2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册5.1 任意角和弧度制单元-课时教学设计

任意角与弧度制单元-课时教案
内容与解析
内容：将角的概念扩充到任意角、角的终边与角的关系、弧度制的表示、 角度制与弧度制的相互转化
内容解析：
内容的本质：任意角是刻画圆周运动的变化，将学生已知的角的范围进行扩充；弧度制是一种度量角的单位制。
蕴含的数学思想和方法：将角的概念由角扩充到任意角实际上是数学上一种典型的抽象过程，即概念的外延的扩充，以及任意角可用抽象符号的表征，具体指向不明，更具一般性。
知识的上下位关系：“任意角的概念—终边相同的角的集合—弧度制的概念—弧度制与角度制的相互转化”由圆周运动引出任意角的概念，由角的终边相同可以引出用集合的形式表示所有终边相同的角。在此过程中，学生已经可以熟练应用角度制。由于长度、质量等都有不同的单位制，并且各单位制之间都存在某种转化关系，之后在引出另一种度量角的单位制—弧度制以及弧度制与角度制之间的关系。
育人价值：任意角与弧度制将三角函数与实数集建立起联系，为学生之后的三角函数的学习打下基础。将原点与单位圆上的点构成射线，若单位圆上的点做圆周运动时，射线与x轴所成角的大小变化具有了圆周运动所具有的周期性，从中抽象出任意角的概念，在此过程中培养了学生数学抽象的核心素养，并且，与学生已知的角度制与弧度制进行类比，建立联系，不仅使学生经历规定的合理性、思维的自然性等探究过程，更要讲究浑然一体，逻辑连贯。
教学重点：角的概念的扩充和坐标内的表示、弧度制的定义以及弧度制的表示
教学目标及其解析
单元目标：
理解任意角的概念，会用集合的方法表示终边相同的角的问题。并根据已知角可得出角的终边所在象限。
掌握弧度制的概念，可以在角度制与弧度制之间相互转化，并能将弧度制应用到公式计算中。
目标解析：
达成以上目标的标志为：
可以用符号表示出任意角的角度，并可以判断已知角所位于的象限，并可以用集合表示终边相同的角。
经历弧度制的定义的过程，并感受到定义的合理性。
可以进行角度制与弧度制之间的任意转换，并会在弧度制下表示出弧长和扇形面积的公式。
了解在弧度制下角的集合与实数集之间一一对应的关系。
教学问题诊断分析
问题诊断：
虽然学生之前学过角的概念，但是对于本部分来说，概念和知识点比较抽象，如果不能和生活实际联系起来，就会难以理解。比如:将“+”“-”与顺时针旋转、逆时针旋转联系起来，并用符号表示，会出现与他们之前所学知识的冲突。集合本身是比较抽象的概念，现用一个抽象的符号去表示另个抽象的概念，难度会比较大。
在学习弧度制与角度值的转换时，与我们已知的单位转换进制不同，就需要学生真正理解之后才能应用到公式中去。
教学难点：同终边的角的合集、弧度制定义的由来
教学条件支持分析
在知识储备方面，学生对00～3600范围的角和周运动的周期性有一定的了解，会用公式表示扇形的弧长、面积。在能力储备方面，学生具有一定的数学抽象能力、探究能力和逻辑思维能力，并可以用类比的方法获得新知。
多媒体的技术支持教师可以展示图片，动画等。
课时教学设计
第 1 课时 5.1.1 任意角
课时教学内容：
任意角的概念和表示方法
课时教学目标：
了解任意角的概念;
掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念;
掌握终边相同的角的表示方法;
会判断角所在的象限.
教学重点与难点：
教学重点:任意角的概念，象限角的表示，终边相同角的表示;
教学难点:终边相同角的表示，区间角的集合书写。
教学过程设计
【问题 1】思考并回答下面的问题：
提问:初中所学的角是如何定义的 角的取值范围如何
(角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形；范围)
出示体操比赛以及齿轮传动的图片。(体操:“前空翻转体度”，“后空翻转体度”。齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向相反(顺、逆时针).)
师生活动：
学生回忆，给出答案；
教师指明，规范问题1的答案，并多媒体出示体操比赛以及齿轮传动的图片，使学生感受生活中与角有关的现象，并从中发现，虽然我们过去学习了”内的角，但在上述问题中我们发现了仅有范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广，这就是我们本节课要学习的内容——任意角.（板书课题）
【设计意图】：
创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，从而点明本节课的内容，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神。
角的概念
【问题 2】思考并回答下面的问题：
你的手表慢了5分钟你将怎样把它调整准确 假如你的手表快了1.25小时你应当怎样将它调整准确 当时间调整准确后，分针转过了多少度角
(顺时针方向旋转了;逆时针方向旋转了)
体操运动中有一个动作转体两周，在这个动作中,运动员转体多少度
(顺时针方向旋转了或逆时针方向旋转了)
请两名同学起立做由“面向黑板转体背向黑板”的动作,在这个过程中,他们各转体了多少度
(或或或或或......都可以)
师生活动：
让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实际演示拨表的讨程.让学生站立原地做转体动作.
教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示,引导考虑问题的思路。
教师点拨：角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是,它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置,则形成了一个角，点是角的顶点,射线分别是角的始边和终边.
我们规定:
一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角,钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记作“”.
如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果是零角,那么.
【设计意图】：
通过直观操作和游戏的形式进行探究，结合日常生活中可能经常用到的钟表，既可以提高大家参与的积极性，也可以让数学走进生活。
象限角
【问题 3】
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置
（第一、二、三、四象限或坐标轴）
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角:分别是第几象限的角
（第四、一、三、二象限角和轴线角）
第二象限的角一定比第一象限的角大吗
（不一定，象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小）
师生活动：
学生认真分析可能性，回答问题，并尝试在草稿纸上画出各个象限角；
教师引导学生思考并回答问题，给出答案，再用多媒体展示事先画好的角，供同学们对照修改，并指出角的大小与终边落在第几象限没有直接联系
【设计意图】：
通过思考，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的能力，并让学生观察终边相同的角之间的关系，提高学生的观察、概括能力。
终边相同的角
【问题 4】
是第几象限的角 这些角有什么内在联系
(都是第四象限角,这些角相差360的整倍数)
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，你能用描述法表示集合吗
（）
一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合可以怎样表示
（,
即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.）
师生活动：
学生在草稿纸上自行画出角，观察体会三个角的终边的位置，并在教师指导下回答后面的相关问题，感受终边相同的角；
教师指导学生写出集合，解答原因；
课堂测试①：在范围内找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.(,所以在范围内,与终边相同的角是。所以它是第二象限角。)
【设计意图】：
通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的能力。
【问题 5】终边在轴正半轴、负半轴，轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示
(轴正半轴:;
轴负半轴:;
轴正半轴:;
轴负半轴:;)
师生活动：
学生独立，思考回答；
教师下讲台指导个别同学回答问题；
课堂测试②：写出终边在轴上的角的集合；
(在范围内，终边在轴上的角有两个,即角(如图).
因此，所有与角终边相同的角构成集合.
而所有与角终边相同的角构成集合.
于是，终边在轴上的角的集合
.
课堂测试③：写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式 的元素写出来.
(.
中适合不等式的元素有:
)
【设计意图】：
通过正面和反面两个角度来描述终边相同的角，加深学生的理解，提高学生对其印象的了解，并同时带学生复习如何用描述法写出一个集合。
【问题 6】你能根据今天所讲的内容做个小结吗？
【设计意图】：
通过总结，让学生自行归纳总结本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
【课后作业】
习题5.1.1 1(3),2(4)(7),3
【设计意图】：
通过习题，让学生进一步巩固本节所学内容，并便于教师对学生掌握情况进行了解。
目标检测设计
目标检测题：
下列各角:分别是第几象限的角
以下四个命题:
第一象限的角一定不是负角；
小于的角是锐角;
锐角一定是第一象限的角;
第二象限的角是钝角.
其中不正确的命题个数是()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【设计意图】：
根据不同问题特点，检测学生对本节课知识的掌握情况。
5.1.2 弧度制
课时教学内容
弧度制以及弧度与角度的转化
课时教学目标
①知识与技能目标：
理解1弧度角的含义
②过程与方法目标：
通过探究弧度和角度转化的过程，掌握公式解决实际问题
③情感态度与价值观目标：
通过对角度与弧度关系的探究，培养学生主动探索的精神以及正确的价值观。
教学重点与难点
教学重点：弧度制的定义、弧度与角度的换算
教学难点：弧度制与角度制的联系
教学过程设计
【问题1】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
师生活动：
学生思考并回答问题。
教师提问，引导学生思考第二种单位制的存在。指明本节课所学知识点：弧度制的定义以及1弧度的含义。
【设计意图】：
激发学生学习兴趣，让学生从另一个角度度量角，学会从不同角度看待问题。
角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
弧度制：用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式。
1弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。
介绍另一种度量角的单位制----弧度制。
如图：射线OA绕端点O旋转到OB形成角.在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角。
设点P所形成的圆弧的长为l.由初中所学知识可知于是
【问题2】如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为l1，l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
师生活动：
学生思考并回答问题，可以独立思考，也可以进行小组讨论。根据教师的引导总结角度制与弧度制的关系。
教师引导学生思考，抽取小组代表回答问题，通过圆中半径、弧长与圆心角三者的关系来得出弧度角定义。
【设计意图】：
培养学生小组合作精神以及总结能力。
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做１弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，弧的长等于1，∠AOB就是1弧度的角。
根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对应的圆心角为 rad，
那么
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０．
【问题3】角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？
师生活动：
学生思考并回答问题，在教师讲解过程中，要跟着教师的思路进行换算公式的推导。
教师引导学生分析，教师讲解角度制与弧度制的关系以及如何进行两者之间的换算，深化学生对于推导过程的理解。
【设计意图】：
让学生理解角度制与弧度制之间的联系，学会弧度制与角度制的换算。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是０）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以
rad，rad，
radrad.
反过来有
1 rad=
一般地，只需根据
就可以进行弧度与角度的换算了。
【问题4】按照下列要求，把化成弧度：
精确值； （2）精确到0.001的近似值。
师生活动：
学生跟着教师的解题思路并理解为什么可以这样进行解题，并学着自己解决弧度与角度的换算问题。
教师讲解例题（1），演示如何进行弧度制与角度制的换算，在黑板上写出过程，强化弧度的表示，并演示如何用计算器进行弧度制与角度制的换算。
【设计意图】：
学生通过教师在黑板上的解题过程，及时地规范自己的解题过程，
【问题5】将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
师生活动：
学生思考并解决问题
教师在教师巡视学生的完成情况，对于学生正确的地方给予肯定，错误的地方及时提出指正。
【设计意图】：
强化学生对于角度制与弧度制的转化过程的认识。
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角就表示是2 rad的角；就表示rad的角的正弦，即
【问题6】填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
师生活动：
学生填写该表格，并在教师给出答案后检查。
教师给出答案，并对角的概念进行推广，阐述角与实数的一一对应关系，引入弧度制建立角与实数之间的联系。
【设计意图】：
让学生熟练掌握角度与弧度的换算，认识弧度制的优点，正确认识角与实数之间的联系。
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集犚之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数 （等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 （即弧度数等于这个实数的角）与它对应（如图所示）。
【问题7】利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
师生活动：
学生思考并回答问题。
教师利用换算方法来进行公式推导，板书推导过程，并说明弧度制的优点。
【设计意图】：
让学生思考对比角度制与弧度制的特点，让学生形成角度制与弧度制的逻辑联系。
【问题8】你能说明角度制与弧度制之间的关系吗？并说出它们的优缺点。
师生活动：
学生结合本堂课和上节课所学内容说明角度制与弧度制的区别与联系。
教师引导学生进行归纳总结角度制与弧度制的特点，并再次说明本节课的重难点，深化学生对于知识的联系，并形成完整的知识体系。
【设计意图】：
加深学生对于角度制与弧度制的理解与认识，并能够正确选择度量角的表达方式。
【课后作业】
课本175页练习题：1、2、5.
【设计意图】：
巩固本节课所学知识。
目标检测设计
目标检测题：
把下列角度化成弧度：
把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）：
【设计意图】：
检测学生角度制与弧度制的正确转化。