2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其线性运算 教学设计

1.1“空间向量及其运算”单元-课时教学设计
一、内容及其解析
1.内容：空间向量及其线性运算、空间向量的数量积运算。
2.内容解析：
内容的本质：向量是既有大小也有方向的量，即用有向线段表示空间中具体存在的矢量；空间向量是平面向量的延伸，基本具有平行向量的性质，具有加法、减法和数乘等线性运算以及数量积运算，并且均满足运算律：结合律、交换律和结合律，向量在数学、物理以及现代科技中有着广泛应用。
蕴含的数学思想和方法：在教学时，最能体现数学思想的是类比思想，将空间向量类比比较平面向量，得出向量的性质与运算。在解题时，所蕴含的数学思想则是方程思想、数形结合思想和转化思想。
知识的上下位关系：“平行向量的延伸——空间向量的含义——空间向量线性运算——空间向量数量积运算”,其中，空间向量是平面向量的延伸，空间向量的线性运算表示向量与向量间的加法、减法和数乘，并且在学习空间向量的数量积运算前要学会向量间的关系（平行或相交或异面、有夹角与无夹角）。
育人价值：从我们对向量知识的认识可知，向量的教学可以有效地将几何与代数知识相联系，实现各类知识之间的联系性教学帮助学生掌握其中的数学方法。向量作为联系代数与几何的媒介，很多向量问题可以利用代数与几何的知识来综合解决，有利于培养学生的数形结合思想。在数字与字母的组合下，数运算、多项式运算为AxA=A的形式，数与多项式的运算为AxB=B的形式。向量运算除了以上的类型，还包括较为特殊的数量积运算，即是AxA=B的形式。在向量运算背景下，我们得以实现对长度、面积和体积等度量单位的计算问题，向学生们展现了不一样的计算类型。通过几何体，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。
教学重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律，以及学会空间向量的数量积计算方法和几何意义。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）理解空间向量的含义，能够区别于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和单位向量。理解相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量和异面向量。
（2）掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。
（3）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）能够说出什么是空间向量即空间中有大小与方向的量，能够用符号或以及或表示向量及其向量模。知道零向量与单位向量的模长分别为0和1，方向无规定的话就是任意方向。能够区别平行(相等）向量与相反向量的区别：模长一致，但相等向量方向一致，相反向量方向相反。知道若两个向量平行(方向一致）或有交点，则这两个向量共面，否则为异面向量。
（2）理解空间两个向量可以移动到同一起点上利用平面向量的三角形法则和平行四边形法则计算空间向量的加法与减法以及数乘，还会掌握这几个线性运算的运算律。能计算几何体中的向量计算问题。
（3）知道向量a与b的夹角表示为,会通过试子计算向量的乘积以及夹角。能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
（1）空间向量是平面向量的延伸，在学习空间向量之前，学生应该可以较好地进行平面向量的线性运算，但对于将空间中平移到同一起点即同一平面上后
利用平面向量中的三角形法则和平行四边形法则计算这两个向量的线性计算，学生可能很难理解或想象空间向量进行平移到同一平面上，因此在教学中可以适当利用教学设备，展示向量移动的动画，加强学生的理解。
（2）在说明共面向量和异面向量时，学生可能会疑惑：既然空间中向量可以平移至同一平面上，那么空间中的所有向量应该都是共面向量不是吗。所以在教学时应区分这两个概念：在进行空间线性运算时，可以将向量平移至同一平面上利用平面向量的计算来计算空间向量，但空间中的向量有位置关系，即要不共面，要不异面要不相交，两者有本质区别。
（3）对于空间向量的数量积，计算上学生可能没有多大的问题，但利用这个数量积进行空间几何体的应用或判断向量的共线与垂直学生可能存在困难。这就需要学生在学习后多做练习加以巩固，教师在教学时要讲解清楚。
2.教学难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用，向量的数量积的计算应用，并用其判断向量的共线与垂直。
四、教学支持条件分析
1.学生在学习此内容前已经接触到了平面向量的学面向量的一些性质（如零向量和单位向量、平行向量和相反向量等）和计算（三角形法则和平行四边形法则）都可以套用到空间向量的学习中。
2.利用现代教学技术展示空间向量，学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中，由教师给出问题或者测试题，让学生回答或者解答，再由教师给出评价。
五、课时教学设计
第 1 课时 1.1.1 空间向量及其线性运算
（一）课时教学内容：
空间向量及其线性运算
（二）课时教学目标：
1.通过对平行向量的类比，理解并学习空间向量的有关概念培养学生类比思想的数学能力，发展数学抽象素养。
2.同样通过类比平面向量学习并掌握空间向量的线性运算：加法、减法以及数乘；掌握线性运算的运算律：结合律、交换律和分配律。
3.能根据一些条件，在简单的几何体中解决一些向量的运算，即空间向量的应用。
（三）教学重点与难点
1.教学重点：空间向量的概念及其线性运算
2.教学难点：空间向量在几何体的应用
（四）教学过程设计
【问题1】思考并回答下面的问题：
1.在物理学中，位移、速度和力是什么量？
2.刚刚所提到的量是由什么确定的？
师生活动：
1.学生经过回忆思考，根据所学可以轻松说出答案；
2.教师指明这就是本章我们要学习的内容：向量。
设计意图：
导入本节课将要学习的内容，空间向量。
【问题2】在空间中一个正三棱锥A-BCD，有三个相同的力a，b，c作用在这个三棱锥上，其中力a，b，c的方向在分别直线AB、AC、AD上，且该这个三棱锥重400N。问：这个三棱锥会在这三个力的作用下做什么运动？当这三个力多大时，这个三棱锥会运动？
依据问题提问：
在这个问题中，我们研究的是力，在数学中，这些力可以看做是什么量？
这些量与我们以往学过的有什么不同？
我们能不能依据以往学过的知识来解决这个空间问题？
师生活动：
1.学生看题思考，根据所提的问题回忆以往知识即平面向量，比较平面向量与空间向量的不同，并思考空间向量的计算能不能用平面向量的知识来解决；
2.教师指明，本堂课将类比平面向量来学习空间向量。这就是本章我们要学习的内容：空间向量。
设计意图：
引导将本节课所学即空间向量与平面向量联系起来进行学习。
【问题3】大家现在能不能回忆起平面向量是怎么定义的吗？
师生活动：
1.学生回忆，可以说出平面向量的定义，在平面中，具有大小和方向的量是平面向量；
2.教师指明，平面向量概念的重点：平面中、大小与方向。
设计意图：
回顾以往所学知识，为学习空间向量的概念做准备。
追问：请同学们翻阅教材第二页，大家能不能根据平面向量的定义，试着说一下空间向量的定义呢？这两个定义有何区别？能否举一些实例？
师生活动：
1.学生翻阅教材，说出空间向量的定义，指出这两者所在位置不同；
2.教师指明，空间向量概念的重点：空间中、大小与方向。平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内，一个在空间中。
设计意图：
让学生够能仿照着描述出空间向量的定义，培养学生的类比思想能力以及和数学抽象的能力。
*“与平面向量一样,在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus)．”
【问题4】请大家继续阅读教材第二页剩下的内容，回忆平面向量的有关内容回答以下问题：
如右图，向量如何表示？其模如何表示？
零向量和单位向量如何定义表示？
空间中某两个向量模长一样但方向相反的向量是什么向量？
空间中某两个向量平行或重合，这两个向量称为什么
方向和模长都一样的向量称为？
师生活动：
1.学生翻阅教材，回忆平面向量的内容，回答以上问题；
2.教师指明，平面向量的一些特殊向量的定义可以延伸至空间向量，即在平面中存在的向量，空间中存在这个平面，则空间中也会存在这些向量。
设计意图：
将空间向量的一些特殊向量与平面向量联系在一起，让学生们明白，空间向量就是平面向量的延伸。
追问：第3、第4题中的向量（相反向量和共线向量）有什么关系？相反向量或共线向量是否在同一平面上？
师生活动：
1.学生思考，回答以上问题；
2.教师强调，相反向量方向相反，相互平行是共线向量；但共线向量方向不一定相反，不一定是相反向量。这两对向量都在同一平面上，解释：三点确定一个平面，其中两点确定一个向量，过另外一个点做平行于刚刚所做的向量，即这两个向量平行，在同一平面上。
设计意图：
对【问题4】中的四道问题，可以使学生继续回忆平面向量的一些知识，将其扩展至空间中，追问是为了进一步学习相反向量和共线向量。
*向量a的起点是A终点是B，则向量a也记作，其模记||或||.
*长度为0的向量叫做零向量(zero vector)，记为0.
*模为1的向量叫做单位向量（unit vector)．
*与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.
*如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(colliner vectors）或平行向量(parallel vectors)．
*方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equal vectors）.
【问题5】继续阅读教材空间中的向量如何线性计算？有什么方法可以用平面向量中的计算方法来计算空间向量？
师生活动：
1.学生阅读教材后思考，回答以上问题；
2.教师解释：由于空间向量是自由可以任意移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后是到同一个平面内的，成为同一平面内的两个向量.接着就可以利用平面向量的运算法则来进行线性运算。
3.师生一起归纳定义空间向量的线性运算，即加法、减法以及数乘运算。
4.追问：既然如此，平面向量所满足的运算律（结合律、交换律和分配律）在空间中是否也满足？
5.课堂测试1：如图，E，F是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．化简下列表达式:
设计意图：
组织学生动脑思考平面向量运算与空间向量的关系，让学生明白空间向量的运算是平面向量运算的延伸，并且满足平面向量满足的运算律。通过练习巩固知识。
【问题6】请阅读教材第四页，对任意两个空间向量a与b,如果，a与b有什么位置关系 反过来,a与b有什么位置关系时,
师生活动：
学生阅读教材思考回答问题，看看能不能想出这个问题的充要条件。
教师给出结论：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数，使得。并解释：与平面向量共线一致，若使a∥b，则a与b方向要一致，因此需要。
教师补充：若某直线上的向量与向量a平行，我们把与向量a平行的非零向量称为直线的方向向量。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
设计意图：
进一步学习空间向量的位置关系：平行，再由平行关系推出直线的方向向量，以及共面向量。
【问题7】任意两个向量是共面的，若有三个向量，在什么条件下可以共面？提示：类比“若两个向量中其中一个可由另一个线性表示，则这两向量平行”，以及平面中的三个不共线向量P,a，b存在有序数对（x，y）可使得P=xa+yb。
师生活动：
学生思考类比；
教师点明：若三个向量中其中一个可以被另外两个线性表示，即向量P,a，b，存在有序数对（x，y）使得P=xa+yb时，这三个向量共面。
例题讲解，学生解答教材第5页的例1，教师说明。
课堂测试2：如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心、求下列各式中x，y的值:
设计意图：进一步学习空间向量的共面证明。
【课后作业】
作业 ：习题 1.1 第 1,2,3 题 。
设计意图：第1题是向量数量积运算，第7题是向量的线性运算，第3题证明向量共线。
思考：空间向量我们只进行了加法和减法，那有没有空间中向量间的乘法呢？
设计意图：引发学生思考，预习下节课的知识：空间向量的数量积。
（五）目标检测设计
目标检测题:
1.请举一些空间中三个不在同一平面的向量。
检测目标：是否清晰空间向量的概念，有没有与平面向量混淆。
2.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量:
检测目标：是否会进行空间向量的线性运算以及掌握线性运算的运算律。