2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 09:22:45 | ||
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文档简介
1.1.2 空间向量的数量积运算
（一）课时教学内容
空间向量的数量积运算的概念、表示与应用。
（二）课时教学目标
1.明白空间向量的数量积运算的定义与概念，可以清楚的明白如何运用投影求出两个向量的夹角。
2.理解并记忆住空间向量的数量积满足的结合律，交换律和分配率。并可以与数的乘法相联系与区别。
3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识点解决问题。
（三）教学重点与难点
1.教学重点：理解并掌握数量积的概念以及如何寻找并确定两向量的夹角。
2.教学难点：结合实际问题将知识点灵活运用。
（四）教学过程设计
【问题1】思考并回答：回忆上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些？
师生活动：
1.学生经过思考，回忆向量加减法以及数乘的运算。
2.老师再次为大家回顾向量的定义以及线性运算以及注意点；我们在计算向量的加减时，需注重向量的起点与终点；向量的加减运算是为了化简向量的表达方式。这是学习向量相关知识的基础，一定要熟练掌握。
设计意图：
回顾上节课所学重点知识，为接下来的学习打实基础。
追问：空间向量的线性运算满足哪些运算律？
师生活动：
1.学生回顾已学知识进行回答。
2.老师指明，向量的线性运算符合交换律，结合律和分配律。
设计意图：
进一步回顾已学知识，为将学到的新知识做准备。
【问题2】如何确定两条异面直线的夹角？
师生活动：
1.教师提问，平面向量的夹角问题是如何求的？是否可以将平面求得两向量的夹角的公式推广到空间？公式是否会有变化？
2.学生回顾平面向量数量积，夹角公式，并类比猜测空间向量夹角公式。
设计意图：
将即将学习的新知识与已经学习过的知识进行联系，降低学生的畏难情绪，调动学生的积极性，并且可以做到温故而知新。
追问：空间向量的夹角应该如何定义，如何表示？取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？
师生活动：
1.学生根矩已经学过的平面向量的夹角的定义与取值范围类比空间向量的夹角的定义与取值范围。并进行回答。
2.教师在一旁观察并指导引领学生的思考方向。
设计意图：
进一步引领学生将即将学习的知识与已学知识结合。鼓励学生自行推广出结论。
*已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则叫做向量a，b 的夹角，记作。若=，则a与b相互垂直，记为。
【问题3】类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算，有符合哪些运算律？
师生活动：
1.学生自行思考并举手回答，相互补充。
2.老师对于学生的回答进行提问，补充和引导。
设计意图：让学生自行思考并回答出答案，加深学生对相关知识的思考与认识。
*数量积：
*数量积的运算同满足结合律、交换律和分配律（教材第7页）
【问题4】数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角？
师生活动:
1.老师举出例题让学生去自行完成，然后进行小组讨论，然后提出疑问。
2.由老师对例题进行讲解。回答同学们的疑问。
3.课堂测试1：如右图,在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）。
(A)60° (B)90° (C)105° (D) 75°
5.课堂测试2：如图，正方体的棱长为1，设=a，=b，=c，求:
(1) a·(b＋c);(2) a·(a＋b＋c);(3)(a+b)·(b＋c).
设计意图：
由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好的理解数量积运算的定义。课堂测试为巩固知识。
【问题4】请同学们阅读教材第7页，思考回答以下问题：
1.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=a·c，则b=c。对于向量a，b，c由a·b=a·c，你能得到b=c吗 如果不能,请举出反例。
2.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=c，则a=(或b=)。对于向量a，b，若a·b=k,能不能写成a=(或b=)的形式
3.对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c =a(bc)。对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)成立吗 为什么
师生活动：
1.学生先自行思考，然后再小组讨论。
2.教师巡视并与学生进行交流沟通。
设计意图：
让学生们进一步探究数量积的定义与易错点。深化对数量积的理解。
【课堂小结】
1.知识获得：空间向量的夹角的定义，表示方法，取值范围。两个空间向量的数量积运算和运算法则。利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离。
2.思维获得：类比思想，转化思想。
3.方法获得：类比方法，数形结合方法，转化变形方法。
设计意图：回忆所学，巩固知识。
【课后作业】
作业 ：习题 1.1 第 4,7 题 。
设计意图：
第4题是向量基本概念的巩固，第7题是利用数量积求夹角和证明垂直。
（五）目标检测设计
目标检测题:
如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c、求C，D两点间的距离。
检测目标：是否会应用空间向量的数量积来解决实际问题。
（一）课时教学内容
空间向量的数量积运算的概念、表示与应用。
（二）课时教学目标
1.明白空间向量的数量积运算的定义与概念，可以清楚的明白如何运用投影求出两个向量的夹角。
2.理解并记忆住空间向量的数量积满足的结合律，交换律和分配率。并可以与数的乘法相联系与区别。
3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识点解决问题。
（三）教学重点与难点
1.教学重点：理解并掌握数量积的概念以及如何寻找并确定两向量的夹角。
2.教学难点：结合实际问题将知识点灵活运用。
（四）教学过程设计
【问题1】思考并回答：回忆上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些？
师生活动：
1.学生经过思考，回忆向量加减法以及数乘的运算。
2.老师再次为大家回顾向量的定义以及线性运算以及注意点；我们在计算向量的加减时，需注重向量的起点与终点；向量的加减运算是为了化简向量的表达方式。这是学习向量相关知识的基础，一定要熟练掌握。
设计意图：
回顾上节课所学重点知识，为接下来的学习打实基础。
追问：空间向量的线性运算满足哪些运算律？
师生活动：
1.学生回顾已学知识进行回答。
2.老师指明，向量的线性运算符合交换律，结合律和分配律。
设计意图：
进一步回顾已学知识，为将学到的新知识做准备。
【问题2】如何确定两条异面直线的夹角？
师生活动：
1.教师提问，平面向量的夹角问题是如何求的？是否可以将平面求得两向量的夹角的公式推广到空间？公式是否会有变化？
2.学生回顾平面向量数量积，夹角公式，并类比猜测空间向量夹角公式。
设计意图：
将即将学习的新知识与已经学习过的知识进行联系，降低学生的畏难情绪，调动学生的积极性，并且可以做到温故而知新。
追问：空间向量的夹角应该如何定义，如何表示？取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？
师生活动：
1.学生根矩已经学过的平面向量的夹角的定义与取值范围类比空间向量的夹角的定义与取值范围。并进行回答。
2.教师在一旁观察并指导引领学生的思考方向。
设计意图：
进一步引领学生将即将学习的知识与已学知识结合。鼓励学生自行推广出结论。
*已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则叫做向量a，b 的夹角，记作
【问题3】类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算，有符合哪些运算律？
师生活动：
1.学生自行思考并举手回答，相互补充。
2.老师对于学生的回答进行提问，补充和引导。
设计意图：让学生自行思考并回答出答案，加深学生对相关知识的思考与认识。
*数量积：
*数量积的运算同满足结合律、交换律和分配律（教材第7页）
【问题4】数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角？
师生活动:
1.老师举出例题让学生去自行完成，然后进行小组讨论，然后提出疑问。
2.由老师对例题进行讲解。回答同学们的疑问。
3.课堂测试1：如右图,在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）。
(A)60° (B)90° (C)105° (D) 75°
5.课堂测试2：如图，正方体的棱长为1，设=a，=b，=c，求:
(1) a·(b＋c);(2) a·(a＋b＋c);(3)(a+b)·(b＋c).
设计意图：
由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好的理解数量积运算的定义。课堂测试为巩固知识。
【问题4】请同学们阅读教材第7页，思考回答以下问题：
1.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=a·c，则b=c。对于向量a，b，c由a·b=a·c，你能得到b=c吗 如果不能,请举出反例。
2.对于三个均不为0的数a，b，c，若a·b=c，则a=(或b=)。对于向量a，b，若a·b=k,能不能写成a=(或b=)的形式
3.对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab)c =a(bc)。对于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)成立吗 为什么
师生活动：
1.学生先自行思考，然后再小组讨论。
2.教师巡视并与学生进行交流沟通。
设计意图：
让学生们进一步探究数量积的定义与易错点。深化对数量积的理解。
【课堂小结】
1.知识获得：空间向量的夹角的定义，表示方法，取值范围。两个空间向量的数量积运算和运算法则。利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离。
2.思维获得：类比思想，转化思想。
3.方法获得：类比方法，数形结合方法，转化变形方法。
设计意图：回忆所学，巩固知识。
【课后作业】
作业 ：习题 1.1 第 4,7 题 。
设计意图：
第4题是向量基本概念的巩固，第7题是利用数量积求夹角和证明垂直。
（五）目标检测设计
目标检测题:
如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c、求C，D两点间的距离。
检测目标：是否会应用空间向量的数量积来解决实际问题。