2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.3.1对数的概念教学设计

人教版高中数学（2019）必修第一册4.3.1对数的概念教学设计
一、内容及其解析
1.内容：对数的概念、对数与指数之间的关系、对数的性质、对数的运算性质、对数的换底公式。
2.内容解析：
内容的本质：对数是指数运算的逆运算，是一类重要的函数，在实际生活中有广泛的应用。对数具有积的对数等于对数的和、商的对数等于对数的差以及一个数的次方的对数等于这个数对数的倍的运算性质。
蕴含的数学思想和方法：在理解对数概念时，体会数学符号抽象的过程。对数教学中，蕴含着类比转化的思想。
知识的上下位关系：“对数的概念——对数与指数之间的关系——对数的性质——对数的运算性质——对数的换底公式”，通过对数与指数之间的关系，理解对数的概念，建立知识之间的前后联系，接下来学习对数的性质为学习换底公式作铺垫。通过指数的运算推导对数的运算性质，最后根据对数的定义推导换底公式。对数的运算性质和换底公式都是由对数的概念推导得来，并且与指数的运算性质有密联系，知识环环相扣。
育人价值：对数式是数学学习中的重要知识点，为学习对数函数这一重要的初等函数夯实基础。学习对数的概念要在掌握指数概念基础上进一步学习，注意指数和对数之间相互联系和区别，引导学生对概念进行类别。同时，引导学生通过对数概念推导对数的运算性质，学会灵活运用已学知识。培养学生从实际问题中抽象出数学符号的能力，使学生形成类比转化意识，提高严谨的逻辑推理能力以及运算能力。
教学重点：理解对数的概念，学会对数式与指数式之间的相互转化，利用对数的概念求解对数式中的未知数。利用对数运算性质计算，综合利用换底公式和常用对数化简对数式。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）了解对数的概念，理解对数与指数之间的关系，能利用对数的概念掌握对数与指数之间的相互转化，并且了解常用的两个对数（常用对数和自然对数），利用对数的定义求解对数式的值，通过对数与指数之间的关系求解对数式中的参数，掌握参数的取值范围。
（2）知道对数的运算性质是怎样由指数的运算推导得来，并灵活运用对数的运算性质计算对数式的值。
（3）了解由对数与指数之间的关系推导换底公式的过程，学会利用换底公式化简对数式，以及利用常用对数表示复杂的对数式。学会综合利用换底公式和对数的运算性质。
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）熟悉指数与对数运算之间互逆的关系，能根据对数的概念进行指数与对数之间的互化并会对数式的计算（知二求一）。
（2）会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对
数运算法则，并能利用运算性质完成对数运算。
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
（1）学生难以理解对数与指数符号之间的关系，在应用对数概念进行运算时，会出现符号混乱的现象。这就要求教师在教学时首先要让学生清楚指数式中哪个是指数，哪个是底数，再思考对数式中真数是指数式中的哪部分，避免当题目换成其它字母时，学生就不清楚该如何进行指对互化，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解，教师要引导学生思考，引导学生与指数式进行联系，并加以证明。
（2）熟悉对数运算法则，首先类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件，提醒学生注意对数式中每个字母的取值范围，最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，从而简化计算方法，加快运算速度，显示对数计算的优越性。
2.教学难点：对数概念的理解，综合利用对数的运算性质和换底公式。
四、教学支持条件分析
有了指数学习的积累，进一步认识对数的概念并理解对数与指数互逆的关系。通过生活实际问题引出对数的概念。
五、课时教学设计
第1课时 4.3.1对数的概念
（一）课时教学内容：
对数的概念，对数与指数之间的相互转化，利用对数的概念计算对数值以及应用指数与对数互相转化解决对数中未知数求解问题。
（二）课时教学目标：
1.通过指数幂运算，理解对数的概念，了解对数与指数之间的关系。让同学们体会指数与对数之间相互转化的过程，培养学生等价转化的数学思想。
2.掌握对数与指数之间相互转化的过程，在理解对数概念的基础上，学会应用对数概念解决指数式转化为对数式，对数式转化为指数式的问题。
3.熟练掌握对数的概念，运用对数的概念解决求真数、底数以及对数式的值的问题。树立学生数学符号抽象的概念，提升学生的计算能力以及抽象思维能力。
（三）教学重点及难点
1.教学重点：
（1）对数的概念
（2）对数式与指数式之间的相互转化
2.教学难点：
（1）理解对数的概念
（2）利用对数式与指数式之间的相互转化计算求值
（四）教学过程设计
【问题1】截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能够将人口年平均增长率控制在1%，设年后我国人口数为1999年底人口数的倍，建立与之间的关系。
师生活动：
1.学生独立思考并回答。
2.教师指明学生回答中不完善的地方。预设学生可能回答，教师请同学们思考应该补充什么条件，学生回答补充条件。教师进行说明倍数应该用正数进行表达，并且此函数为指数函数。
设计意图：
对数函数与指数函数有密切联系，通过情境设置，让学生回顾指数函数。
追问：如何计算10年、20年、30年后人口数分别可达到1999年底人口数的多少倍？要想求幂的值，应已知什么条件？
师生活动：
1.学生列出指数函数关系式并思考教师提出的问题，回顾指数的概念，再根据所列函数说明这类问题属于已知底数和指数，求幂值的问题。因此要想求幂的值应已知底数和指数。
2.教师指明，指数与对数存在相互转化的关系，接下来让我们探究对数的概念。
设计意图：
回顾指数式中的底数、指数、幂的概念，为讲解对数的概念作铺垫。
【问题2】那么，请同学们思考经过多少年后，人口数可达到1999年底人口数的2倍、3倍、4倍？
师生活动：
1.学生根据题意列出表达式：，，
2.教师引导学生思考如何求解表达式中的未知数，为后面的学习埋下伏笔，启发学生思考并产生学习兴趣，培养学生的探究意识。
设计意图：学生通过思考在心中产生疑问，从而带着问题学习下面的内容，可以更顺利地理解下面所学的知识。提高学生发现问题、解决问题的能力。
追问1：此类问题的特点是什么？
学生回答：此类问题为已知底数和幂的值，求指数。
追问2：怎样求指数呢？一般地，在中，已知,,则？
设计意图：学生思考如何求指数的问题，从而顺利地引入对数的概念，同时使学生在学习过程中有意识地将对数和指数的概念形成对比。同时，这也是一个从具体到抽象的过程，对培养学生抽象素养起着重要的作用。
【问题3】请同学们阅读课本第122页并思考指数式与对数式之间的关系？
师生活动：
学生自主学习，形成对对数概念的认识。
设计意图：
学生通过自主学习，形成认识，教师再进行引导，树立学生是学习的主体。
【问题4】从运算的角度来看，对于乘方运算，设其结果是，即。已知，，求，则？；在中，已知，，求，则？
师生活动：
教师指明，通过上述问题引入符号，相应的把叫做对数的底数，叫做真数。阐述对数运算是乘方运算的一种逆运算；是一个确定的数，是表示数的一种方式；是中的相对应的那个数，即相对应的指数。
设计意图：帮助学生理解对数的概念。
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。当且时，我们把称作指数式，把称作对数式。
【问题5】根据对数定义，思考指数式与对数式之间的关系？
师生活动：
1.学生思考、交流、发言。
2.教师进行总结：对数式和指数式是表示，，三者之间同一关系的两种表达形式，可相互转化。当时，。让学生了解指数与对数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，，和位置的不同以及它们的含义、互化，体现了等价转化数学思想。
3.巩固练习（1）：把下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：
① ② ③ ④
设计意图：体会定义中指数式和对数式的关系，掌握指对互化思想，加深对对数概念的理解。
【问题6】将指数式化为对数式。
师生活动：
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作。在科学技术中常使用以无理数…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为。
追问：说出下列各式的意义，并将其转化为指数式。
① ②
设计意图：介绍常用对数和自然对数，检验学生对特殊对数的理解情况，为解题以及换底公式作铺垫。
【问题7】对数式中，，相应的取值范围？任何实数都有对数吗？
师生活动：
学生回答：，，
设计意图:正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备，同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误。
追问：负数和零为什么没有对数？
设计意图：体会对数与指数之间的关系。
【问题8】，把它们化为对数式会得到什么呢？
学生回答：，
设计意图：理解和掌握对数的性质，培养学生类比、分析、归纳能力。
【问题9】求下列各式中的值
① ② ③ ④
师生活动：学生练习并在黑板展示结果，若学生无思路，教师指导考虑对化指。教师规范解题过程。总结应用指对互化解决对数中未知数的问题（知二求一）：首先将对数化为指数式，再求解的值。
设计意图：指导学生在互化时要注意参数的取值范围，培养学生严谨的思维品质。
【课后作业】
第123页练习1、2、3
设计意图：巩固对数的概念以及熟练掌握指对互化的应用。发现学生在学习过程中存在的问题，弥补教学中的不足。
（五）目标检测设计
目标检测题：
1.将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式。
（1） （2）
检测目标：检测指对互化的应用，检测学生对对数概念的掌握情况。
2.求下列各式的值
（1） （2）
检测目标：检测利用对数概念计算对数式的值。
3.求下列各式中的值
（1） （2）
检测目标：利用指对互化解决对数中未知数求解问题。
第2课时 4.3.2对数的运算
（一）课时教学内容
对数的运算性质和对数的换底公式
（二）课时教学目标
1.通过对数与指数之间的关系，利用指数幂运算性质推出相应的对数运算的性质，落实类比转化思想.
2.理解记忆并正确书写出对数运算性质，能灵活应用对数运算性质进行化简求值.
3.会根据对数的定义，推导出对数的换底公式运用的条件；会迁移运用到生活实际问题中，使运算更简便，使对数运算性质使用更熟练；提高学生的计算、推导和证明的能力，发展数学运算素养.
（三）教学重点与难点
1.教学重点：对数的运算性质与换底公式
2.教学难点：对数运算性质与换底公式及其拓展公式的推导与应用
（四）教学过程设计
【问题1】大家还记得之前学过的指数幂运算的性质吗？
师生活动：
1.学生独立回顾指数幂运算性质，默写在草稿纸上并在课堂上回答老师.
2.教师与同学们一起回顾并板书，并指明，我们知道了对数可以看做是指数运算的逆运算，那么是否可以利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质，为此，我们需要进一步探讨，这就是我们这节课要学习的一个内容.
设计意图：师生一起互动回顾已学知识，了解本课时所学内容以及探讨的方向.
【问题2】我们学习了，那么指数如何表示，能用对数来运算吗？
师生活动：
1.教师引导并带领学生利用对数与指数的关系进行转化计算.
解：设
则有
又
所以
则
（积的对数=对数的和）
2.学生结合指数幂乘法运算性质，跟紧老师的思维和推到节奏，理解转化关系的灵活性和巧妙性.
设计意图：教师演示转化、类比过程，学生能够理解其中的道理，培养学生数学逻辑和数学运算能力.
【问题3】请大家仿照老师刚刚演示的推导过程，由和 推出对数运算的其他性质.
（1）知道，用对数式表示.
（2）知道，用对数式表示.
师生活动：
1.教师布置任务，让学生自己动手，尝试推导对数运算其他的性质.这部分教师可巡堂指导，并请先写完的学生上黑板展示.
2.学生仿照推导性质1的过程，分析问题（1）、（2）进行类比，独立写出和的对数式表达形式，即对数的另外两个运算性质.
设计意图：教师与学生充分互动，展现学生主体性的地位，培养学生独立思考和动手能力，使思维更清晰，更容易理解和记忆该性质.
解：（1）设
由于对数的定义，
则有
即
（商的对数=对数的差）
（2）设，则
由对数的定义，，
所以
即
（一个数的次方的对数=这个数对数的倍）
追问：你知道使用对数运算性质时需要满足怎样的条件吗？
师生活动：
1.学生思考回答各自不同的答案.
2.教师点评并给出准确条件.
【巩固练习1】
1.求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
2.用
设计意图：使学生可以掌握并灵活选择对数运算性质进行计算.
【问题4】你可以利用计算工具直接算出的近似值吗？
师生活动：
1.学生使用课前准备好的计算工具，可以直接计算出的近似值.是因为计算工具上有按键，故可直接进行计算.
2.追问①：那可以直接计算出的值吗？
学生进行回答.
追问②：那么你可以根据对数的定义，利用的值求的值吗？
教师提示：对数定义：
解：设
根据对数定义有
代入整理得：
则有
即
追问③：那么，请问在此基础上，你可以根据对数定义，利用 表示吗？
教师提示：类比追问②
解：设，则
于是（等式两边同时取以为底的对数）
根据性质3可得.
教师指明，该公式即为对数换底公式.
追问④：除了利用对数的定义进行换底公式的推导，你还有其他方法吗？
设计意图：从借助计算工具到利用对数定义进行推导，是让学生体会从特殊到一般的推导过程，培养学生发散思维，加强对该公式的理解.
【巩固练习2】
1.P125 例5
2.化简下列各式
（1）
（2）
设计意图：让学生体会对数换底公式的作用和在计算中运用的简便性.
【拓展性质】
1.
2.
3.
4.
5.
【问题5】你可以利用对数定义、性质和换底公式证明一下教师所给的拓展性质吗？
师生活动：
1.教师提出问题，分配任务到小组.
2.学生进行小组讨论，组员之间合作交流，促进知识的理解和应用.
设计意图：学生进行小组内的讨论，增进学习兴趣，产生思维碰撞，发散思维，培养学生合作交流，集思广益的能力.
【课后作业】
1.必做作业：
习题4.3 第3、4、5题
2选做作业：
习题4.3 第6、7/9题
3.思考作业：
若课上未及时想出换底公式另外的证法和拓展性的证明，课后请大家继续思考，下节课老师会统一进行讲解.
设计意图：作业分级布置，符合因材施教的教学原则，顾全学生的差异性；提醒思考作业，使没有思路的同学不必有太大的压力.
（五）目标检测设计
目标检测题：
（1）求下列各式的值
检测目标：检测对数运算性质的运用.
（2）用表示下列各式
检测目标：利用常用对数表示较复杂的对数.
（3）化简下列各式
检测目标：综合运算，运算性质与换底公式相结合.
设计意图：利用具体的对数式，运用对数运算性质和换底公式及其拓展公式进行化简求
值，熟练对公式们的应用和记忆.