2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计

“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”单元-课时教学设计
一、内容及其解析
1、内容：两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式
2、内容解析：
内容的本质：两角和与差的正弦、余弦和正切公式是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是进行三角恒等变换的新工具，对后面所要证明、化简、求值等三角问题有着很大作用.
蕴含的数学思想和方法：在证明和应用两角差与和的正弦、余弦和正切公式时，发展学生的逻辑推理能力和培养学生的数学运算能力.在教学中，蕴含着数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想.
知识的上下位关系：“两角差的余弦公式——两角和与差的正弦、余弦和正切公式——倍角公式”，其中由单位圆里（两点间距离公式）证明出两角差的余弦公式，再由诱导公式和同角三角函数的基本关系得出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，最后从任意两角和与差到两角相同的特殊情况得出倍角公式，属于从一般到特殊的演绎推理.
育人价值：三角函数是一类最典型的周期函数.本单元的学习，可以帮助学生在运用几何直观和数学运算的方法研究三角函数间的基本公式和恒等关系；运用这些公式解决一些简单的三角问题，初步体会三角恒等变换的作用.提高学生学习数学的兴趣，认识数学的科学价值、应用价值.
教学重点：运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式和倍角公式结合先前所学的诱导公式对三角问题进行化简、求值、证明.
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）了解两角差余弦公式的来龙去脉，学会利用单位圆的直观探索三角函数的有关性质；运用两角差余弦公式解决简单的三角问题，能够逆向运用两角差余弦公式.发展逻辑推理和几何直观的数学素养.
（2）能够运用两角差余弦公式和诱导公式推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式；反之，要能运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式证明诱导公式.
（3）熟悉应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，并能快速的推导出倍角公式，体会转化与化归的数学思想；应用倍角公式解决简单的三角问题.
2.目标解析
达成以上目标的标志是
（1）学生能够利用单位圆和两点间距离公式推导两角差余弦公式，并且能够运用两角差余弦公式证明诱导公式，解决简单的三角问题.
（2）给定一个除两角差余弦公式以外的三角函数公式，能够自行推导出，实现正弦、余弦间的互化；再运用以上公式推导出诱导公式，解决简单的三角问题.
（3）实现简单的三角恒等变换和逆变换，掌握二倍角公式，解决常见的三角问题.
三、教学问题诊断分析
（1）由特殊延伸到一般的，高中在锐角三角函数的基础上去探索三角函数间的关系，通过梳理三角函数的单调性、周期性、奇偶性和最值等，认识完三角函数的整体性质后，结合图像证明三角函数间的基本关系和相互转化的意义.所以本单元的学习，教师要注重培养学生数形结合、转化和化归等数学思想，引导学生阅读教材后让学生进行猜想和讨论，在推导出相关公式后要及时进行应用，让学生在学习的过程中加深对公式的理解和掌握
（2）两角差的余弦公式的推导是本章一重要推导公式，教师要引导学生运用单位圆和两点间距离公式来证明，并指明使用单位圆的便捷之处.
（3）得出两角差余弦公式后，后续公式的推导只需运用到诱导公式和三角函数的基本关系就可推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，教师在后续两单元的教学在同学生推导完后要多辅以相关练习题来帮助学生掌握所学的公式，保证学生能够顺逆使用公式
四、教学支持条件分析
（1）在初中时学生就已经学过简单的锐角三角函数，即、、
，且能够利用直角三角形基本性质（如在直角三角形中30角所对的边是斜边的一半）和勾股定理来推导出特殊的锐角三角函数值（如等）.圆和诱导公式的学习和掌握两点间距离公式都为本单元的学习提供基本条件.
（2）利用对媒体利于教师在教学时更直观的让学生体会公式的来龙去脉.
五、课时教学设计
第一课时 两角差的余弦公式
（1）教学目标：
1.知识与能力：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题.
2.过程与方法：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力.
3.情感态度与价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识 及对待新知识的良好情感态度.
（2）教学重点和难点：
教学重点： 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用.
教学难点： 两角和与差的余弦公式的推导.
学情分析： 本课时面对的学生是高一年级的学生，他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，流体智力的高度发展的同时并有一定的晶体智力，这为本节课的学习建立了良好的知识基础.
（3）教学过程：
导入：我们在前面几节已经学习了三角函数的诱导公式，例如： ，，等（带领学生回顾旧知），观察容易发现，诱导公式本质上是特殊角（）与任意角的和或差的三角函数与任意角的三角函数的恒等关系.那么，如果我们将特殊角换成任意角，那的和或差的三角函数与的三角函数又会有什么样的关系呢？（抛出疑问，引发学生思考，将旧知识与新知识建立联系，让学生感受由特殊到一般的数学思想方法.）
教授新知：如下图，以坐标原点为圆心，做单位圆，A为单位圆与x轴的交点，并作任意角，其中（），分别交单位圆与点P1，A1，P.
【问题1】：你能用的三角函数表示出点A1，P1，P的坐标吗，请试试.图中线段AP与A1P1又有什么关系，请说明.
引导学生独立解决问题，并走动巡视.
教师总结：P1=，A1=,
P=
因为弧AP等于弧A1P1，所以AP=A1P1
【问题2】：根据上题结论AP=A1P1，你能用点的坐标表示出此关系式吗？
（回顾两点间距离公式：平面内任意两点P1=（x1，y1），P2=（x2，y2），
（P1P2）2=（x2-x1）2+（y2-y1））
给学生五分钟时间，走动巡视.
教师总结：
AP=A1P1
[2+2=()2+()2
整理得：
=
【问题3】：若，上述等式还成立吗，请同学们自行证明.
教师总结：成立，左边=1，右边有同角三角函数关系式知也等于1，故等式成立一般的，对于任意角有=此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ（）.
新知巩固：
例一：利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
1、
2、
教师总结：
1、=
2、=
例二：已知=，，，，求的值.
教师总结：由三角函数同角关系式易得，=，
故=
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，如何利用变式得到和角的余弦公式=？下节课给出证明.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（一）课时教学内容：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导
（二）课时教学目标
1、能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.
2、在两角和与差的余弦公式的基础上，根据诱导公式正弦和余弦的相互转换推导两角和与差的正弦公式以及正切公式.
3、掌握特殊角的正余弦值，并懂得如何将任意两个角的正余弦值的和与差化为两角和与差的正余弦公式.
4、通过层层探究体会数学思维的形成特点.
（三）教学重点与难点
1、教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程以及将任意两个角的正余弦值的和与差化为两角和与差的正余弦公式.
2、教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程.
（四）教学过程设计
1、复习回顾
上节课几个重要的诱导公式：，，，.
2、复习导入
上节课学习了两角差的余弦公式，即，我们能用两角差的余弦公式解决一些问题，但是范围有限，因此我们就自然的想得到两角差的正弦与正切公式以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们今天将来探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式究竟是什么
3、探索新知
（1）探究两角和的余弦公式
【问题 1】以小组为单位，思考并回答下列问题
与有怎么样的关系？
②结合两角差的余弦公式和诱导公式，推导等于什么？
师生活动：
给同学们大概五六分钟的时间，讨论结束之后小组选举组员代表本组上台展示结果，然后组与组之间进行相互评论，最后由老师进行总结点评.
设计意图：先探索两角和的余弦公式承接上次课学的两角差的余弦公式，起到承上启下的作用.以小组为单位探索新知有利于学生们亲自体会知识的形成过程，有利于学生对知识的掌握和记忆，增强学生学好数学的自信；有利于促进同学们之间的相互交流，让同学们相互评价是为了使他们的思维发生碰撞，相互学习，取长补短.
教师引导学生分析：
由可得=
根据两角差的余弦公式可得
即==
=
于是我们就得到了两角和的余弦公式，简记
即：
思考1：上述的两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？
课堂练习1;
（1）求和的值.
（2）已知，是第三象限角，求的值.
解（1）=,=
=
=
=
(2)由于是第三象限角
故：
设计意图：及时检验学生对知识的掌握程度，并进一步帮助学生理解公式，巩固学生所学知识.
（2）探究两角和与差的正弦公式
思考2:我们知道诱导公式，可以实现正弦、余弦的转化，那么你能根据, 和诱导公式推导出任意角，的两角和与差的正弦公式，，？
师生活动：
①教师提示学生诱导公式可以实现正余弦的相互转化，然后留给学生大概七八分钟时间小组讨论推导两角和与差的正弦公式，最后再由老师向学生演示正确的推导过程.
老师推导：
②追问:你能根据与的关系推导出？
由学生自己完成的推导：
因此两角和与差的正弦公式分别为：
思考3：上述公式就是两角和与差的正弦公式，记为,,这两个公式有什么特点？如何记忆？
课堂练习2：求和的值.
（3）探究两角和与差的正切公式
思考4：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,从，推导出用任意角，的正切表示，的公式吗？
师生活动：
前面同学们已经知道了如何推导两角和与差的正余弦公式，只需根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，，便可以自己推导，，所以两角和与差的正切公式由学生自己独立完成，最后由学生上台演示自己的推导过程.
设计意图：让学生体会知识的形成过程，巩固两角和与差的正余弦公式，将问题变成活动，保证每个学生都参与到教学活动中去，提高学生学习的主动性和积极性，激发学生的探究精神和创新思维，将课堂还给学生，使学生成为学习的主体，感受数学所带来的乐趣.
推导过程：
（分子分母同时除以）
(分子分母同时除以)
公式变形：
思考5：上述公式就是两角和与差的正切，记为,,这两个公式有什么特点？如何记忆？
课堂训练3：（1）求解和的值
（2）求解
设计意图：让学生及时巩固所学知识，加强对公式的理解.
师生活动：
（1）公式，,给出了任意角，的三角函数值与其和角三角函数值之间的关系，为了方便起见，我们把这三个公式叫做和角公式.类似地，我们把，，叫做差角公式.
（2）理论迁移：例1 已知，是第四象限角，求，，的值
解：，是第四象限角
故
追问：由以上解答可以看到，在本题条件下，那么对任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
前面学生们已经知道任意角只要他们的终边相同，那么他们的三角函数值就会相等，再根据诱导公式可以实现正余弦的相互转化，便可以推导出对任意角都有.
课堂训练4（公式的逆用）
利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
变式训练：
化简下列式子
（1） (2) (3)
追问：观察上述三个式子的化简过程，你有什么发现？
设计意图：考察学生发现问题和解决问题的能力，让学生先自己思考从而体会到知识的形成过程，培养学生的数学思维和转化与化归的数学思想，充分调动学生学习的主动性和积极性.
（1）
(2)
(3)
追问：一般地，是否都可以化成的形式？如能，那么、、的值分别是多少？
学生活动：以小组为单位，展开讨论，引导学生分析上述三个式子的化简过程，由学生自己归纳出规律，从而确定、、的值分别是多少？最终得到答案.
,,
练一练：
1、化简下列各式
（1） (2) (3)
2、已知，，求的值.
3、若，求x的值.
4、等式有意义，则的取值范围是多少.
5、已知，求的值.
设计意图：巩固学生今天所学知识，帮助学生尽快消化知识
课堂小结：
1、方法：由公式出发,,的方法.
2、知识：公式及公式的记忆法
由每组选出代表进行总结，从这节课学了哪些知识，收获到了什么和在哪方面得到了提高并进行汇报.
【课后作业】：
1、完成课后习题第1、2、3、4题
2、预习下一节内容，推导，的值.
设计意图：巩固今天所学知识，运用转化与化归的数学思想预习下一节内容.
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时教学内容：
三角函数二倍角公式的推导及应用
课时教学目标：
1.知识与技能目标:通过探索、发现并推导二倍角公式了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系 ,并通过强化题目的训练 ,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力 ,从而提高解决问题的能力.
2.过程与方法目标：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明 .体会化归这一基本数学思想方法在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.
3.情感与价值观目标：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，调动善于发现和勇于探索的科学精神.
教学重点与难点：
1.教学重点：二倍角公式的推导及其应用.
2.教学难点：在相关问题情境中灵活运用二倍角、和、差公式进行化简、求值和证明.
教学过程：
【问题1】思考并回答下面的问题
1.上节课所学的和角公式、差角公式有哪些？还记得我们是如何证明推导出来的吗？
2.这些公式中的角会有特殊关系吗？若，此时公式应该变成什么样？
师生活动：
1.让学生独自默写出这六个公式，并由一名学生到黑板默写.
2.教师帮助学生回忆和角公式、差角公式的推导过程（利用两角差余弦公式、诱导公式）.
追问：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,如2题中那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
设计意图：复习导入，利用学过的和差角公式复习迁移到新知识二倍角公式上，淡化对新知识的陌生感，使学生迅速将旧知与新知建立联系，降低探索和推导二倍角公式过程的难度.
【问题2】教材220页，探究：你能通过利用，，（两角和与差的正弦和余弦、正切公式）推导出，，的公式吗？
师生活动：
1.以小组为单位进行讨论探究，选出某一组成员到黑板证明并讲解.
2.教师打开多媒体给出以下公式给予学生参考，如下：
： ；
： ；
： .
下讲台查看学生作答情况并及时进行指导，待学生完成后教师到黑板进行推导，
即（注意提醒合并同类项）；同理，得到如下公式：
；
；
.
设计意图：任意角得出的两角和差公式，到现在探究两角相等的特殊情况，帮助学生从一般过渡到特殊；在学生已经回顾了两角和差公式的前提下，不难的可以自行推导出二倍角公式；在推导过程中体会化归的数学思想，加深对公式的理解和记忆，衔接接下来的应用.
【问题3】思考：二倍角的余弦公式（ ）可以用仅含的正弦（余弦）表示吗？
师生活动：
1.教师引导学生回顾同角三角函数的基本关系，即=1；则由上的 可改写成.
2.学生仿照教师，可得到另一种改写结果， .归纳总结，
；
；
.
3.教师抓住时机向学生指出，以上由两角和差公式得到的新公式都叫做倍角公式（这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名次时，“三”字等不可舍去；即若不强调“倍角”为几倍角时以“二倍角”解读，若强调有数量名词的倍角不可忽略其数量）倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系.
设计意图：归纳总结出简单的倍角公式，通过转化的思想得到余弦倍角公式的多种表达方法，培养了学生化归的数学思想，同时初步体会倍角公式的意义.
【问题4】教材221页中的例5，已知 ， ，求，，的值.
师生活动：
1.教师与学生一同分析，已知条件给出的正弦函数值.由于是的二倍角，因此也可考虑使用倍角公式，打开多媒体放映刚刚归纳总结的公式.教师注重提醒：“倍”是描述数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，同理是的二倍等等.
2.学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
紧接着，教师给出的求解过程并加以讲授：
由 ，得
.（确定的象限以确定三角函数的正负）
又 ，所以 .
于是
.
3.学生参照以上公式，独立将，求出.
设计意图：课本例题辅以教师的讲解，将所学的公式运用到相关问题去，且例题体现了换元的思想，让学生深入理解“倍”的含义，将二倍角公式推广到更广泛的“倍角”中去.
让学生解完完后留有一点时间加深理解，然后让学生继续阅读222页的例6.
【问题5】在△中，，，求（2A2B）的值.
师生活动：
1.学生独立完成此例题，并由两名学生到黑板解答.
2.教师引导学生考虑2A2B与A，B之间能构成怎么样的关系？提示利用三角形中内角和等于为解题思路，教师下讲台查看学生作答情况，最好选取两名不同解法的学生上黑板解答.点评学生的作答情况有遗漏的加以补充.
设计意图：例题中运用了同角三角函数的基本关系，且结合了三角形这一内角和为的特殊情况，提醒学生在解决实际问题时要注意分析角度在三角函数中有着确定正负的作用，且运用到了倍角公式，加深了旧知的理解，同时巩固了新知.例题的多种解法则体现了三角函数各个公式恒定转换的奇妙，蕴含着化归这一数学思想方法.
【问题6】课本223页的练习（1）、（2）题.
师生活动：
1.学生自由完成问题（可讨论或独自完成），由四名学生到黑板解答.
2.练习（1）教师先点拨是的二倍，引导学生考虑使用倍角公式，提醒学生注意的取值范围；练习（2），引导学生可用诱导公式将化简，再考虑使用倍角公式解答.
设计意图：巩固本节课所学知识，加深学生对倍角公式的理解和记忆.
【课后作业】
课本223页习题3、4、5题.
设计意图：巩固新知，利于学生掌握倍角公式.