2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册5.2 三角函数的概念 教学设计

5.2“三角函数的概念”单元-课时教学设计
内容及其解析
1.内容：三角函数的概念、三角函数的性质、同角三角函数的基本关系
2.内容解析：
内容的本质：三角函数是基本初等函数之一，是继常量函数，幂函数，指数，对数后学习的又一个基本初等函数，是学习反三角函数的基础。它是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常是在平面直角坐标系中定义的，定义域为整个实数域。在今后的学习中具有广泛的应用。
蕴含的数学思想和方法：“三角函数的概念”教学中，蕴含着“数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想”。
知识的上下位关系：“三角函数的概念——性质——同角三角函数的基本关系”，其中，由任意角的终边与单位圆交点的坐标（横坐标或纵坐标）而引出的函数概念，而终边相同的角其函数值相同进而定义同角三角函数之间的关系。
育人价值：通过学习与单位圆有关的各种线段长度来定义的三角函数，不仅在研究三角形和圆等几何图形的性质时有很大的帮助，还为周期性现象的基础数学研究做了铺垫。
教学重点：利用单位圆模型理解任意三角函数概念的形成过程；正弦函数，余弦函数，正切函数的定义；运用任意三角函数的定义求函数值；能判断三角函数值在各象限的符号，理解并运用同角三角函数的基本关系。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）掌握正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，掌握三种三角函数的定义域；通过单位圆和角的终边，得到任意角三角函数的求法，理解并掌握任意角三角函数的定义方法；通过任意角三角函数的定义，知道锐角三角函数是其中的一种特例。
（2）理解并掌握三角函数在各象限的符号规律；通过三角函数值的符号让学生了解三角函数的周期性；会发现诱导公式一，通过一些实例让学生熟练运用诱导公式一解决实际问题即任意角三角函数的求值问题。
（3）熟练掌握已知某一个角的三角函数值求其余三角函数值的方法；牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角函数值的思维能力。
2.目标解析
达到以上目标的标志是：
（1）能判断三种函数分别是那种三角函数，并能求任意角的三种三角函数值，能区分锐角三角函数和任意角三角函数的定义方法。
（2）能根据三角函数值在各象限的符号规律，准确判断任意角在各象限的符号，能自己根据三角函数的定义和单位元的对称性，推导出诱导公式一。能熟练运用公式一和特殊值的三角函数求出任意角的三角函数值。
（3）能够写出同角三角函数的两个关系式；已知某一个角的三角函数值，能够求其余三角函数值；能够灵活运用同角三角函数的两个关系式及其变形证明三角恒等式。
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
（1）对正切函数当α≠π/2+kπ时，tan α的值也是唯一确定的不能理解，因此在讲解正切函数时可着重讲解一下其定义域，以避免造成知识学习的不清楚。
（2）在初中已经学习过锐角三角函数，其锐角三角函数值是在直角三角形中定义的；而本单元三角函数的学习将从“特殊角”扩充到“任意角”，在用单位圆模型定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中学习的锐角三角函数的影响，仍然局限在直角三角形中来思考问题，从而对新知识的学习导致混淆不清。
（3）在学习本节内容时，我们需要利用前面所学的三角函数的定义来研究三角函数的性质，但一些学生不习惯借助单位元的性质来研究三角函数的性质，所以需要教师通过一些问题引导学生。教学时可以让学生先游览课本，这样有利于学生的理解，在三角函数求值和判断在各象限符号时，一定要准确运用公式一及掌握三角函数符号规律，以防解题错误。
（4）虽然同角三角函数的两个关系式很简单，但在已知某一个角的三角函数值，求其余三角函数值时关于符号的确定可能会成为学生容易忽略的地方，并且在证明一些恒等式时，需灵活运用两个关系式及其变形，有时甚至还需要一些技巧，这可能会成为学生学习过程中的一个难点。
四、教学支持条件分析
1.在初中，学生已经学习了直角三角形的相关知识，明确了在直角三角形中的定义，这些为我们今天系统的学习三角函数的概念、性质以及同角三角函数的基本关系提供了知识上的支持。
2.利用网络平台在课前检测、学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中，由教师给出问题或者测试题，让学生回答或解答，再由教师给出评价。
五、课时教学设计
第1课时 5.2.1三角函数的概念
（一）课时教学内容
三角函数的概念
（二）课时教学目标
1.掌握正弦函数，余弦函数，正切函数的定义，掌握三种三角函数的定义域。
2. 通过单位圆和角的终边，得到任意角三角函数的求法，理解并掌握任意角三角函数的定义方法，。
3.通过任意角三角函数的定义，知道锐角三角函数是其中的一种特例。
（三）教学重点与难点
1.教学重点：三角函数的定义方式（借助单位圆理解三角函数）；正弦函数，余弦函数，正切函数的定义及定义域
2.教学难点：三角函数的定义方式，辨析锐角三角函数
（四）教学过程设计
【问题1】思考并回答下列问题
如图1，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，如何建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况。
师生活动：
1.学生经过独立思考，在此基础上进行交流、讨论，给出不同方法。
2.教师指明，明确研究对象，并进行对应关系的分析，下定义。
3.经过教师引导，师生共同探讨出以下结论。
利用直角坐标系来研究上述问题
如图2，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为(1，0)，点的坐标为(). 射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角a,终止位置为.
设计意图：
进行一个导入，可以明确研究的内容，过程和方法；为借助单位圆引出三角函数做个铺垫.
【问题2】探究回答下列问题
（1）当a=时，点的坐标是什么 当a=或时，点的坐标又是什么 它们是唯一确定的吗 一般地,任意给定一个角a,它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗
师生活动：
1.学生独立思考求出当a=、a=、时点的坐标。
2.追问1：怎么求点？用到什么知识？求点的步骤是什么？点是唯一确定的吗？
3.教师利用多媒体，任意画一个角，引导学生观察它的终边与单位圆交点的坐标，有什么发现？
4.教师给出两个对应关系：
a.实数（弧度）对应点的纵坐标
b. 实数（弧度）对应点的横坐标
5.追问2：你是否能用函数的语言刻画这种对应关系
设计意图：
让学生通过问题探究更好的理解角的终边与单位圆交点的坐标都是唯一确定的，探究得出点的横坐标、纵坐标都是圆心角的函数，为给出三角函数的定义做了铺垫。
【问题3】阅读教材177~179页回答下列问题
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
2.，分别表示什？以前的学习（学过的基本初等函数）有没有类似的引入符号的学习。
3.为什么三角函数值是唯一确定的，但中？
4. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域？为什么？
师生活动：
1.学生独立阅读教材回答问题，教师提问并对错误的回答进行引导。
2.给出三角函数的概念
设是一个任意角，,它的终边与与单位圆相交与点（）.
[1]把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作，即;
[2]把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作，即;
[3]把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作，即;
当(时，的终边在轴上，这时点的横坐标等于0，所以无意义，除此之外，确定的角，比值是惟一的。所以，也是以角为自变量，以单位圆上的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。
我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常把它们记为：
正弦函数 ,
余弦函数 ,
正切函数 ,(
设计意图：
带着问题阅读教材，能提高学习的效率，既能引发学生的思考又能提高学生的学习能力；通过定义域的学习，使得学生能够明确函数的“三要素”；引导学生通过回顾旧知更好的理解新知，理解三角函数符号的意义。
【问题4】在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设∈(0,)，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把
按本节三角函数定义求得的的正弦记为，与相等吗 对于余弦、正切也有相同的结论吗
师生活动：
1.教师引导学生回顾锐角三角函数的定义方式
2.辨析锐角三角函数与任意角三角函数
3.教师做适当的引导，学生在本子上作图，得出相应的结论
设计意图：
建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，并能使学生区分两个三角函数的不同定义方法，避免在今后的学习中造成知识的混淆。
【问题5】对课本上的例题进行探究讲解
例1.利用三角函数的定义求的正弦、余弦、正切值。
师生活动：
1.学生先看书独立思考，得到答案。
2.追问：用三角函数的定义求三角函数值的基本步骤？
3.课堂检测1：
a.利用三角函数的定义求、0、、的三个三角函数值
b.已知角的终边过点P（-12,5），求角的三角函数值
设计意图：
通过概念的简单应用，明确用三角函数的定义求三角函数值的步骤，进一步揭示概念的内涵。并检验学生对定义的学习情况。
例2.如图3，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为（）,点与原点的距离为,求证：，，
师生活动：
1.学生独立思考，教师引导学生根据定义作图表示，；
2.学生观察所做的图形，找出、、分别表示什么，引导学生找到它们与任意角之间的关系。
3.学生给出相应的证明。
4.追问：通过证明例2，你能否发现任意角三角函数的另外一种定义？
5.给出追问的定义。
设是一个任意角，它的终边上一点（不与原点重合）的坐标为（）,点与原点的距离为,则、、分别叫做角的正弦、余弦、正切.
6.课堂测验2：
已知点在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为rad/s.求2s时点所在的位置。
设计意图：
1.通过分析题目，引导学生找到两个三角形，并利用它们的相似关系，根据三角形的定义得到证明，培养学生的观察能力与整体思想。
2.课堂测验加深学生对三角函数定义的理解，而且三角函数是刻画匀速圆周运动的模型，通过练习，使学生从另一个角度来理解三角函数的定义。
【课后作业】
必做：习题5.2中1的（1）（2）和2
选做：习题5.2中1的（3）（4）和3
设计意图：
必做题巩固本节所学的知识，选做题在提高的基础上，适当对以下的学习有铺垫。
（五）目标检测设计
目标检测题：
1.利用三角函数的定义，求的三个三角函数值.
2.分别说出几个使、、的的值.
检测目标：以三角函数的定义出发，能灵活运用三角函数的定义求值.
设计意图：考察学生对三角函数定义的理解与运用情况。
第2课时 5.1.2三角函数的性质
课时教学内容
三角函数的性质
课时教学目标
1.理解并掌握三角函数在各象限的符号规律。
2.通过三角函数值的符号让学生了解三角函数的周期性。
3.会发现诱导公式一，通过一些实例让学生熟练运用诱导公式一解决实际问题即任意角三角函数的求值问题。
教学重点与难点
1.教学重点：三角函数值的符号规律及诱导公式一。
2.教学难点：对诱导公式一的发现与应用。
教学过程设计
【问题1】根据任意角三角函数的定义，写出正弦、余弦、正切函数在弧度之下的定义域。
师生活动：
1.学生独立思考并完成
2.教师观看学生完成情况并适当指导，然后给出正确答案
设计意图：
帮助学生复习前面所学的知识点，还可以加强学生对知识的理解和掌握。
【问题2】前面我们学习了函数的性质与图像，那么对三角函数的学习是具有一定的特殊性，同学们思考一下特殊性体现在哪里呢？
师生活动：
1.每3个人组成一个小组，学生思考并进行讨论。
2.教师提问学生回答问题，教师指明根据前面的学习，我们知道单位元上点的坐标或者坐标比值就是三角函数，且单位元具有对称性，这也就体现了三角函数的取值规律，因此我们可以从三角函数的定义出发，然后结合单位元的性质即可得出三角函数的性质。
设计意图：
帮助学生明确学习的内容及所需要思考的方向，引导学生学会用单位元的性质研究三角函数的性质，也为后面三角函数的进一步学习做铺垫。
【问题3】将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入5.2-6中。
师生活动：
1.学生根据前面三角函数定义及任意角的终边与单位元的交点所在的象限的学习，独立思考并完成问题。
2.教师指明单位元的对称性，引导学生用单位元的性质解决问题，教师对学生的回答进行点评及纠正，并给予适当的鼓励。
设计意图：
让学生了解三角函数在各象限的符号，同时为接下来的学习及诱导公式一的发现做准备。
【问题4】根据问题三的学习，你能发现正弦、余弦、正切函数的值的符号有什么规律吗？那你能用集合语言来表示这种规律吗？
师生活动：
1.学生独立思考，并将答案写在本子上。
2.教师指明，当时，;当时，;当时，。余弦函数、正切函数也有类似结果，请同学们在课后类比正弦函数，自己写出另外两个三角函数的规律，下节课来统一订正。
设计意图：
学生独立思考完成，培养了学生独立思考问题的能力，通过用集合语言表示三角函数在直角坐标系下的符号规律，不仅为本节课的学习做铺垫，同时也复习了象限角、终边相同的角的集合表示等等。
【问题5】请大家阅读课本第180页的内容并思考问题
求证：角为第三象限角的充要条件是
师生活动：
1.学生认真审题、独立思考并整理解题思路，分别证明必要性和充分性
2.教师引导学生思考问题，教师指明问题的条件和结论，然后观察各个学生的解题情况，在条件允许的条件下，做到个别辅导及答疑。
设计意图：
通过前面三角函数在各象限的值的符号规律来进行解题，课堂教学循循渐进，在证明的过程中不仅培养了学生的论证推理能力，还训练了学生的数学抽象概括能力。
【问题6】由三角函数的定义，容易知道：终边相同的角的对应三角函数相同。那么由问题五的学习我们可以发现什么呢？
师生活动：
1.学生回顾前面所学知识点，然后思考问题。
2.教师与学生一起回顾知识点，并带领学生发现并学习诱导公式一。
3.诱导公式一：
其中
4.追问：观察诱导公式一，你对三角函数的取值规律有什么新的发现？你认为诱导公式一对我们以后的学习及解题有什么作用呢？
设计意图：
通过前面的学习引导学生发现诱导公式一，以及它体现了三角函数周期性取值的规律，在发现公式的过程中，培养了学生用联系的观点思考并解决问题。
【问题7】观察诱导公式一，其公式说明了角和三角函数值之间的关系，我们从中学到了什么，得到了什么启发？
师生活动：
1.学生观察并思考
2.教师指明，三角函数值有“周而复始”的规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。
3.启发：在做题时，把求任意角的函数值，转化为求0（或0°）角的三角函数值，简化计算。
设计意图：
帮助学生进一步理解诱导公式一，并学会应用、解题。
【问题8】确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
（1） （2）
（3） （4）
师生活动：
1.学生利用诱导公式一及三角函数值在直角坐标系的规律进行解题。
2.教师提问学生上台写出解题过程，并对其错误地方给与纠正，并对该学生的表现进行点评和适当的鼓励和夸奖。
3.让同学们自己完成用计算工具验证。
设计意图：
加强学生对诱导公式一的学习，让学生学会应用该公式及前面所学知识点解决问题。
【问题9】求下列三角函数值
（精确到0.001）；
师生活动：
1.和问题八一样，找三个同学上台写出解题过程。
2.教师点评，并鼓励学生用不同的方法得出答案，可以一题多解。
3.教师指明，可以直接利用计算机工具求出三角函数的值，但用计算机工具求值时要注意设置角的适当的度量制。
设计意图：
考察了诱导公式一的应用，特殊角的三角函数，加深了学生对诱导公式一的理解与认识。
【课后作业】
作业1：练习第1、3、5题
设计意图：
第1题应用了诱导公式一及特殊角的三角函数，第3题是考察三角函数在各象限的符号，也涉及到象限角、终边相同的角的集合表示的知识点，第5题和书上的例5相似，也是诱导公式一及特殊角的三角函数的知识迁移。
作业2：
1.回顾三角函数的定义及性质，三角函数在直角坐标系下值的符号的规律是什么？三角函数的诱导公式一是什么？
2.公式一表明终边相同的角的同一三角函数的值相同，那么终边相同的角三个三角函数值是否也存在某个关系呢？
设计意图：
带领学生巩固本节课所学的知识点，并加深对知识点的理解与掌握，通过前面知识的学习自然的引出下节课所要学习的内容，从而让学生预习下节课的知识点。
（五）目标检测设计
目标检测题：
1.对,选择适当的关系式序号填空：
（1）角为第一象限角的充要条件是（ ）
（2）角为第二象限角的充要条件是（ ）
（3）角为第三象限角的充要条件是（ ）
（4）角为第四象限角的充要条件是（ ）
检测目标：以三角函数在直角坐标系下的符号规律内容为载体，检测三角函数的符号规律。
1.求下列三角函数的值：
（1） （2） （3）
检测目标：以诱导公式一内容为载体，检测特殊角的三角函数值及诱导公式一的应用 。
设计意图：考察本节课所学的重点及难点，再次加深学生对知识点的掌握与应用，培养学生独立思考及解决问题的能力，也是对本节课知识的回顾及总结。
第3课时 5.2.2同角三角函数的基本关系
课时教学内容
同角三角函数的基本关系
课时教学目标
1.熟练掌握已知某一个角的三角函数值求其余三角函数值的方法；
2.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角函数值的思维能力。
教学重点与难点
1.教学重点：同角三角函数的基本关系
2.教学难点：已知某一个角的三角函数值，求其余三角函数值时符号的确定；利用同角三角函数的两个关系式及其变形证明恒等式
教学过程设计
【问题1】思考并回答下列问题：
1.上节课学的公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系？
2.完成填空，观察它们的关系，并思考它们之间有什么联系？
（1）（ ）；（ ）；（ ）
（2）（ ）；（ ）；（ ）
（3）（ ）；（ ）；（ ）
师生活动：
1.学生完成填空，并大胆猜测三个三角函数值之间的关系可能是和。
2.教师给予肯定，但数学讲究严谨性，由此我们应用严谨的证明过程来检测我们的猜想。
设计意图：
从具体到抽象，引出今天的重点内容同角三角函数的基本关系。
【问题2】证明上述的猜想，即和。
回顾：是如何定义的？
师生活动：
1.教师帮助学生回顾并画出图像，这样有利于学生观察并列出关系式。
设点是角的终边与单位圆的交点。过作轴的垂线，交轴于，则△是直角三角形，而且。
2.学生回忆的定义，即是一个任意角，它的终边与单位圆交点，则：，由此，教师可引出，当时，有。
3.教师引导，因为△是直角三角形，由勾股定理有，因此，，即。
【问题3】判断下列等式是否成立？
（1） （2）
（3） （4）
（5）
师生活动：
1.学生回答问题，但答案可能存在错误。
2.教师引导学生理解所学的同角三角函数的基本关系式中“同角”的意义。
设计意图：
理解“同角”的意义，并注意到角的形式对基本关系式不会造成影响。
【问题4】已知，若是第三象限角，求的值。
师生活动：
1.学生利用同角三角函数的基本关系式即可求得正确答案。
2.教师下台巡视并作出相关指导，提醒学生注意第三象限角的三个三角函数值的符号。
设计意图：
帮助学生进一步巩固同角三角函数的基本关系式。
变式1：已知，求的值。
变式2：已知，若是第三象限角，求的值。
变式3：已知，若是第三象限角，求的值。
师生活动：
1.在变式1中部分学生意识到去掉问题4的条件“若是第三象限角”，的象限并不是唯一的，可能是第三象限角或者第四象限角，因此这道题要进行分类讨论；在变式2,3中学生刚开始接触可能会有点陌生，但经过变形也可以求得正确答案。
2.教师下台巡视，可以将变式1中两个不同作法的同学的答案进行展示，并让其他同学讨论哪一个同学的作法是正确的，提醒学生在变形时不要变形错误。
设计意图：
由问题4到变式1，即由简到繁，循序渐进，让学生明白本节课的难点（已知某一个角的三角函数值，求其余三角函数值时符号的确定），并意识到分类讨论数学思想方法的应用及重要性；通过问题和变式2,3让学生掌握同角三角函数的基本关系式及其变式的应用。
【问题5】求证.
师生活动：
1.学生利用基本关系式及变形将左边式子逐渐与右边式子靠近。
2.教师引导，可将左边式子的分子和分母同时乘以，则左边式子可变形为右边。
设计意图：
让学生综合并且灵活应用本节课所学的内容，并对知识进行进一步的巩固。
【问题6】已知，，是第四象限角，求的值。
师生活动：
1.学生独立思考，根据本节课所学的同角三角函数的基本关系式进行适当的变形。
2.教师指导，根据知，我们需要知道，的值，换言之我们需要知道的值，再根据另一个基本关系式，可求得的值，则问题得解。
设计意图：
让学生综合并且灵活应用本节课所学的内容，并对知识进行进一步的巩固。
【问题7】总结已知某一个角的三角函数值时，如何求其余三角函数值？在解题中应该注意的问题有哪些？
师生活动：
教师引导学生总结方法和容易出错值得注意的方面：
方法：在求其余三角函数值时，确定角的终边位置是有必要且关键的。
注意：1.有时，终边的情况不确定时，我们需要分情况讨论。
2.开平方时，要注意负的平方根。
设计意图：
帮助学生巩固本节课的内容，梳理难点问题并提醒学生注意容易出错的地方。【课后作业】
教材P184练习 第2,4,5题。
设计意图：可以让学生更好的巩固本节课所学的知识。
目标检测设计
目标检测题：
1.若，求和的值。
检测目标：检测学生是否能够灵活运用同角三角函数的基本关系。
2.已知，求的值。
检测目标：检测学生是否掌握上课所讲的分类讨论的思想。