仅当2x=36-2x, 即x=9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9m时菜园面积最大为81
解法二:设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xy 。 由可得xy≤81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81
归纳: (知识点的归纳应尽量引导学生大胆主动地去思考、并学会组织语 言，用自己的话阐述规律性的东西)
教师活动：在PPT展示例题，在并适当分析题目，并请两位学生上台演示，其他同学在练习本自我完成，学生演示完后，教师整理答题过程。
追问：通过两道例题，你能总结求解此类题时的一般步骤吗？
教师活动：组织学生前后四人为一组，共同探究解此类题的步骤，并鼓励学生组织好用自己的语言，并归纳出来，并以小组的形式回答。
教师通过学生回答，总结归纳出解此类题的步骤：
先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
设计意图：通过自主探究和小组交流的学习方法，进行问题的探究，提高学生的语言表达能力和合作交流能力，提高学生解决问题的能力。
（三）随堂练习
完成第48页的课后练习 1、2、3.
设计意图：本节课为基本不等式的应用，通过例题来检验学生对基本不等式这一知识的掌握程度并能熟知解此类题型的补办步骤，通过解决问题类题型，提高学生解决问题的能力，及向学生渗透数学结论的严谨性。
（四）课堂小结
你能说一说今天有什么收获吗？
1.解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（数及不等式性质等)解决问题.
2.利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”
设计意图:通过课堂小结，提高学生语言表达能力，鼓励学生用自己的话表达，使得学生能掌握基本不等式的应用。
（五）作业布置：
作业：必做题：习题2.2，复习巩固1,2,3,4
选做题：习题2.2综合运用5,6
设计意图：通过必做题和选做题，必做题面向的是全体学生，选做题面向的是有能力的学，使得有能力的学生得到发展。又减少一般学生的压力，做到因材施教。
五．板书设计
基本不等式的应用
1.重要不等式 一般步骤： 练习：
2.基本不等式 注意：一正二定三相等 作业布置：